1、 第三节 一 格林公式 二 平面上曲线积分与路径无关的等价条件 机动目录上页下页返回结束 格林公式及其应用 第十章 区域D分类 单连通区域 无 洞 区域 多连通区域 有 洞 区域 域D边界L的正向 域的内部靠左 定理1 设区域D是由分段光滑正向曲线L围成 则有 格林公式 函数 在D上具有连续一阶偏导数 一 格林公式 机动目录上页下页返回结束 证明 1 若D既是X 型区域 又是Y 型区域 且 则 定理1目录上页下页返回结束 即 同理可证 两式相加得 定理1目录上页下页返回结束 2 若D不满足以上条件 则可通过加辅助线将其分割 为有限个上述形式的区域 如图 证毕 定理1目录上页下页返回结束 推论
2、正向闭曲线L所围区域D的面积 格林公式 例如 椭圆 所围面积 定理1目录上页下页返回结束 例1 设L是一条分段光滑的闭曲线 证明 证 令 则 利用格林公式 得 机动目录上页下页返回结束 例2 计算 其中D是以O 0 0 A 1 1 B 0 1 为顶点的三角形闭域 解 令 则 利用格林公式 有 机动目录上页下页返回结束 例3 计算 其中L为一无重点且不过原点 的分段光滑正向闭曲线 解 令 设L所围区域为D 由格林公式知 机动目录上页下页返回结束 在D内作圆周 取逆时 针方向 对区域 应用格 记L和l 所围的区域为 林公式 得 机动目录上页下页返回结束 二 平面上曲线积分与路径无关的等价条件 定理
3、2 设D是单连通域 在D内 具有一阶连续偏导数 1 沿D中任意闭曲线L 有 2 对D中任一分段光滑曲线L 曲线积分 3 4 在D内每一点都有 与路径无关 只与起止点有关 函数 则以下四个条件等价 在D内是某一函数 的全微分 即 机动目录上页下页返回结束 说明 积分与路径无关时 曲线积分可记为 证明 1 2 设 为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲 线 则 根据条件 1 定理2目录上页下页返回结束 证明 4 1 设L为D中任一分段光滑闭曲线 如图 利用格林公式 得 所围区域为 证毕 定理2目录上页下页返回结束 说明 根据定理2 若在某区域内 则 2 求曲线积分时 可利用格林公式简化计算 若积分
4、路径不是闭曲线 可添加辅助线 1 计算曲线积分时 可选择方便的积分路径 定理2目录上页下页返回结束 例4 计算 其中L为上半 从O 0 0 到A 4 0 解 为了使用格林公式 添加辅助线段 它与L所围 原式 圆周 区域为D 则 机动目录上页下页返回结束 例5 设质点在力场 作用下沿曲线L 由 移动到 求力场所作的功W 解 令 则有 可见 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关 机动目录上页下页返回结束 思考 积分路径是否可以取 取圆弧 为什么 注意 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径 无关 机动目录上页下页返回结束 内容小结 1 格林公式 2 等价条件 在D内与路径无关 对D内任意闭曲线L有 在D内有 设P Q在D内具有一阶连续偏导数 则有 机动目录上页下页返回结束 等价条件 3 的应用 可用积分法求 的原函数 与积分路径无关 选取折线 作业P1532 1 3 4 3 5 1 4
