1、1 页2016-2017 学年福建省福州市文博中学高三（上）10 月月考数学试卷（文科）一、选择题：（每题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，将你认为正确的答案填涂在答题卡的相应位置上 ）1已知集合 A=1，3， ，B=1，m，A B=A ，则 m 的值为（ ）A0 或 B0 或 3 C1 或 D1 或 32已知曲线 C 的方程为+ =1，则“ab” 是“ 曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆”的（ ）A充分必要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件3cos 275+cos215+cos75cos15的值是（ ）A B C D4一个几
2、何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则 h=（ ）A B C D5阅读如图所示的程序框图，执行框图所表达的算法，则输出的结果是（ ）A2 B6 C24 D486已知变量 x，y 满足约束条件，则 z=x2y 的最大值为（ ）A 3 B0 C1 D37已知向量=（2，1） ，=（0，1） ，则|+2|= （ ）A2 B C2 D48若 M 点的极坐标为 ，则 M 点的直角坐标是（ ）A （ ，1 ） B （，1） C （， 1） D （，1）9设 Sn 是公差不为 0 的等差数列a n的前 n 项和，S 3=a22，且 S1，S 2，S 4 成等比数列，则a10=（ ）A15 B19
3、C21 D3010函数 y=的图象大致是（ ）A B C D2 页11设函数 y=f（x）与函数 g（x）的图象关于 x=3 对称，则 g（x ）的表达式为（ ）A Bg（x ）=f（3x） Cg （x ）=f （3 x） Dg（x）=f（6x）12已知函数 f（x ）是定义在 R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实 x1、x 2，不等式（x 1x2）f （x 1）f（x 2）0 恒成立，则不等式 f（1x）0 的解集为（ ）A （ ，1 ） B （，0） C （0，+） D （1，+）二、填空题：（每题 5 分，共 20 分）13已知（a+i）i= 12i（aR ，i 是虚数单位） ，则 a
4、 的值为 14在ABC 中，a=12，A=60 ，三角形有两解，则边 b 的取值范围为 15若命题“x R，使（a 23a+2）x 2+（a1）x+20”是真命题，则实数 a 的取值范围为 16直线=0 截圆 x2+y2=4 得劣弧对应的圆心角的度数为 三、解答题：（共 70 分.选做题 10 分，其余每题 12 分 ）17等比数列a n的各项均为正数，且 2a1+3a2=1，a 32=9a2a6，（）求数列a n的通项公式；（）设 bn=log3a1+log3a2+log3an，求数列的前 n 项和18已知向量，若（） 求函数 f（x）的最小正周期；（） 已知ABC 的三内角 A、B、C 的
5、对边分别为 a、b、c，且 a=3，（A 为锐角） ，2sinC=sinB，求 A、c、b 的值19在ABC 中，设 a，b，c 是角 A，B ，C 所对的边，S 是该三角形的面积，且（I）求角 B 的度数；（II）若，求 b 的值20已知等差数列a n的首项 a1=1，公差 d0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列b n的第二项，第三项，第四项（1）求数列a n与b n的通项公式；（2）设数列c n对任意自然数 n，均有，求 c1+c2+c3+c2006 值21已知函数（a0）（1）求函数 f（x）的定义域及单调区间；3 页（2）若实数 x（a，0时，不等式恒成立，求 a 的取值范围2
6、2在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） 在极坐标系 （与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，圆 C 的方程为=4cos（）求圆 C 的直角坐标方程；（）设圆 C 与直线 l 交于点 A、B，若点 P 的坐标为（ 2，1 ） ，求|PA|+|PB |4 页2016-2017 学年福建省福州市文博中学高三（上）10 月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（每题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，将你认为正确的答案填涂在答题卡的相应位置上 ）1已知集合 A=1，3， ，B=
7、1，m，A B=A ，则 m 的值为（ ）A0 或 B0 或 3 C1 或 D1 或 3【考点】集合关系中的参数取值问题【分析】由题设条件中本题可先由条件 AB=A 得出 BA，由此判断出参数 m 可能的取值，再进行验证即可得出答案选出正确选项【解答】解：由题意 AB=A，即 BA，又，B=1 ，m，m=3 或 m=，解得 m=3 或 m=0 及 m=1，验证知，m=1 不满足集合的互异性，故 m=0 或 m=3 即为所求，故选：B2已知曲线 C 的方程为+ =1，则“ab” 是“ 曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆”的（ ）A充分必要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要
8、条件【考点】椭圆的标准方程【分析】利用曲线 C 的方程为 +=1，结合充要条件的定义，即可得出结论【解答】解：若曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆，则 ab 0，所以“ab”是“ 曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆”的必要条件；若 ab，曲线不一定是椭圆，故充分性不成立，所以“ab”是“ 曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆”的必要不充分条件故选：C3cos 275+cos215+cos75cos15的值是（ ）A B C D5 页【考点】两角和与差的余弦函数；二倍角的正弦【分析】利用诱导公式化简表达式，再用平方关系，二倍角公式化简为 1+sin30，求出结果【解答】解：cos 275+cos2
9、15+cos75cos15=cos275+sin275+sin15cos15=1+sin30=故选 A4一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则 h=（ ）A B C D【考点】由三视图求面积、体积【分析】三视图复原的几何体是四棱锥，结合三视图的数据利用几何体的体积，求出高 h 即可【解答】解：三视图复原的几何体是底面为边长 5，6 的矩形，一条侧棱垂直底面高为 h，所以四棱锥的体积为：，所以 h=故选 B5阅读如图所示的程序框图，执行框图所表达的算法，则输出的结果是（ ）A2 B6 C24 D48【考点】程序框图【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的 s，n 的值，当 n=4
10、 时不满足条件 n3，输出 s是值为 6【解答】解：执行程序框图，有n=1，s=1满足条件 n3，s=1，n=2满足条件 n3，s=2，n=3满足条件 n3，s=6，n=4不满足条件 n3，输出 s 是值为 6故选：B6 页6已知变量 x，y 满足约束条件，则 z=x2y 的最大值为（ ）A 3 B0 C1 D3【考点】简单线性规划【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABC 及其内部，再将目标函数z=x2y 对应的直线进行平移，可得当 x=1，y=0 时，z 取得最大值 1【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的ABC 及其内部，其中 A（ 1，1） ，B（2，1） ，C
11、（1，0）设 z=F（x，y）=x 2y，将直线 l：z=x2y 进行平移，当 l 经过点 C 时，目标函数 z 达到最大值z 最大值 =F（ 1，0）=1故选：C7已知向量=（2，1） ，=（0，1） ，则|+2|= （ ）A2 B C2 D4【考点】向量的模【分析】直接利用向量的坐标运算以及向量的模求解即可【解答】解：向量=（2， 1） ，=（0，1） ，则|+2|=|（2，1）|=故选：B8若 M 点的极坐标为 ，则 M 点的直角坐标是（ ）A （ ，1 ） B （，1） C （， 1） D （，1）【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】利用即可得出【解答】解：=，y=2 =1，M 点的直
12、角坐标是故选：A7 页9设 Sn 是公差不为 0 的等差数列a n的前 n 项和，S 3=a22，且 S1，S 2，S 4 成等比数列，则a10=（ ）A15 B19 C21 D30【考点】等差数列的性质【分析】由 S3=a22，结合等差数列的求和公式可求 a2，然后由，结合等差数列的求和公式进而可求公差 d，结合通项公式进行求解即可【解答】解：设数列的公差为 d， （d 0）S 3=a22，得：3，a 2=0 或 a2=3；S 1，S 2，S 4 成等比数列，若 a2=0，则可得 d2=2d2 即 d=0 不符合题意，若 a2=3，则可得（6d） 2=（3 d） （12+2d） ，解可得 d
13、=0（舍）或 d=2，a 10=a2+8d=3+82=3+16=19，故选：B10函数 y=的图象大致是（ ）A B C D【考点】对数函数的图象与性质【分析】先由奇偶性来确定是 A、B 还是 C、D 选项中的一个，再通过对数函数，当 x=1 时，函数值为 0，可进一步确定选项【解答】解：f（x）=f（x ）是奇函数，所以排除 A，B当 x=1 时，f（x）=0 排除 C故选 D8 页11设函数 y=f（x）与函数 g（x）的图象关于 x=3 对称，则 g（x ）的表达式为（ ）A Bg（x ）=f（3x） Cg （x ）=f （3 x） Dg（x）=f（6x）【考点】函数解析式的求解及常用方
14、法；奇偶函数图象的对称性【分析】先设 g（x）的图象上任意一点的坐标为（x，y） ，欲求 g（x）的表达式，只须求出x，y 的关系式，根据函数 y=f（x ）与函数 g（x ）的图象关于 x=3 对称即可求得对应的函数解析式【解答】解：设 g（x）的图象上任意一点的坐标为 P（x，y） ，点 P（ x，y）关于 x=3 对称的点的坐标 M（6 x，y） ，因为函数 y=f（x）与函数 g（x）的图象关于 x=3 对称，M（ 6x，y）在 y=f（x）的图象上，y=f（6x） ，即 g（ x）的表达式为：g （x）=f （6 x） 故选 D12已知函数 f（x ）是定义在 R 上的奇函数，若对于
15、任意给定的不等实 x1、x 2，不等式（x 1x2）f （x 1）f（x 2）0 恒成立，则不等式 f（1x）0 的解集为（ ）A （ ，1 ） B （，0） C （0，+） D （1，+）【考点】奇偶性与单调性的综合；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质【分析】由所给不等式可判断函数的单调性，而不等式可化为 f（1x）f （0） ，利用单调性可去掉符号“f”，从而转化为一次不等式，解出即可【解答】解：对于任意给定的不等实数 x1，x 2，不等式（x 1x2）f（x 1）f（x 2）0 恒成立，f（ x）在 R 上为减函数，函数 f（x ）是定义在 R 上的奇函数，f（ 0）=0，则 f（
16、1x ）0=f （0） ，又 f（x）为减函数，1x 0，解得 x1，不等式 f（1x）0 的解集为（，1） 9 页故选 A二、填空题：（每题 5 分，共 20 分）13已知（a+i）i= 12i（aR ，i 是虚数单位） ，则 a 的值为 2 【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】把给出的复数的左边展开，然后由复数相等的条件求解【解答】解：由（a+i）i= 12i，得 1+ai=12i所以 a=2故答案为214在ABC 中，a=12，A=60 ，三角形有两解，则边 b 的取值范围为 （12 ，8） 【考点】正弦定理【分析】ABC 有两解时需要：bsinAab，代入数据，求出 x 的范围【解答
17、】解：由题意得，ABC 有两解时需要：bsinA a b，则 bsin6012b，解得 12x8，所以 x 的取值范围是（12，8） ，故答案为：（12，8） 15若命题“x R，使（a 23a+2）x 2+（a1）x+20”是真命题，则实数 a 的取值范围为 【考点】四种命题的真假关系；函数恒成立问题【分析】由题设条件知，当二次项系数小于 零时，命题一定是真命题，当二次系数大于零时，当且仅当不等式相应方程的判别式大于零时才能保障命题成立，当二次项系数为零时，不等式变为了一次不等式，故解本题时要分成三类来求解【解答】解：当 a=1 时，不等式变为 20 ，不成立，当 a=2 时，不等式变为 x
18、+20，成立当 a23a+20，即 1a 2 时，命题显然成立当 a23a+2 0 即 a2 或 a1 时，要使命题成立，只需0即= （ a1） 28（a 23a+2）= 7a2+22a15010 页整理得 7a222a+150，解得 1a，又 a2，所以 2a，综上得 1a16直线=0 截圆 x2+y2=4 得劣弧对应的圆心角的度数为 【考点】直线与圆相交的性质【分析】先利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离，进而利用勾股定理求得直线被圆截得的弦长，判断出弦与半径构成的三角形为正三角形，劣弧所对的圆心角的大小可求得【解答】解：圆心到直线的距离为 d=弦长为 2=2弦与两个半径构成的三角形为正
19、三角形，夹角为直线=0 截圆 x2+y2=4 得劣弧对应的圆心角的度数为故答案为：三、解答题：（共 70 分.选做题 10 分，其余每题 12 分 ）17等比数列a n的各项均为正数，且 2a1+3a2=1，a 32=9a2a6，（）求数列a n的通项公式；（）设 bn=log3a1+log3a2+log3an，求数列的前 n 项和【考点】等比数列的通项公式；数列的求和【分析】 （）设出等比数列的公比 q，由 a32=9a2a6，利用等比数列的通项公式化简后得到关于 q 的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意 q 的值，然后再根据等比数列的通项公式化简 2a1+3a2=1，把求出的
20、 q 的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比 q 写出数列的通项公式即可；（）把（）求出数列a n的通项公式代入设 bn=log3a1+log3a2+log3an，利用对数的运算性质及等差数列的前 n 项和的公式化简后，即可得到 bn 的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列的前 n 项和【解答】解：（）设数列a n的公比为 q，由 a32=9a2a6 得 a32=9a42，所以 q2=由条件可知各项均为正数，故 q=由 2a1+3a2=1 得 2a1+3a1q=1，所以 a1=故数列a n的通项式为 an=11 页（）b n
21、=+=（1+2+n）=，故= =2（）则+=2 （1）+（）+（）=，所以数列的前 n 项和为 18已知向量，若（） 求函数 f（x）的最小正周期；（） 已知ABC 的三内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 a=3，（A 为锐角） ，2sinC=sinB，求 A、c、b 的值【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；余弦定理【分析】 （）利用两角和差的正弦公式化简函数 f（x ）的解析式为 sin（2x ） ，由此求得函数f（x）的最小正周期（） 已知ABC 中，由（A 为锐角） ，求得 sinA=，可得 A=由正弦定理可得 b=2c，根据 a=3，再由余弦定理求
22、出 c、b 的值【解答】解：（） =sinxcosxcos2x+=sin（2x） ，故函数 f（x）的最小正周期为 （） 已知ABC 中，（A 为锐角） ，sinA=，A= 2sinC=sinB，由正弦定理可得 b=2c，a=3，再由余弦定理可得 9=b2+c22bccos解得 b=2，c=19在ABC 中，设 a，b，c 是角 A，B ，C 所对的边，S 是该三角形的面积，且（I）求角 B 的度数；（II）若，求 b 的值【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用【分析】 （I）利用二倍角的余弦函数公式化简已知的等式，得到 cosB 的值，由 B 的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出 B
23、 的度数；（II）由 a，cosB 及三角形的面积 S，利用面积公式求出 c 的值，然后由 a，c 及 cosB 的值，利用余弦定理即可求出 b 的值12 页【解答】解：（I）由得所以，0B， ；（II）由，得，则 b2=a2+c22accosB=，b0，20已知等差数列a n的首项 a1=1，公差 d0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列b n的第二项，第三项，第四项（1）求数列a n与b n的通项公式；（2）设数列c n对任意自然数 n，均有，求 c1+c2+c3+c2006 值【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和【分析】 （1）利用等差数列的通项公式将第二项，第五项，第十四
24、项用a n的首项与公差表示，再据此三项成等比数列，列出方程，求出公差，利用等差数列及等比数列的通项公式求出数列a n与 bn的通项公式（2）利用数列的第 n 项等于前 n 项和减去前 n1 项的和求出 ，进一步求出 cn，利用等比数列的前 n 项和公式求出从第二项开始到第 n 项的和再加上首项 3【解答】解：（1）由题意得（a 1+d） （a 1+13d）= （a 1+4d） 2（d 0）解得 d=2，a n=2n1，b n=3n1（2）当 n=1 时，c 1=3；当 n2 时，cn=23n1，c 1+c2+c2006=3+23+232+232005=3200621已知函数（a0）（1）求函数
25、 f（x）的定义域及单调区间；（2）若实数 x（a，0时，不等式恒成立，求 a 的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；13 页函数的定义域及其求法；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性【分析】 （1）函数的分母不为 0，可求函数的定义域；求导函数，令其大于 0（小于 0） ，结合函数的定义域，可求函数的单调区间；（2）由题意可知，a0，且在（a，0上的最小值大于等于时，实数 x（a ，0时，使得不等式恒成立，故问题转化为求函数在（a，0上的最小值【解答】解：（1）函数 f（x ）的定义域为x|x a.1 分.3 分由 f（x）0，解得 xa+1由 f（x）0，解得 xa +1 且
26、 xaf（ x）的单调递增区间为（ a+1，+） ，单调递减区间为（，a） ， （a ，a+1） .6 分（2）由题意可知，a0，且在（a，0上的最小值大于等于时，实数 x（a ，0时，使得不等式恒成立若 a+10 即 a 1 时，x （a ，a+1） a+1 （a+1，0）f（x） 0 +f（x） 极小值 f（ x）在（a，0上的最小值为 f（a+1）=e a+1则，得.9 分若 a+10 即 a 1 时，f（x）在（a，0 上单调递减，则 f（x）在（a ，0上的最小值为由得 a2 10 分综上所述，0.12 分22在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为（t 为参数） 在极坐标系
27、 （与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，圆 C 的方程为=4cos（）求圆 C 的直角坐标方程；（）设圆 C 与直线 l 交于点 A、B，若点 P 的坐标为（ 2，1 ） ，求|PA|+|PB |【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程【分析】 （I）将 =4cos 两边同乘 ，根据直角坐标与极坐标的对应关系得出直角坐标方程；（II）将直线的参数方程代入圆的普通方程，根据参数的几何意义与根与系数的关系得出|PA|+|PB|14 页【解答】解：（I）=4cos， 2=4cos，圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2=4x，即（x 2） 2+y2=4（II）设点 A、 B 对应的参数分别为 t1，t 2，将代入（x 2） 2+y2=4 整理得，即 t1，t 2 异号|PA|+| PB|=|t1|+|t2|=|t1t2|=15 页2017 年 1 月 18 日
