1、2020 4 12 阜师院数科院 第三节 一 格林公式 二 平面上曲线积分与路径无关的等价条件 机动目录上页下页返回结束 格林公式及其应用 第十章 2020 4 12 阜师院数科院 区域D分类 单连通区域 无 洞 区域 多连通区域 有 洞 区域 域D边界L的正向 域的内部靠左 定理1 设区域D是由分段光滑正向曲线L围成 则有 格林公式 函数 在D上具有连续一阶偏导数 或 一 格林公式 机动目录上页下页返回结束 2020 4 12 阜师院数科院 证明 1 若D既是X 型区域 又是Y 型区域 且 则 定理1目录上页下页返回结束 2020 4 12 阜师院数科院 即 同理可证 两式相加得 定理1目录
2、上页下页返回结束 2020 4 12 阜师院数科院 2 若D不满足以上条件 则可通过加辅助线将其分割 为有限个上述形式的区域 如图 证毕 定理1目录上页下页返回结束 2020 4 12 阜师院数科院 推论 正向闭曲线L所围区域D的面积 格林公式 例如 椭圆 所围面积 定理1目录上页下页返回结束 2020 4 12 阜师院数科院 例1 设L是一条分段光滑的闭曲线 证明 证 令 则 利用格林公式 得 机动目录上页下页返回结束 2020 4 12 阜师院数科院 例2 计算 其中D是以O 0 0 A 1 1 B 0 1 为顶点的三角形闭域 解 令 则 利用格林公式 有 机动目录上页下页返回结束 202
3、0 4 12 阜师院数科院 例3 计算 其中L为一无重点且不过原点 的分段光滑正向闭曲线 解 令 设L所围区域为D 由格林公式知 机动目录上页下页返回结束 2020 4 12 阜师院数科院 在D内作圆周 取逆时 针方向 对区域 应用格 记L和l 所围的区域为 林公式 得 机动目录上页下页返回结束 2020 4 12 阜师院数科院 二 平面上曲线积分与路径无关的等价条件 定理2 设D是单连通域 在D内 具有一阶连续偏导数 1 沿D中任意光滑闭曲线L 有 2 对D中任一分段光滑曲线L 曲线积分 3 4 在D内每一点都有 与路径无关 只与起止点有关 函数 则以下四个条件等价 在D内是某一函数 的全微
4、分 即 机动目录上页下页返回结束 2020 4 12 阜师院数科院 说明 积分与路径无关时 曲线积分可记为 证明 1 2 设 为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲 线 则 根据条件 1 定理2目录上页下页返回结束 2020 4 12 阜师院数科院 证明 2 3 在D内取定点 因曲线积分 则 同理可证 因此有 和任一点B x y 与路径无关 有函数 定理2目录上页下页返回结束 2020 4 12 阜师院数科院 证明 3 4 设存在函数u x y 使得 则 P Q在D内具有连续的偏导数 从而在D内每一点都有 定理2目录上页下页返回结束 2020 4 12 阜师院数科院 证明 4 1 设L为D中任
5、一分段光滑闭曲线 如图 利用格林公式 得 所围区域为 证毕 定理2目录上页下页返回结束 2020 4 12 阜师院数科院 说明 根据定理2 若在某区域内 则 2 求曲线积分时 可利用格林公式简化计算 3 可用积分法求du Pdx Qdy在域D内的原函数 及动点 或 则原函数为 若积分路径不是闭曲线 可添加辅助线 取定点 1 计算曲线积分时 可选择方便的积分路径 定理2目录上页下页返回结束 2020 4 12 阜师院数科院 例4 计算 其中L为上半 从O 0 0 到A 4 0 解 为了使用格林公式 添加辅助线段 它与L所围 原式 圆周 区域为D 则 机动目录上页下页返回结束 2020 4 12
6、阜师院数科院 例5 验证 是某个函数的全微分 并求 出这个函数 证 设 则 由定理2可知 存在函数u x y 使 机动目录上页下页返回结束 2020 4 12 阜师院数科院 例6 验证 在右半平面 x 0 内存在原函 数 并求出它 证 令 则 由定理2可知存在原函数 机动目录上页下页返回结束 2020 4 12 阜师院数科院 或 机动目录上页下页返回结束 2020 4 12 阜师院数科院 例7 设质点在力场 作用下沿曲线L 由 移动到 求力场所作的功W 解 令 则有 可见 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关 机动目录上页下页返回结束 2020 4 12 阜师院数科院 思考 积分路径是否可以
7、取 取圆弧 为什么 注意 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径 无关 机动目录上页下页返回结束 2020 4 12 阜师院数科院 内容小结 1 格林公式 2 等价条件 在D内与路径无关 在D内有 对D内任意闭曲线L有 在D内有 设P Q在D内具有一阶连续偏导数 则有 机动目录上页下页返回结束 2020 4 12 阜师院数科院 思考与练习 1 设 且都取正向 问下列计算是否正确 提示 机动目录上页下页返回结束 2020 4 12 阜师院数科院 2 设 提示 作业P1532 1 3 4 3 5 1 4 6 2 5 第四节目录上页下页返回结束 2020 4 12 阜师院数科院 备用题1 设C为沿 从点 依逆时针 的半圆 计算 解 添加辅助线如图 利用格林公式 原式 到点 机动目录上页下页返回结束 2020 4 12 阜师院数科院 2 质点M沿着以AB为直径的半圆 从A 1 2 运动到 点B 3 4 到原点的距离 解 由图知 故所求功为 锐角 其方向垂直于OM 且与y轴正向夹角为 机动目录上页下页返回结束
