1、3.1.3导数的几何意义,【阅读教材】根据下面知识结构图阅读教材,并识记切线、导函数的定义,初步体会导数的几何意义、曲线切线方程的求法及导函数的定义.,【知识链接】1.直线的斜率:已知两点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2),则过AB两点的直线的斜率公式为:k= 2.圆的切线定义:直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切.这时直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做切点.,主题一:导数的几何意义【自主认知】1.观察图形当P1,P2,P3,Pn的位置逐渐靠近点P时,割线PPn的位置与PT的位置有什么位置关系?提示:割线PPn逐渐接近PT.,2.设点P(x0,y0),Pn(xn,yn),则kP
2、Pn是多少?你能知道kPT是多少吗?提示:根据两点连线的斜率公式知:kPPn= kPT的值不知道,但当Pn接近于P点时,割线PPn接近PT,可以用kPPn近似地表示kPT.,根据以上探究过程,试着完成切线与割线的相关定义及它们之间的关系:1.切线定义:当点Pn(xn,f(xn)(n=1,2,3,4,)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0)时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT称为点P处的_.2.割线斜率的定义:割线PPn的斜率是kn=_.,切线,3.切线斜率的计算:曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线斜率k=_=_.4.切线方程的求法:曲线y=f(x)在点P(
3、x0,f(x0)处的切线方程为_.5.与过曲线上点的切线斜率的关系:函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的_.,f(x0),y-f(x0)=f(x0)(x-x0),斜率,【合作探究】1.曲线“在点P处的切线”与“过点P处的切线”的差异是什么?提示:在点P处的切线,点P必为切点;过点P处的切线,点P不一定是切点,点P也不一定在曲线上.2.过一点与一条曲线相切的直线只有一条吗?提示:不一定,如过点(0,1)与曲线y=bx2(b0)相切的直线有两条.,【过关小练】1.过曲线y=2x上两点(0,1),(1,2)的割线的斜率为_.【解析】依题意得
4、,割线的斜率为 =1.答案:1,2.抛物线y2=x与x轴、y轴都只有一个公共点,但只有_是它的切线,而_不是它的切线.【解析】根据曲线在某点处的切线的定义知y轴是曲线y2=x的一条切线,x轴不是切线.答案:y轴x轴,主题二:导函数的概念【自主认知】1.已知函数y=x2,完成下表:,2,4,6,8,10,12,2.据1中的表格,根据函数的定义考虑f(x)是否是关于x的函数?提示:是,由函数的定义知,当x取一个数时,f(x)都有唯一的数与之对应,故f(x)是关于x的函数.,根据以上探究过程,试着写出f(x)的导函数的定义:从求函数f(x)在x=x0处导数的过程可以看到,当x=x0时,f(x0)是_
5、.这样,当x变化时,f(x)便是关于_,我们称它为f(x)的导函数(简称导数),记作y,且f(x)=y=_.,一个,确定的数,x的一个函数,【合作探究】1.函数y=f(x)=x2与函数y=f(x)=2x的定义域是否相同?提示:相同,均是R.2.对于一个函数,如何求其导函数?提示:求导函数的依据是函数在某点处导数的求法,即可利用y=f(x)= 求函数的导函数.,【过关小练】1.导函数图象为一条垂直于y轴的直线的是()A.f(x)=2x+1B.f(x)=x2+1C.f(x)=lgxD.f(x)=【解析】选A.导函数图象为一条垂直于y轴的直线说明该函数在各点处切线的斜率相等.因此选A.,2.已知曲线
6、y=2x3上一点A(1,2),则A处的切线斜率等于()A.2B.4C.6+6x+2(x)2D.6,【解析】选D.因为y=2x3,所以y= 2(x)2+6xx+6x2=6x2.所以点A(1,2)处切线的斜率为6.,【归纳总结】1.对导数定义的四点说明(1)函数应在点x0的附近有定义,否则导数不存在.(2)在定义导数的极限式中,x趋近于0,可正、可负,但不为0,而y可以为0.(3) 是函数y=f(x)对自变量x在x范围内的平均变化率,它的几何意义是过曲线y=f(x)上点(x0,f(x0)及点(x0+x,f(x0+x)的割线斜率.,(4)导数f(x0)= 是函数y=f(x)在点x0处的瞬时变化率,它
7、反映函数y=f(x)在点x0处变化的快慢程度.,2.函数f(x)在点x0处的导数f(x0)、导函数f(x)、导数之间的区别与联系(1)函数f(x)在一点处的导数f(x0),就是在该点的函数的改变量与自变量之比的极限,它是一个常数,不是一个变数.(2)函数的导数,是对某一区间内的任意点x而言的,就是函数f(x)的导函数.(3)函数f(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f(x)在x=x0处的函数值,这也是求函数在点x0处的导数的方法之一.,类型一:求曲线的切线方程【典例1】(1)已知曲线方程为y=x2,则过点A(2,4)且与曲线相切的直线方程为_.(2)(2015济南高二检测)过点P(-1,
8、2)且与曲线y=3x2-4x+2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是_.,【解题指南】(1)由于点A在曲线上,可利用导数的几何意义,求出切线的斜率,再利用点斜式写出直线的方程.(2)先求出在点M处切线的斜率,即可得出所求直线的斜率,利用点斜式即可写出直线的方程.,【解析】(1)因为f(x)= 又点A(2,4)在曲线y=x2上,所以f(2)=4,所以所求切线的斜率k=4,故所求切线的方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.答案:4x-y-4=0,(2)由题意知,y=3(1+x)2-4(1+x)+2-3+4-2=3(x)2+2x,所以y= =2.所以所求直线的斜率k=2.则直线方程为y
9、-2=2(x+1),即2x-y+4=0.答案:2x-y+4=0,【延伸探究】1.(交换条件)在本例(1)中若将“点A(2,4)”改为“点B(0,0),则结果如何?【解析】因为f(x)= 又点B(0,0)在曲线y=x2上,所以f(0)=0,所以所求切线的斜率k=0,故所求切线的方程为y-0=0(x-0),即y=0.,2.(交换条件)在本例(1)中若将“点A(2,4)”改为“点C(3,5),则结果如何?【解析】因为点C(3,5)不在曲线y=x2上,所以设切点坐标为(x0, x02).因为f(x)= 所以f(x0)=2x0,所以切线的斜率k=2x0,切线方程为y-x02=2x0(x-x0),又因为点
10、C(3,5)在切线上,所以5-x02=2x0(3-x0),解得x0=1或x0=5.所以切点坐标为(1,1),(5,25).故所求切线方程为y-1=2(x-1)或y-25=10(x-5),即2x-y-1=0或10x-y-25=0.,【规律总结】1.求曲线在点P(x0,y0)处切线的步骤(1)求出函数y=f(x)在点x0处的导数f (x0).(2)根据直线的点斜式方程,得切线方程为y-y0=f (x0)(x-x0).,2.过曲线外的点P(x1,y1)求曲线的切线方程的步骤(1)设切点为Q(x0,y0).(2)求出函数y=f(x)在点x0处的导数f (x0).(3)利用Q在曲线上,点P(x1,y1)
11、在切线上和f (x0)=kPQ,解出x0,y0及f (x0).(4)根据直线的点斜式方程,得切线方程为y-y0=f (x0)(x-x0).,【拓展延伸】切线的倾斜角与导函数值之间的关系(1)f (x0)0时,切线的倾斜角为锐角;(2)f (x0)0时,切线的倾斜角为钝角;(3)f (x0)=0时,切线与x轴平行或重合;(4)f(x)在x0处的导数不存在,则切线垂直于x轴或不存在.,【补偿训练】设f(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线()A.不存在B.与x轴平行或重合C.与x轴垂直D.与x轴相交但不垂直【解析】选B.曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线斜率为0
12、,切线与x轴平行或重合.,类型二:求曲线的切点【典例2】(1)已知曲线f(x)= x2+2x的一条切线斜率是4,则切点的横坐标为()A.-2B.-1C.1D.2(2)(2015南昌高二检测)设P0为曲线f(x)=x3+x-2上的点,且曲线在P0处切线平行于直线y=4x-1,则P0点的坐标为()A.(1,0)B.(2,8)C.(1,0)或(-1,-4)D.(2,8)或(-1,-4),【解题指南】(1)可先求出导函数值,令其等于切线斜率值,解方程即可得出切点的横坐标.(2)先求出曲线在P0点处的导数值,再求出平行线的斜率,令其相等,解方程即可得出P0点的坐标.,【解析】(1)选D.y=f(x+x)
13、-f(x)= (x+x)2+2(x+x)- x2-2x=xx+ (x)2+2x,所以 =x+ x+2,所以f(x)= =x+2.设切点坐标为(x0,y0),则f(x0)=x0+2.由已知得x0+2=4,所以x0=2.,(2)选C.f(x)= 由于曲线f(x)=x3+x-2在P0处的切线平行于直线y=4x-1,所以f(x)在P0处的导数值等于4,设P0(x0,y0),有f(x0)=3x02+1=4.解得x0=1,这时P0点的坐标为(1,0)或(-1,-4).,【规律总结】求曲线切点坐标的步骤(1)设切点:先设出切点坐标(x0,y0).(2)求斜率:求切线的斜率f(x0).(3)列方程:由斜率间的
14、关系列出关于x0的方程,解方程求x0.(4)求切点:因点(x0,y0)在曲线上,将(x0,y0)代入曲线方程求y0,得切点坐标.,【巩固训练】曲线y=f(x)=x3在点P处切线的斜率为k,当k=3时点P的坐标为()A.(-2,-8)B.(-1,-1)或(1,1)C.(2,8)D.,【解析】选B.设点P的坐标为(x0,y0),则k=f(x0)= (x)2+3x02+3x0x=3x02.因为k=3,所以3x02=3,所以x0=1或x0=-1,所以y0=1或y0=-1.所以点P的坐标为(-1,-1)或(1,1).,【补偿训练】如果曲线y=f(x)在点(2,3)处的切线过点(-1,2),则有()A.f
15、(2)0D.f(2)不存在【解析】选C.由题意知切线过点(2,3)和(-1,2),所以k=f(2)=,类型三:导数几何意义的综合应用【典例3】(1)设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a等于()A.1B.C.-D.-1,(2)(2015福州高二检测)已知函数f(x)的图象如图所示,下列数值的排序正确的是()A.0f(2)f(3)f(3)-f(2)B.0f(3)f(3)-f(2)f(2)C.0f(3)f(2)f(3)-f(2)D.0f(3)-f(2)f(2)f(3).,【延伸探究】若本例(1)中条件“与直线2x-y-6=0平行”改为“与直线2x-y-6=0垂直”,结果如何?【解析】由例题解析可知,2a=- ,a=- .,【规律总结】有关导数的几何意义的综合问题的求解策略(1)转化:利用导数的几何意义把问题转化为求切线方程或切点坐标问题.(2)数形结合:注意方程思想、数形结合思想的应用.,【巩固训练】(2015衡水高二检测)求证:函数y=x+ 图象上各点处的切线斜率都小于1.【证明】y=因为对于定义域内的任意x,都有1- 1,所以函数y=x+ 图象上各点处的切线斜率都小于1.,【补偿训练】已知y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则 =_.【解析】由题意得 所以a=1,又3=a12+b,所以b=2,所以 =2.答案:2,
