1、第 1 页 共 16 页2017 届湖南长沙一中高三月考（五）数学（文）试题一、选择题1已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范2x|0Ax|aBABa围是（ ）A. B. 2a2aC. D.0【答案】A【解析】试题分析：由题意得集合 ，要使得2x|0A|2x，则 ，故选 A.B2a【考点】集合的运算.2因为 是虚数单位，复数 ，则 的共轭复数是（ ）i2017+izzA. B. 1C. D.2i12i【答案】B【解析】试题分析：由复数 ，所以其共轭0176(1)+ii+2iz i复数为 ，故选 B.12iz【考点】复数的运算及共轭复数.3某校有“交通志愿者”和“传统文化宣讲”两个社团，若甲、乙
2、、丙三名学生各自随机选择参加其中一个社团，则三人不在同一个社团的概率为（ ）A. B. 14C. D.438【答案】C【解析】试题分析：由题意得，甲、乙、丙三名学生在同一社团共有 种情形，所以2甲、乙、丙三名学生不在同一个社团的概率为 ，故选 C.3214P【考点】等可能事件的概率.4已知 ， ，则 （ ）tan2(0,)5cos(+)A. B. 354C. D.5【答案】D【解析】试题分析：由题意第 2 页 共 16 页，因为2225 sincotancos(+2)cos(2)sin1，得 ，故选 Dtan25415【考点】三角函数的化简求值.5在 中， ， ， 是 边上的高，则ABC30B
3、ACAB（ ）DA. B. 9494C. D.2727【答案】B【解析】试题分析：如图所示，在 中， ， ， 是ABC30BACD边上的高，则 ，所以 ，且 ，A120sin602D 03所以 3coscoCDBBCA.94【考点】向量的数量积的运算.6运行如图所示的程序框图，若输出的点恰有 3次落在直线上 ，则判断框中可yx填写的条件是（ ）A. B. i87iC. D.65【答案】D第 3 页 共 16 页【解析】试题分析：模拟执行程序，可得 ， ，输出点 ，1,0iy1,2xyi(1,)此时输出的点恰好落在直线 上，不满足条件， ，输出点 ，yx30不满足条件， ，输出点 ，不满足条件，
4、 ，1,04xi(,),5xyi输出点 ，此时满足输出的点恰好落在直线 上，所以应添加的条件为 ，(,) yx故选 D【考点】程序框图.7定义在 上的函数 满足 ， ，且R(x)f()f(f2)()f时， ，则 （ ）(1,0)x1252log0A. B. 4C.1 D.【答案】A【解析】试题分析：由定义在 上的函数 满足 ，R(x)f()f(xf，所以函数 为奇函数，且是以 为周期的周期函数，又(x2)()ff()f4时， ，则1,01x2522log0)(log5)f2(log54)f 5(l)(44ff，故选 A.2l 1【考点】函数性质的应用.【方法点晴】本题主要考查了函数性质的综合应
5、用，其中解答中涉及函数的奇偶性的应用、函数的周期性的应用，对数式和指数式的运算等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中根据题设条件得到函数 为奇函数，且是以 为周期的周期函数，再根据指数式与对数式的运(x)f4算是解答的关键，试题比较基础，属于基础题.8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. 13214第 4 页 共 16 页C. D.1214【答案】C【解析】试题分析：由题意得，根据几何体的三视图可知，左侧表示底面半径为 ，1r高为 的 个圆锥，右侧表示一个底面为直角边分别为 和 的底面，侧棱长为h4 12的半个直三棱
6、柱，所以该几何体的体积为 ，2 432Vrh故选 C.【考点】几何体的三视图及体积的计算.9 “珠算之父”程大位是我国明代伟大是数学家，他的应用数学巨著算法统综的问世，标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成.程大位在算法统综中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明.” （注释三升九：3.9 升.次第盛：盛米容积依次相差同一数量.）用你所学的数学知识求得中间两节的容积为（ ）A.1.9升 B.2.1 升 C.2.2升 D.2.3 升【答案】B【解析】试
7、题分析：要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，设相差的同一数量为 升，下端第一节盛米 升，由题意得d1a，解得 ，所以中间两3195123.9854()()32Sadad 1.4,0.1ad节盛米的容积为： （升） ，45111(27.82.故选 B.【考点】等差数列的实际应用.10将函数 的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标(x)2cos()s(x)4g伸长也原来的 2倍，得到函数 的图象，设函数 ，则 的导h21(x)()4fh(x)f函数 的图象大致为（ ）()fx【答案】A【解析】试题分析：由题意得，将函数(x)2cos()(x)2sin()cos(x)in(2)cos44g xx第
8、 5 页 共 16 页的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长也原来的 倍，得到函数(x)g 2，所以 ，则 ，所以函数cosh221(x)()cos4fhx()fxf为奇函数，图象关于原点对称，且 ，如当 ，则fx 1inf4，所以函数在 上单调递减，故选 A.12()sin04248f0,4【考点】三角函数的图象变换；函数的性质.11已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，过 作圆21(a,b)xy1F21的切线分别交双曲线的左、右两支于点 、 ，若 ，则双22xyaBC2|曲线的渐近线方程为（ ）A. B. 32yxC. D.(1)yx(31)【答案】C【解析】试题分析：因为过 作圆 的切
9、线分别交双曲线的左右两支于点1F22xya，且 ，所以 ，设切点为 ，则利用三角形的相似,B2B,()TBxy可得 ，所以 ，所以 ，代入双ycxa22,bcxy2,)abc曲线的方程，整理可得 ，所以双曲线的渐近线方程为 ，(31)a(31yx故选 C.【考点】双曲线的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质，其中解答中涉及到双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，相似三角形、以及双曲线的渐近线的方程的求解等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中根据相似三角形，列出比例关系式，得到点 的坐标是解答的关键，试B题运算较大，属于中
10、档试题.12定义域为 的函数 ，若关于 的方程Rlg|x2|,()1fx恰有 5个不同的实数解 ， ， ， ， ，则2(x)bfc0f12345的值等于（ ）1234x)A. B. 4lg3lg2C. D.第 6 页 共 16 页【答案】B【解析】试题分析：当 时， ，则由 ，所以2x1fx2(x)bfc0f，当 时， ，由 得12,1xcblog()，解得lg()l()c0x或 ，当 时，2x3lg(2)210bbx2x，由lo()fx得 ，解得2)bc0lo()log()cxx或4lg(18x，所以3o2)2b，故选 B.145()(10lg23lfxf【考点】函数的综合应用.【方法点晴】
11、本题主要考查了函数的综合应用问题，其中解答中涉及到对数函数的性质，一元二次函数的图象与性质，对数的运算及指数幂的化简等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解得中按照题设条件分别根据三种情况分类讨论求出关于 的方程 的 个x2()bfxc0f5不同的实数解，即可求解 的值.12345(x)f二、填空题13过点 的直线 与圆 ： 交于 、 两点，当(1,2)MlC22(x3)(y4)5AB最小时，直线 的方程是 .ACB【答案】 30xy【解析】试题分析：由于点 在圆 ： 的内部，由于直(1,2)22(x3)(y4)5线 和圆相交的性质可得，当 最小
12、时，圆心 到直线 的距离最大，此时ACBAB直线 与直线 垂直，由于直线 的斜率 ，则所求直线的斜率为 ，ABM11由直线的点斜式方程得 ，即 .2(1)yx30y【考点】直线与圆的位置关系.14高三（1）班某一学习小组的 、 、 、 四位同学周五下午参加学校的课外ABCD活动，在课外活动时间中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步. 不在散步，也不在打篮球；A 不在跳舞，也不在跑步；B第 7 页 共 16 页“ 在散步”是“ 在跳舞”的充分条件；CA 不在打篮球，也不在跑步；D 不在跳舞，也不在打篮球.以上命题都是真命题，那么 在 .D【答案】画画【解析】试题分析：由题
13、意得，画出此表，如下表所示篮球 画画 跳舞 散步A A AB B BC CD D D可得 在画画.【考点】逻辑的应用.15在 中， 为 边上一点，若 是等边三角形，且 ，则ABCAB43A的面积的最大值为 .C【答案】 43【解析】试题分析：在 中，D，整理得222481cosACAD，所以 ， 时等号成248C 6DCAD立，所以 的面积为 .A13sin4324SA【考点】解三角形问题.【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到正弦定理、余弦定理的应用，基本不等式的应用等知识点的综合考查，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题比较基础，属于基础题，本题的
14、解答中利用余弦定理得出关系式，灵活运用基本不等式的基本性质解答的关键.16学生体质与学生饮食的科学性密切相关，营养学家指出，高中学生良好的日常饮食应该至少提供 0.075 的碳水化合物，0.06 的蛋白质，0.06 的脂肪.已知 1kgkgkg食物 含有 0.105 碳水化合物，0.07 蛋白质，0.14 脂肪，花费 28元；1kgA食物 含有 0.105 碳水化合物，0.14 蛋白质，0.07 脂肪，花费 21元.为Bkkk了满足高中学生日常饮食的营养要求，每天合理搭配食物 和食物 ，则最低花费是AB元.【答案】 16第 8 页 共 16 页【解析】试题分析：设每天食用 食物 ，总花费为 元
15、，那么目标函数xkgBz，且 满足约束条件 ，整理281zxy,x0.15.0.75746.,xy，作出约束条件所表示的可行域，如图所示，将目标函数751460,xy变形， ，如图，作出直线 ，当直线平移经28zxy4321zx2810xy过可行域，在过点 处时， 轴上的截距 最小，解方程组 ，得点My7546的坐标为 所以每天需要同时食用食物 约为 ，食物 约 ，能够满14(,)7A1kgBkg足日常饮食要求，且花费最低 元.16【考点】简单的线性规划问题.【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划问题，在解答简单的线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中
16、的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数，然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解.三、解答题17已知数列 的前 项和 ，令 .an312nS91lognnba（1）求数列 的通项公式；bn（2）若数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，求 .nnT1nnH2017【答案】 （1） ；（2） nb4039第 9 页 共 16 页【解析】试题分析：（1）当 时， ，当 时， ，得到通项公式1na2n13na为 ，进而求得数列数列 的通项公式；（2）由 ，得 ，13nabnb()4nT则 ，即可利用裂项求和.4()
17、()1nTn试题解析：(1)当 时， ；312aS当 时, .2n1nnnaS显然 也满足比式，所以 的通项公式为 .1an13na于是 ，即 的通项公式为 .919logl32nnbabn2nb由 ，得 ，则 .2n (1)(+)4nT41()()nTn于是 ，14()3nH则 .2017089【考点】数列的通项公式；数列求和.18高三学生小罗利用暑假参加社会实践，为了帮助贸易公司的购物网站优化今年国庆节期间的营销策略，他对去年 10月 1日当天在该网站消费且消费金额不超过 1000元的 1000名（女性 800名，男性 200名）网购者，根据性别按分层抽样的方法抽取100名进行分析，得到如
18、下统计图表（消费金额单位：元）：女性消费情况：男性消费情况：（1）现从抽取的 100名且消费金额在800,1000(单位：元)的网购者中随机选出两名发放网购红包，求选出的这两名网购者恰好是一男一女的概率；（2）若消费金额不低于 600元的网购者为“网购达人” ，低于 600元的网购者为“非网购达人” ，根据以上统计数据填写右面 列联表，并回答能否在犯错误的概率不2超过 0.010的前提下认为“是否为网购达人与性别有关?”女性 男性 总计网购达人非网购达人总计 20(k)P0.10 0.05 0.025 0.010 0.005消费金额 （0,200） 200,400） 400,600) 600,
19、800) 800,1000)人数 5 10 15 47 x消费金额 （0,200） 200,400） 400,600) 600,800) 800,1000)人数 2 3 10 y2第 10 页 共 16 页0k2.706 3.841 5.024 6.635 7.879附：（ ，其中 ）22(adbc)(nnabcd【答案】 （1） ；（2）列联表见解析，在犯错误的概率不超过 的前提下可以认35 0.1为“是否为网购达人与性别无关” 【解析】试题分析：（1）按分层抽样女性应抽取 名，男性应抽取 名，从中得到82，从而得到从 名任意选 名，总的基本事件，利用古典概型及其概率的计算公,xy式，即可求
20、解概率；（2）列出列联表，利用对立性检验的公式，求得 ，即可得到k结论.试题解析：按分层抽样女性应抽取 80名，男性应抽取 20名.，80(5147)3x20(312)y抽取的 100名且消费金额在800,1000（单位：元）的网购者中有三位女性设为 ，A， ；BC两位男性设为 ， .ab从 5名任意选 2名，总的基本事件有 ， ， ， ，(A,B),)C(,a,b)(BC， ， ， ， ，共 10个.(,),(,)C,ab设“选出的两名购物者恰好是一男一女为事件 ”.则事件包含的基本事件有 ， ， ， ， ， 共 6个.(,),(,),b(,a),b.63(A)105P（2） 列联表如下表：
21、女性 男性 总计网购达人 50 5 55非网购达人 30 15 45总计 80 20 100则2 22(adbc)10(3)9.01)(854nk且 .9.016.352k6.35)P所以再犯错误的概率不超过 0.010的前提下可以认为“是否为网购达人与性别无关”.【考点】古典概型及其概率的计算；独立性检验.19如图，在梯形 中， ， ，ABCD/B2ACBD， 、 分别是 、 上的点， ， ，沿24ABEF/EFAx将梯形翻折，使平面 平面 ， 是 的中点.G第 11 页 共 16 页（1）当 时，求证： ；2xBDEG（2）当 变化时，求三棱锥 的体积的最大值.CF【答案】 （1）证明见解
22、析；（2） 83【解析】试题分析：（1）作 于 ，连 、 ，由面面垂直的性质，HBHG可得 平面 ，进而得出 ，在根据四边形 为正方形，故DH F，可证得 平面 ，即可证的结论；（2）根据几何体的结构，得EGBED到三棱锥 的高 ，根据三棱锥的体积公式，即可求解三棱锥CFA的体积的最大值试题解析：（1）证：作 于 ，连 、 .平面 平面 ，交线为 ， 平面 ，AFHAED平面 ，又 平面 ，故 .DHGBCG当 时，得 .2x2EB， ， .1C/E90四边形 为正方形，故 .F又 、 平面 ，且 ，故 平面 .HDHEDBH又 平面 ，故 .BDEGB(2) ，平面 平面 ，交线为 ， 平面
23、 .AEFAEDBCFEAEFD面 .又由（1）知 平面 ，故 .BCH/H四边形 是矩形， ，故三棱锥 的高 .Hx又 .42FS（ -x） =82三棱锥 的体积D22118()(x)(0x4)3333BCFBCVA当 时，体积的最大值为 .2x8【考点】直线与平面垂直的判定与证明；三棱锥的体积的计算.第 12 页 共 16 页20如图，椭圆 的左焦点为 ，过点 的直线交椭圆于 ，21(ab0)xyFA两点， 的最大值是 ， 的最小值是 ，且满足 .B|AFM|BFm234MaA（1）求椭圆的离心率；（2）设线段 的中点为 ，线段 的垂直平分线与 轴、 轴分别交于 ，ABGABxyD两点，
24、是坐标原点，记 的面积为 ， 的面积为 ，求 的EOFD1SOED2S12取值范围.【答案】 （1） ；（2） 9(0,)41【解析】试题分析：（1）令 ，则 ， ，由c,(0)FMacmc，得到 ，即可求解椭圆的离心率；（2）设过焦点 的直线234MmaA F的方程为 ，与椭圆方程联立，进而表示出点 ，然后表示出面积，B()ykxc,GD从而求解 的取值范围12S试题解析：(1)令 ，则 ， .(c,0)FMacmc由 ，得 ，即 ，即 ，234MmaA23a423424a，即 ，21e所以椭圆的离心率为 .2（2）由线段 的垂直平分线分别与轴 、 轴交与点 、 ，知 的斜率存在且ABxyD
25、EAB不为 0.令 的方程为 .xtyc联立 ，得 .2143c22(t4)690cty第 13 页 共 16 页， ， .12364cty121228(y)c34xtt223(,)4ctGt由 ，得 ，解之得 .DGAB23DtctxA2Dxt由 ，得RtF tOE.222124()()490(3tSt tcOt令 ，则 ，于是 .12pS912Sp而 上 递增， .于是 .p(+)， 89129841S又 ， ， 的取值范围是 .120S12(0,)4S12S(0,)【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.【方法点晴】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单
26、的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用，三角形的面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及逻辑思维能力和运算能力，此类问题解答的关键在于把直线方程与椭圆方程联立，转化为利用根与系数的关系和韦达定理的应用，试题有一定的难度，属于中档试题.21已知函数 有且只有一个零点，其中 .(x)lna)xf0a（1）求 的值；a（2）设函数 ，证明：对 ， ，不等式()fh1212(,)xx恒成立.12122()xx【答案】 （1） ；（2）证明见解析a【解析】试题分析：（1）求解函数的定义域，利用导数求得函数的单调区间，找到极值点代入，即可求解实数 的值；（2）由 ，得
27、，不妨(x)fh()lnx1)h令 ，引进新函数 ，只需证 ，得到函12x12tt2ltt数在 上单调递增，进而可证的结论.(,)试题解析：（1）因为 ，所以定义域为 ，(x)lna)xf(a,).1(x)fa第 14 页 共 16 页令 ，得 .(x)0f1(a,)当 时， ，则 在区间 上递增；ax)0f(xf(a,1)当 时， ，则 在区间 上递减.1x(，由题意知 ，解得 .ma()f)1af0(2)由 ，得 ，不妨令 .xh()lnx1)h12x欲证 ，12122+()只需证 ，12122ln(x+)l()x只需证 ，1212()l()l()即证2112212ln()xxx即证 12
28、1212lnxx设 ，则只需证 ，化简得 .12(t)tln(t1)t1lntt设 ，则 ，(t)lnt2()t)0t在 上单调递增， ，即 ，得证.()t1,)()11lntt【考点】导数在函数中的综合应用.【方法点晴】本题主要考查了导数在函数中的综合应用，其中解答中涉及到导数的运算，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值与最值，以及函数性质的综合应用和不等式关系的证明，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题，此类问题解答中合理运用导数是解答的关键.22选修 4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线 的方程为 ，以极点 为原点，极轴
29、为C64(cosin)O轴的正半轴建立平面直角坐标系.x（1）求曲线 的参数方程；（2）在直角坐标系中，点 是曲线 上一动点，求 的最大值，并求此时(x,y)MCxy第 15 页 共 16 页点 的直角坐标.M【答案】 （1） （ 为参数） ；（2） 2cosinxy(3,)M【解析】试题分析：（1）由极坐标方程和直角坐标方程的互化公式，即可得到圆的直角坐标方程，进而得到圆的参数方程；（2）利用圆的参数方程，得到，即可得到 的最大值，并求此时点 的直角坐标.4si()xyxy试题解析：（1）由 ，得 ，64cosin)24coss6即 ，即 .260xy22(x(y)即曲线 是以点为圆心(2，
30、2)，以 为半径的圆，令 为圆上任意一点，C(x,y)则圆的参数方程为 （ 为参数）.2cosinxy(2)因为 （ 为参数） ，所以2si.4nco42sin()xy 于是当 时， ，此时 ，即 .max()6y2cos34inxy(,)M【考点】直角坐标与极坐标的互化；圆的参数方程的应用.23选修 4-5：不等式选将设函数 .1(x)|xa|(0)f(1)求证： ；2(2)若 ，求实数 的取值范围.()4f【答案】 （1）证明见解析；（2） (1,23)【解析】试题分析：（1）由 ，利用绝对值不是，即可证明；（2）由 ，0a(2)4f得 ，分类讨论，即可求解实数 的取值范围.|4aa试题解析：(1)由 ，得 ，111|x|(x)|a|a即 .(x)2f（2）由 ，得 .4|2|4第 16 页 共 16 页当 时， .02a11|2a|42412a当 时， .| 3综上得 ，即实数 的取值范围是 .13(1,3)【考点】绝对值不等式的应用.
