1、页 1 第2018 届河北省承德市实验中学高三上学期期中考 试数学（理）试题（解析版）一、选择题（共 12 个小题，每题 5 分，共 60 分，每题只有一个正确答案）1. 集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】集合 = ， ， 。故答案选 C。2. 命题“ , ”的否定是（ ）A. , B. ,C. , D. ， 【答案】C【解析】因为“ , ”是全称命题，所以依据含一个量词的命题的否定可知：其否定是存在性命题，即“ , ”，应选答案 C 。3. 已知A. B. C. D. 【答案】B【解析】已知 ， ，根据向量垂直的运算得到 ，故得到 。故答案为 B。4. 已知等差数列
2、 前 9 项的和为 27，A. 100 B. 99 C. 98 D. 97【答案】D【解析】已知等差数列 ，前 9 项的和为 ，根据等差数列的公式得到页 2 第故答案选 D。5. 满足约束条件 ，则目标函数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A由 ，解得 A(2,0)；由 ，解得 B( ，3) zmax 3206 ，z min3 3 .z3xy 的取值范围是 ，6 6. 已知函数 是定义 上周期为 2 的偶函数,且在区间 上单调递 增, , , ,则 大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意定义在 R 上的偶函数 f（x）周期为 2，且在1，0上单调递增
3、，可得 f（x）在1，0上单调递增在0，1 上减， ，a=f（3）=f（1）， ， 又 ， ， cba故选 D7. 已知等比数列 中， ，则 （ ）A. B. 3 C. D. 5【答案】B页 3 第【解析】解答：设公比为 q，由等比数列的通项公式可得 a5=a1q4，即 9=1q4，解得 q2=3，a3=a1q2=3，故选 B.8. 函数 的零点所在的区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】函数 在定义域内是增函数，故 根据零点存在定理得到，根所在区间为 。故答案选 B。9. 已知数列 前 n 项的和为A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ，故数列 为等比数列，公比是 ，
4、故答案选 B。10. 若A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据三角函数诱导公式得到 ， ，代入求得结果为： 。故答案选 A。点睛：这个题重点考查了三角函数诱导公式的应用，和知值求值的题型应用。一般这种题采用，通过诱导公式，用已知三角函数值的角表示未知的三角函数值的角，在这个过程中，注意角的范围的变化。11. 若两个正实数 满足 ，且不等式 有解，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】正实数 x,y 满足 ，页 4 第则 ，当且仅当 取得最小值 2.由 有解,可得 ，解得 m2 或 m1.本题选择 C 选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的
5、三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误12. 已知函数 ，若 互不相等，若 则 的取值范围是（ ）A. （1，2018） B. （ 1，2019） C. （2 ，2018） D. （2，2019 ）【答案】D【解析】作函数 的图象如图，不妨设 abc ，则结合图象可知，a+b=1，0log 2018c1，故 1c2018，故 2a+b+c2019，故选 D点睛：本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用，同时考查了函数的零点与函数的图象的交点的关系应用；还有就是函数图象的对称性的应用，处理多个变量的方法；解决二元或三元问题，一是
6、减元的思想，二是变量集中，再者就是转化为线规问题。页 5 第二.填空题（本题共 4 个小题，每题 5 分，共 20 分）13. 设向量 _【答案】【解析】 ， =42m=0，解得 m=2=（4，2），+2 =（6，2），|+2 |= 故答案为： 。14. 已知函数 ，则 _【答案】2【解析】根据分段函数的表达式得到，要将-9 化到 的范围内才能求值；故答案为：2.15. 设 的内角 ， ， 的对边分别为 若， ， ，则 _.【答案】1【解析】试题分析： ，由 得考点：正弦定理解三角形16. 已知数列 满足 ，则 的最小值为_.【答案】【解析】数列a n满足 a1=33，an+1an=2n，当
7、n2 时，a n=（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1=2（n1）+2（n2）+22+21+33 上式对于 n=1 时也成立 .页 6 第 ，是一个对勾函数形式的表达式， 减， 增，故得到在 附近有最小值，取整 ，代入得到最小值为 。点睛：首先考查了数列通项的求法，累加法；再就是考查了数列单调性的应用。数列单调性的证明有以下方法：通项的表达式本身具有单调性，就像这个题一样；前一项减后一项和 0 比较；构造函数，研究函数的单调性。三、解答题（解答题应写出文字说明、证明或演算步骤）17. 在ABC 中，(1)求B 的大小；(2)求 的取值范围【答案】 （1） ；（2）1【解析】试题
8、分析：（1）根据余弦定理得到 （2）根据第一问知 AC ，两角化一角，化一得到 cosAcosCcos ，根据三角函数的图像，求得最大值即可.（1)由余弦定理及题设，得 cosB . 又 0B，所以 .(2)由(1)知A C ，则 cosAcosC cosAcos cosA cosA sinA cosA sinAcos .因为 0A ，所以当A 时， cosAcosC 取得最大值 1.18. 已知等差数列 中满足（1 ）求数列 的通项公式；（2 ）求数列 的前【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）根据数列的递推公式求出公差 d，即可求出数列a n的通项公式，（2）根据错位相减法即可
9、求出前 n 项和试题解析：页 7 第（）设等差数列 的公差为 ，由已知得 即 所以 解得 所以 （）由（）得 ，所以 ， 8 分得： 所以 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解.19. 已知向量 ，函数 ，且 的图像过点 和点 .（1 ）求 的值；（2 ）将 的图像向左平移 个单位后得到函数 的图像，若 图像上各最高点到点（0,3
10、）的距离的最小值为 1，求 的单调递增区间.【答案】 （1） ；（ 2）【解析】试题分析：（1） ，将点 和点 代入解析式求解即可；（2）将 的图像向左平移 个单位后得到函数 ，由最高点为 得，所以 ，进而解得 ，确定解析式后求单调区间即可 .试题解析：（1）由题意知， .因为 的图像过点 和点 ，所以 ，即 解得 .页 8 第（2）由（1）知 ，由题意知， .设 的图像上符合题意的最高点为 ，由题意知， ，所以 ，即到点（0,3）的距离为 1 的最高点为（0,2） ，将其代入 得， .因为 ，所以 ，因此， .由 得 ，所以函数 的单调递增区间为 .点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后
11、伸缩” ，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母 x 而言，且遵循“左加右减，上加下减”的原则.20. 若数列 的前 项和 满足 .(1)求证：数列 是等比数列；(2)设 ，求数列 的前 项和【答案】 （1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）再写一项 ，两式做差得到 ，构造得到，故得到结果；（2）根据第一问 ，裂项求和即可。.（1 ） 当 时， ，计算得出 ，当 时，根据题意得， ，所以，即 ，即 ， 数列 是首项为 -2，公比为 2 的等比数列页 9 第点睛：这个题考查了，证明数列是等比数列，数列求和的常用方法；数列求和的常用方
12、法有：分组求和，用于当数列中相邻两项的和或者差是定值的；错位相减法，用于一个等比数列和等差数列乘到一起；裂项相消法主要用于分式型的通项。21. 设函数 ，（1 ）求曲线 在点 处的切线方程；（2 ）当 时，不等式 恒成立，求的取值范围【答案】 （1） ；（2 ）【解析】试题分析：（1）先求函数导数，再根据导数几何意义得切线斜率为 ，最后根据点斜式求切线方程（2）先化简不等式，并参变分离得 ，转化为利用导数求函数 最小值，利用导数可得 单调性，最后利用罗比达法则求最小值试题解析：（1）根据题意可得， ，所以 ，即 ， 所以在点 处的切线方程为 ，即 （2）根据题意可得， 在 恒成立，令 ， ，所
13、以 ， 当 时， ，所以函数 在 上是单调递 增，所以 ，所以不等式 成立，即 符合题意；页 10 第当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ，当 时， ，所以 在 上 ，在 上 ，所以函数 在 上单调递增，在 上单调递 减，令 ，恒成立，又 ，所以 ，所以存在 ，所以 不符合 题意； 当 时，在 上恒成立，所以函数 在 上是单调递减，所以显然 不符合题意；综上所述，的取值范围为22. 在平面直角坐标系 中，圆 的参数方程为 为参数） ，在以原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为 .（1 ）求圆 的普通方程和直线的直角坐标方程；（2 ）设直线与 轴， 轴分别交于 两点
14、，点 是圆 上任一点，求 两点的极坐标和 面积的最小值【答案】 （1） ， ；（2）4【解析】试题分析：（1）由圆 C 的参数方程消去 t 得到圆 C 的普通方程，由直线 l 的极坐标方程，利用两角和与差的余弦函数公式化简，根据 x=cos，y=sin 转化为直角坐标方程即可；（2）直线 l 与 x 轴，y 轴的交点为 A（0，2），页 11 第B（2，0） ，化为极坐标，并求出|AB| 的长，根据 P 在圆 C 上，设出 P 坐标，利用点到直线的距离公式表示出 P 到直线 l 的距离，利用余弦函数的值域确定出最小值，即可确定出三角形 PAB 面积的最小值（1 ）由 消去参数，得 ，所以圆 的普通方程为 .由 ，得 ，所以直线的直角坐标方程为 .（2 ）直线与 轴， 轴的交点为 ，化为极坐标为 ，设 点的坐标为 ，则 点到直线的距离为， ，又 ，所以 面积的最小值是 .
