1、页 1 第2018 届河北省定州中学高三上学期期中考试数学试题（解析版）一、选择题1. 已知函数 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】函数化为： ，有： ，所以， 选 B.点睛：(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去 ，即将函数值的大小转化自变量大小关系, 对称性可得到两个对称的自变量所对应函数值关系.2. 定义在 上的函数 与其
2、导函数 满足 ，则下列不等式一定成立的是 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】令 ，其导数为由 知，则函数在 R 上为增函数，所以 ，化简得： ，故选 A.3. 设 满足 ，且在 上是增函数，且 ，若函数 对所有的 ，当 时都成立，则的取值范围是（ ）A. B. 或 或C. 或 或 D. 【答案】B页 2 第【解析】若函数 对所有的 都成立，由已知易得 的最大值是 1，设 ，欲使 恒成立，则 或 或，故选 B.4. 已知函数 （其中为自然对数底数）在 取得极大值，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为 所以可得 。当 由 可得 在 上递增， 得 在 上递
3、减，所以 在 取得极小值，无极大值，不符合题意；当 令 得 或 ，只有当 时，由 可得 在 ， 上递增， 得 在 上递减，在 取得极大值，所以函数 （其中为自然对数底数）在 取得极大值，则的取值范围是 ,故选 D.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值、分类讨论思想、.属于难题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.5.
4、 已知 为奇函数， ，若对 恒成立，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由于 为奇函数，故 ，可得 ；因为对 恒成立，所以，而 = ，所以 ，从而要求 ，在 上恒页 3 第成立，故选 A.【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性及最值、全称量词与存在量词的应用.属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题，全称量词与存在量词的应用共分四种情况：（1） 只需 ；（2） ，只需 ；（3） ， 只需 ；（4） ， ，只需 .6. 已知函数 有三个不同的零点 ， ， （其中 ） ，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】令
5、f（x）=0，分离变量可得 a= ，令 g（x）= ，由 g（x）= =0，得 x=1 或 x=e当 x（0，1）时，g（x）0；当 x（1，e）时，g（x ）0；当 x（e，+）时，g（x）0即 g（x）在（0，1）， （e，+）上为减函数，在（1，e ）上为增函数0x 11x 2e x 3，a= = ，令 = ，则 a= ，即 2+（a1）+1a=0，1+2=1a0， 12=1a0 ，对于 = ，=则当 0xe 时， 0；当 xe 时，0而当 xe 时， 恒大于 0页 4 第画其简图，不妨设 1 2，则 1= ，2= = =3，（1 ）2（1 ）（1 ）=（11）2（12）（13）=（11
6、）（12）2=1（1a）+（1a）2=1故选：D点睛：先分离变量得到 a= ，令 g（x）= 求导后得其极值点，求得函数极值，则使 g（x）恰有三个零点的实数 a 的取值范围由 g（x）= = ，再令 = ，转化为关于 的方程后由根与系数关系得到 1+2=1a0， 12=1a0，再结合着 = 的图象可得到（1 ）2（1 ）（1 ）=17. 已知函数 ， ，则下列说法正确的是（ ）A. 函数 是周期函数且最小正周期为B. 函数 是奇函数C. 函数 在区间 上的值域为D. 函数 在 是增函数【答案】C页 5 第【解析】由 知，当 时， 而 ，所以 ，即值域为 ，故选 C. 8. 设双曲线 ： 的右
7、焦点为 ，过 作渐近线的垂线，垂足分别为 ， ，若 是双曲线上任一点到直线 的距离，则 的值为（ ）A. B. C. D. 无法确定【答案】B【解析】由题意，易得，直线 的方程为： ，设 P ，则=故选：B9. 我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长 5 尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下 1 尺，重 4 斤；在细的一端截下 1 尺，重 2 斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为 ，现将该金杖截成长度相等的 10 段，记第段的重量为 ，且 ，若，则 （ ）A. 4
8、B. 5 C. 6 D. 7【答案】C【解析】由题意知,由细到粗每段的重量成等差数列，记为 ，设公差为 ，则，解得 ，所以该金杖的总重量 ，解得 ，故选 C.【方法点睛】本题主要考查阅读能力、等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式以及转化与划归思想，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列页 6 第的一类基本题型，数列中的五个基本量 ，一般可以 “知二求三” ，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.10. 设函数 （ ），为自然对数的底数，若曲线 上存在点 ，使得 ，则的取值
9、范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】曲线 上存在点 函数 （ ）在 上是增函数，根据 单调 性可证 即 在 上有解，分离参数， ， ，根据 是增函数可知，只需故选 A.点睛：本题综合考查了指数函数的定义及其性质、函数的奇偶性、单调性、恒成立问题的等价转化、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于难题.解决已知函数奇偶性求解析式中参数问题时，注意特殊值的使用，可以使问题简单迅速求解，但要注意检验，在处理恒成立问题时，注意利用分离参数求参数的取值范围，注意分离参数后转化为求函数最值问题.11. 已知 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则的最大值为( )A. B. 3 C. D
10、. 【答案】A【解析】令 ，易得 与 互为反函数 与 关于直线 对称 原命题等价于在 上恒成立.记 ，记 ，同理可得 ，综上 的最大值为 ，故选 A【点睛】本题的关键步骤有：页 7 第观察发现 与 互为反函数；将原命题等价转化为 在 上恒成立；利用导数工具求 的最小值，从而求得 ；12. 已知 为奇函数， 与 图像关于 对称，若 ，则 （ ）A. 2 B. -2 C. 1 D. -1【答案】B【解析】根据互为反函数的意义可知： ，又 ，所以 ，故选 B.二、填空题13. 函数 ，若 使得 ，则 _.【答案】【解析】 ，其中 ， ，可知当 时， ，而 ，当且仅当 时等号成立，故 ，当且仅当 ，解
11、得 ，故填 .14. 如图，在正方形 中， 分别是 的中点， 是 的中点.现在沿 及 把这个正方形折成一个空间图形，使 三点重合，重合后的点记为 .下列说法错误的是_（将符合题意的选项序号填到横线上）. 所在平面； 所在平面； 所在平面； 所在平面.【答案】【解析】根据条件 ，所以 平面 ，故 不可能垂直平面，所以错误；正确；若 ，则 ，显然一个三角形中不能两个直角，错误；若 ，则 中两个直角，错误，故选.15. 已知函数 ，则 的取值范围是_.页 8 第【答案】【解析】因为 ，所以 是偶函数，又 ，所以原不等式可化为 ，易知是 上的增函数，故有，解得 ，故填 .点睛：本题主要考查函数的奇偶性
12、的判定，函数单调性的应用，同时考查了单调性的应用，属于中档题.解题时，一定要注意判断奇偶性时，先分析函数的定义域是否关于原点对称，单调性定义法证明时，作差后一定要变形到位，一般为几个因式相乘的形式，然后判断差的正负作出结论，如果是基本初等函数构成的函数，可以直接分析其单调性.16. 体积为 的正三棱锥 的每个顶点都在半径为 的球 的球面上，球心 在此三棱锥内部，且，点 为线段 的中点，过点 作球 的截面，则所得截面圆面积的最小值是_【答案】【解析】设 ，则 ， 体积为 的正三棱锥 的每个顶点都在半径为 的球 的球面上， ，得 ，由 ，得 或 （舍去）， ，由题意知点 为线段 的中点，从而在 中
13、， ，解得 ， 当截面垂直于 时，截面圆的半径为 ，故截面圆面积最小值为 ，故答案为 .三、解答题17. 设函数 ， .（1） 关于 的方程 在区间 上有解,求 的取值范围；（2） 当 时， 恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1) 的取值范围为 ；(2)的取值范围为 .【解析】试题分析：（1）方程 等价于 ，利用导数研究函数的单调性，结合函数图象可得 的取值范围；（2） 恒成立等价于 恒成立，两次求导，求得 的最小值为零， 从而可得实数的取值范围.试题解析：（1）方程 即为 ，令 ，则， 当 时，随 变化情况如表：页 9 第 极大值 ， 当 时， ， 的取值范围是.（2）依题意，当 时， 恒
14、成立，令 ，则，令 ，则当 时， ， 函数 在上递增， ， 存在唯一的零点 ，且当 时， ，当时， ，则当 时， ，当 时， ， 在 上递减，在上递增，从而 ，由 得 ，两边取对数得 ，即实数的取值范围是 .18. 设点 的坐标分别为 ，直线 相交于点 ，且它们的斜率之积 .（1）求点 的轨迹方程；（2）在点 的轨迹上有一点 且点 在 轴的上方， ，求 的范围.【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）设点 的坐标为 ，表示出两直线的斜率，利用斜率之积等于 建立方程，化简即可求出轨迹方程；（2）点 的坐标为 ，利用斜率公式及夹角公式，可得 的关系，再结合点在椭圆上消元后根据椭圆的范
15、围建立不等关系，即可解出 的范围.试题解析：设点 的坐标为因为点 坐标为 ，所以直线 的斜率同理，直线 的斜率由已知有页 10 第化简，得点 的轨迹方程为方法一：设点 的坐标为 ，过点 作 垂直于 轴，垂足为 ，因为点 的坐标为 在点 的轨迹上，所以得，因为 ， ，.所以解得 .方法二：设点 的坐标为 ，点 的坐标分别为直线 的斜率 ，直线 的斜率由 得页 11 第所以 （1）又由于点 的坐标为为 在点 的轨迹上，所以得 ，代入（1）得.因为 ， ，.所以解得 .方法三设点 的坐标为 ，点 的坐标分别为直线 的斜率 ，直线 的斜率由 得所以 （1）又由于点 的坐标为为 在点 的轨迹上，所以代入
16、（1）得 ， ， ，.所以解得 .方法四：设点 的坐标为 ，点 的坐标分别 为页 12 第直线 的斜率 ，直线 的斜率由 得所以 （1）将 代入（1）得 ， ， .因为 ， ，.所以解得 .方法五设点 的坐标为 ，点 的坐标分别为直线 的斜率 ，直线 的斜率由 得.所以解得 .页 13 第点睛：本题主要考查了轨迹方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立 的方程，求出 即可，注意 的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，
17、利用根与系数关系写出 ，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用19. 设等比数列 的公比为 ，前 项和 .（1）求 的取值范围；（2）设 ，记 的前 项和为 ，试比较 与 的大小.【答案】 （1） ；（2） 或 时， ； 或 时， ； ，或 时， .【解析】试题分析：（1）由 可得 ，根据等比数列前 n 项和公式，当 时， ，分析分子分母同号异号的不同情况，解出 的取值范围，当 时， 成立；（2）把 的通项公式代入，可得 和的关系，进而可知 和 的关系，再根据（1）中的 得范围来判断 与 的大小.试题解析：（1）因为 是等比数列， 可得 .当 时， ，当 时， ，即上式等价于不
18、等式组： 或 解式得 ；解，由于 可为奇数、可为偶数，得 .综上， 的取值范围是 .（2）由 得页 14 第， .于是 .又因为 ，且 或 ，所以，当 或 时， ，即 ；当 或 时， ，即 ；当 ，或 时， ，即 .20. 如图，圆 ： （1 ）若圆 与 轴相切，求圆 的方程；（2 ）求圆心 的轨迹方程；（3 ）已知 ，圆 与 轴相交于两点 （点 在点 的左侧） 过点 任作一条直线与圆 ： 相交于两点 问：是否存在实数，使得 ？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由。【答案】 （1） ；（2 ） （3）存在 ，使得 .【解析】试题分析： 在圆的方程中，令 ，可得关于 的一元二次方程的判别式
19、等于零，由此求得的值，从而求得所求圆的方程。(2)消去圆心坐标中的参数即可 先求出 ，假设存在实数，当直线直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 ，代入 ，利用韦达定理，根据 的斜率之和等于零求得的值，经过检验，当直线 与 轴垂直时，这个值仍然满足 从而得出结论解析：（1）由圆 与 轴相切，可知圆心的纵坐标的绝对值与半径相等.故先将圆 的方程化成标准方程为：，由 求得 .即可得到所求圆 的方程为：；（2 ）求圆心 点坐标为 ，则 圆心 点的轨迹方程为（3 ）令 ，得 ，即 所以假设存在实数，当直线 AB 与 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 ，页 15 第代入 得， ，设 从而因为而因为 ，所以 ，即 ，得 当直线 AB 与 轴垂直时，也成立故存在 ，使得点睛：审题要准，要将条件转化为数学语言，例 即 的斜率之和等于零，联立直线与圆的方程，求得实数。
