1、 第三节 一 格林公式 二 平面上曲线积分与路径无关的等价条件 格林公式及其应用 第十一章 三 全微分方程 设D为平面区域 单连通区域 复连通区域 一 区域连通性的分类 区域D分类 单连通区域 无 洞 区域 多连通区域 有 洞 区域 否则称为复连通区域 则称D为平面单连通区域 成的部分都属于D 如果D内任一闭曲线所围 边界曲线L的正向 当观察者沿边界行走时 区域D总在他的左边 定理1 设闭区域D是由分段光滑正向曲线L围成 则有 格林公式 函数 在D上具有连续一阶偏导数 或 证明 1 若D既是X 型区域 又是Y 型区域 且 则 定理1 即 同理可证 两式相加得 定理1 2 若D不满足以上条件 则
2、可通过加辅助线将其分割 为有限个上述形式的区域 如图 证毕 定理1 1 计算平面面积 三 简单应用 格林公式 例如 椭圆 所围面积 定理1 解 例5 计算星形线所围图形的面积 解一 用定积分 如图所示 由对称性 只需计算第一象限部分的面积 解二 用曲线积分 例1 设L是一条分段光滑的闭曲线 证明 证 令 则 利用格林公式 得 2 简化曲线积分 3 简化二重积分 例2 计算 其中D是以O 0 0 A 1 1 B 0 1 为顶点的三角形闭域 解 令 则 利用格林公式 有 例3 计算 其中L为一无重点且不过原点 的分段光滑正向闭曲线 解 令 设L所围区域为D 由格林公式知 在D内作圆周 取逆时 针方
3、向 对区域 应用格 记L和l 所围的区域为 林公式 得 或 B A 二 平面上曲线积分与路径无关 定理2 设G是单连通域 在G内 具有一阶连续偏导数 1 沿G中任意光滑闭曲线L 有 2 对G中任一分段光滑曲线L 曲线积分 3 4 在G内每一点都有 与路径无关 只与起止点有关 函数 则以下四个条件等价 在G内是某一函数 的全微分 即 平面上曲线积分与路径无关的等价条件 说明 积分与路径无关时 曲线积分可记为 证明 1 2 设 为G内任意两条由A到B的有向分段光滑曲 线 则 根据条件 1 定理2 证明 2 3 在G内取定点 因曲线积分 则 同理可证 因此有 和任一点B x y 与路径无关 有函数
4、定理2 证明 3 4 设存在函数u x y 使得 则 P Q在G内具有连续的偏导数 从而在G内每一点都有 定理2 证明 4 1 设L为G中任一分段光滑闭曲线 如图 利用格林公式 得 所围区域为 证毕 定理2 说明 根据定理2 若在某区域G内 则 2 求曲线积分时 可利用格林公式简化计算 3 可用积分法求du Pdx Qdy在域G内的原函数 及动点 或 则原函数为 若积分路径不是闭曲线 可添加辅助线 取定点 1 计算曲线积分时 可选择方便的积分路径 定理2 例5 验证 是某个函数的全微分 并求 出这个函数 证 设 则 由定理2可知 存在函数u x y 使 例6 验证 在右半平面 x 0 内存在原
5、函 数 并求出它 证 令 则 由定理2可知存在原函数 或 4 若已知du Pdx Qdy 则对G内任一分段光滑曲 定理2 注 此式称为曲线积分的基本公式 它类似于微积分基本公式 例7 计算 其中L为上半 从O 0 0 到A 4 0 解 为了使用格林公式 添加辅助线段 它与L所围 原式 圆周 区域为D 则 例8 设质点在力场 作用下沿曲线L 由 移动到 求力场所作的功W 解 令 则有 可见 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关 思考 积分路径是否可以取 取圆弧 为什么 注意 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径 无关 内容小结 转内容小结 判别 P Q在某单连通域D内有连续一阶偏导数 为全
6、微分方程 则 求解步骤 方法1凑微分法 方法2利用积分与路径无关的条件 1 求原函数u x y 2 由du 0知通解为u x y C 三 全微分方程 则称 为全微分方程 例8 求解 解 因为 故这是全微分方程 则有 因此方程的通解为 法1 法2此全微分方程的通解为 则有 两边对y求导得 由 得 与 比较得 因此方程的通解为 例9 求解 解 这是一个全微分方程 用凑微分法求通解 将方程改写为 即 故原方程的通解为 或 练习 用解例8的两种法解此题 思考 如何解方程 这不是一个全微分方程 就化成例9的方程 使 为全微分方程 在简单情况下 可凭观察和经验根据微分倒推式得到 为原方程的积分因子 但若在
7、方程两边同乘 注 若存在连续可微函数 积分因子 内容小结 1 格林公式 2 等价条件 在D内与路径无关 在D内有 对D内任意闭曲线L有 在D内有 设P Q在D内具有一阶连续偏导数 则有 为全微分方程 思考与练习 1 设 且都取正向 问下列计算是否正确 提示 2 设 提示 作业P1532 1 3 4 3 5 1 4 6 2 5 7 第四节 备用题1 设C为沿 从点 依逆时针 的半圆 计算 解 添加辅助线如图 利用格林公式 原式 到点 2 质点M沿着以AB为直径的半圆 从A 1 2 运动到 点B 3 4 到原点的距离 解 由图知 故所求功为 锐角 其方向垂直于OM 且与y轴正向夹角为 3 已知曲线积分 与路径无关 其中 求由 确定的隐函数 解 因积分与路径无关 故有 即 因此有
