1、,第三节,一、格林公式,二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件,格林公式及其应用,第十一章,*三、全微分方程,区域 D 分类,单连通区域 ( 无“洞”区域 ),多连通区域 ( 有“洞”区域 ),域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左,定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有,( 格林公式 ),函数,在 D 上具有连续一阶偏导数,或,一、 格林公式,证明:,1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且,则,定理1,即,同理可证,、两式相加得:,定理1,推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积,格林公式,例如, 椭圆,所围面积,定理1,例1.,设 L
2、是一条分段光滑的闭曲线, 证明,证: 令,则,利用格林公式 , 得,例2. 计算,其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,B(0,1) 为顶点的三角形闭域 .,解: 令, 则,利用格林公式 , 有,例3. 计算,其中L为一无重点且不过原点,的分段光滑正向闭曲线.,解: 令,设 L 所围区域为D,由格林公式知,在D 内作圆周,取逆时,针方向, 对区域,应用格,记 L 和 l 所围的区域为,林公式 , 得,11.1. 5、设C为沿x2+y2=R2逆时针方向一周，则用格林公式计算，,D,解：由格林公式,11.1. 6、用格林公式求由曲线C所围成区域D的面积A=,(B),(C),(D),(A)
3、,C,B,11.1.8、设C为分段光滑的任意闭曲线，(x)及(y)为连续函数，则,(A)与C有关 (B)等于0 (C)与(x)、(x)形式有关 (D)2,的值,由格林公式，原式=0.,解：,11.2.3、设L是xoy平面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线，且,则L所围成的平面闭区域D的面积等于_.,解：由格林公式,11.2.5、设L是单连通域上任意简单闭曲线，a,b为常数，则,0,_.,解：由格林公式,=0,11.3.11、计算,，其中C为椭圆,的正向。,解：,11.3.16、计算曲线积分,，式中L为正向椭圆x2+4y2=1.,11.3.26、利用曲线积分计算椭圆周,所围区域的面积。,11.3.1
4、7、计算曲线积分,其中L是正向椭圆,解：,11.3.42、设L是xoy平面上任意的简单闭曲线，计算曲线积分,由格林公式,二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件,定理2. 设D 是单连通域 ,在D 内,具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有,(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分,(3),(4) 在 D 内每一点都有,与路径无关, 只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:,在 D 内是某一函数,的全微分,即,说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为,证明 (1) (2),设,为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲,线,则,(根据条件(1),定理2,证
5、明 (2) (3),在D内取定点,因曲线积分,则,同理可证,因此有,和任一点B( x, y ),与路径无关,有函数,定理2,证明 (3) (4),设存在函数 u ( x , y ) 使得,则,P, Q 在 D 内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有,定理2,证明 (4) (1),设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图) ,利用格林公式 , 得,所围区域为,证毕,定理2,说明:,根据定理2 , 若在某区域D内,则,2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:,及动点,或,则原函数为,若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;
6、,取定点,1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;,定理2,例4. 计算,其中L 为上半,从 O (0, 0) 到 A (4, 0).,解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段,它与L 所围,原式,圆周,区域为D , 则,例5. 验证,是某个函数的全微分, 并求,出这个函数.,证: 设,则,由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使,例6. 验证,在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函,数 , 并求出它.,证: 令,则,由定理 2 可知存在原函数,或,11.1.7、单连通域G内的函数P(x,y),Q(x,y)具有一阶连续偏导数，则,在G内与路径无关的充要条件是在G内恒有,B,B,1
7、1.1. 9、曲线积分,(A)与曲线L及起点、终点均有关(B)仅与曲线L的起点、终点有关(C)与起点、终点无关(D)等于零,的值,A,11.1.10、曲线积分,的值(A)与曲线L的形状有关 (B)与曲线L的形状无关(C)等于零 (D)等于2,11.1.11、,，因为,所以(A)对任意闭曲线C，I=0; (B)在曲线C不围住原点时，I=0;(C)因,(D)在闭曲线C围住原点时I=0，不围住原点时I0。,在原点不存在，故对任意的闭曲线C，I0；,B,(A)4； (B)0； (C)2；(D)。,11.1.12、设C为任一条光滑简单闭曲线，它不通过原点，也不围住原点，且指定一个方向为正方向。则,B,1
8、1.1.13、表达式,为某个函数的全微分的充分必要条件是,D,11.1.14、设,则,(A),(B),(C),(D),C,11.2.6、已知dz=(x2+2xyy2)dx+(x22xyy2)dy，则函数Z=Z(x,y)=_.,11.3.1、已知P(x,y)=x2+y2，问Q(x,y)满足什么条件时，才能使,与积分路径无关。,11.3.12、求,的值，式中L是由A(1，0)沿曲线,到B(,，0)的弧段。,11.3.23、设,，,。试求曲线积分,其中C为联结点(,，1)和(3，9)的一曲线弧。,；,曲线积分与路径无关，,解：,故,du=(3x2y+8xy2)dx+(x3+8x2y+12yey)dy
9、, 并求出这个函数u(x,y).,，,，,故,是某函数的全微分。,11.3.24、验证在整个xoy平面内存在某函数u(x,y)，使得,解：由于,11.3.27、设函数P(x,y)=x2+y，Q(x,y)=x2。试问是否存在函数u(x，y)，,解：,可使,?,11.3.43、验证 (x22xy+y2)dx(x22xy+y2)dy是某个u(x,y).,二元函数u=u(x,y)的全微分，并求u(x,y).,判别:,P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数,为全微分方程,则,求解步骤:,方法1 凑微分法;,方法2 利用积分与路径无关的条件.,1. 求原函数 u (x, y),2. 由 d u = 0
10、 知通解为 u (x, y) = C .,*三、全微分方程,则称,为全微分方程.,例8. 求解,解: 因为,故这是全微分方程.,则有,因此方程的通解为,法1,法2 此全微分方程的通解为, 则有,两边对 y 求导得,由得,与比较得,因此方程的通解为,例9. 求解,解:, 这是一个全微分方程 .,用凑微分法求通解.,将方程改写为,即,故原方程的通解为,或,思考: 如何解方程,这不是一个全微分方程 ,就化成例9 的方程 .,使,为全微分方程,在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到,为原方程的积分因子.,但若在方程两边同乘,注:若存在连续可微函数,积分因子.,内容小结,1. 格林公式,2.
11、等价条件,在 D 内与路径无关.,在 D 内有,对 D 内任意闭曲线 L 有,在 D 内有,设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有,为全微分方程,思考与练习,1. 设,且都取正向, 问下列计算是否正确 ?,提示:,2. 设,提示:,作业P212 2 (1) ; 3 ; 4 (3) ; 5 (1) , (4) ； 6 (2) ,(5) ; *8 (2), (4), (7) ; 9,第四节,备用题 1. 设 C 为沿,从点,依逆时针,的半圆, 计算,解: 添加辅助线如图 ,利用格林公式 .,原式 =,到点,2. 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到,点B(3, 4),到原点的距离,解: 由图知,故所求功为,锐角,其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为,3. 已知曲线积分,与路径无关, 其中,求由,确定的隐函数,解:,因积分与路径无关 , 故有,即,因此有,
