1、第三章 空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算双基达标 限时 20 分钟1在平行六面体 ABCDABCD 的棱所在向量中，与向量 模相等的向量有 ( AA )A0 个 B3 个 C7 个 D9 个解析 如右图，与向量 模相等的向量有：AA ， ， ， ， ， ， .AA BB BB CC CC DD DD 答案 C2化简 所得的结果是 ( ) PM PN MN A. B. C0 D.PM NP MN 解析 0.PM PN MN NM MN 答案 C3下列说法中正确的是 ( )A若|a |b|，则 a、b 的长度相同，方向相同或相反B若向量 a 是向量 b 的
2、相反向量，则 |a|b|C空间向量的减法满足结合律D在四边形 ABCD 中，一定有 AB AD AC 解析 |a| |b|，说明 a 与 b 模长相等，但方向不确定；对于 a 的相反向量 ba 故| a|b |，从而 B 正确；空间向量只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有 ，只有平行四边形才能成立故 A、C、D 均不正确AB AD AC 答案 B4对于空间中的非零向量 、 、 ，有下列各式：AB BC AC ； ；| | | |；| | | |.其中一定不成立的AB BC AC AB AC BC AB BC AC AB AC BC 是_解析 根据空间向量的加减法运算，对于
3、： 恒成立；AB BC AC 对于：当 、 、 方向相同时，有| | | |；AB BC AC AB BC AC 对于：当 、 、 共线且 与 、 方向相反时，有| | | |.BC AB AC BC AB AC AB AC BC 只有一定不成立答案 5如图，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，M、N 分别为AB、B 1C 的中点用 、 、 表示向量 ，则AB AD AA1 MN _MN 解析 MN MB BC CN ( )12AB AD 12CB BB1 ( )12AB AD 12 AD AA1 .12AB 12AD 12AA1 答案 12AB 12AD 12AA1 6如图，在长、宽、
4、高分别为 AB3，AD2，AA 11 的长方体 ABCD A 1B1C1D1 的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，(1)单位向量共有多少个？(2)试写出模为 的所有向量；5(3)试写出与 相等的所有向量；AB (4)试写出 的相反向量AA1 解 (1)由于长方体的高为 1，所以长方体 4 条高所对应的向量 、AA1 、 、 、 、 、 、 共 8 个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为 1，A1A BB1 B1B CC1 C1C DD1 D1D 故单位向量共 8 个(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为 ，故模为 的向量有 、 、 、 、5 5 AD1 D1A A1D DA1 、 、
5、 、 ，共 8 个BC1 C1B B1C CB1 (3)与向量 相等的所有向量( 除它自身之外)共有 、 及 ，共 3 个AB A1B1 DC D1C1 (4)向量 的相反向量为 、 、 、 ，共 4 个AA1 A1A B1B C1C D1D 综合提高（限时 25 分钟）7如图，在四棱柱的上底面 ABCD 中， ，则下列向量相等的是 AB DC ( ) A. 与 B. 与AD CB OA OC C. 与 D. 与AC DB DO OB 解析 ，| | |，ABDC，即四边形 ABCD 为平AB DC AB DC 行四边形，由平行四边形的性质知， .应选 D.DO OB 答案 D8空间任意四个点
6、 A、B、C 、D，则 等于 ( DA CD CB )A. B. C. D.DB AC AB BA 解析 .DA CD CB DA BD BA 答案 D9如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，若 a， b， c，CA CB CC1 则 _(用 a，b，c 表示) A1B 解析 ( )abc.A1B CB CA1 CB CA CC1 答案 abc10已知点 M 是ABC 的重心，则 _MA MB MC 解析 设 D 为 AB 的中点，则 2 ，又 M 为ABC 的MA MB MD 重心，则 2 ，所以 0.MC MD MA MB MC 答案 011如图，在四棱柱 ABCDABCD 中，求证： AB BC .CA DD 证明 如图， ， ，AB BC AC AC CA AA 所以 ，AB BC CA AC CA AA 在四棱柱 ABCDABCD 中 ， ，AA DD 所以 .AB BC CA DD 12(创新拓展)已知点 G 是ABC 的重心，O 是空间任意一点，若 ，求 的值OA OB OC OG 解 连结 CG 并延长交 AB 于 D，则 D 为 AB 中点，且 CG2GD， OA OB OC OG GA OG GB OG GC 3 OG GA GB GC 3 2 OG GD GC 3 3 .OG ( ) GC GC OG 3.高(考试题库
