1、合肥市 2019届高三第一次教学质量检测数学试题(理科)(考试时间：120 分钟 满分：150 分)第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知 为虚数单位， ，则复数 的虚部为( ).i 41izzA. B. C.2 D.2i222.集合 ， ，则 = ( ).0Ax10BxABA. B.1C. D.2x21x3.执行右图所示的程序框图，则输出 的值为( ).nA.63 B.47 C.23 D.74.已知正项等差数列 的前 项和为 ( )， ，则nanSN25760a的值为( ).1SA.11 B.12 C.20 D.22
2、5.已知偶函数 在 上单调递增，则对实数 ， “ ”是fx0， ab， “ ”的( ).fafbA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是( ).注：90 后指 1990年及以后出生，80 后指 1980-1989年之间出生，80 前指 1979年及以前出生.A.互联网行业从业人员中 90 后占一半以上B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20%C.互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多
3、D.互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多7.平面 外有两条直线 ， ，它们在平面 内的射影分别是直线 ，ab m，则 下列命题正确的是( ).nA.若 ，则 B.若 ，则abmnnabC.若 ，则 D.若 和 相交，则 和 相交或异面/8.若 展开式的常数项为 60，则 的值为( ).61ax aA.4 B. C.2 D.429.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为( ).A. B. C. D.25410438316310.某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1，2，3，4，5 的五个小球，每次摸奖需
4、要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球.若与第一次取出的两个小球号码相同，则为中奖.按照这样的规则摸奖，中奖的概率为( ).A. B. C.D.451925235041011.设双曲线 ( )的左、右焦点分别为 ，过 的直线分别2:xyCabab， 12F， 1交双曲线左右两支于点 ，连结 ，若 ， ，则双曲线MN， 2F， 20MNN的离心率为( ).CA. B. C. D.235612.已知函数 有两个不同的极值点 ，若不等式2lnfxax12x，恒成立，则实数 的取值范围是(
5、).12fxA. B. C. D.3， 3， e， e，第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题、第 23 题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.设 满足约束条件 ，则 的取值范围为 .xy，013xy2zxy14.若非零向量 满足 ，则 . ab， 2aba15.在锐角 中， ， ，则中线 AD 长的取值范围是 .ABCsin2sinBCA16.在平面直角坐标系 中，点 ( )( )，记 的面xOynA1 ， *N2121nnA积为 ，则 .nS1ni三
6、、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(本小题满分 12分)已知函数 .cos2in6fxx()求函数 的最小正周期；f()若 ， ，求 .0 2， 13fcos218.(本小题满分 12分)BDPCEA在四棱锥 中， ，PABCD23BDC.2AD()若点 为 的中点，求证： 平面 ；EEPA()当平面 平面 时，求二面角 的余弦值.PBDACCDB19.(本小题满分 12分)每年 3 月 21 日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础.为了做好今年的世界睡眠日宣传工作，某社区从本辖区内同一年龄层次的人员中抽取了100 人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时
7、间(单位：小时)，并绘制出如右的频率分布直方图：()求这 100 人睡眠时间的平均数 (同一组数据用x该组区间的中点值代替，结果精确到个位)；()由直方图可以认为，人的睡眠时间 近似服从正t态分布 ，其中 近似地等于样本平均数 ，2N， x近似地等于样本方差 ， .假设该辖区内这一年龄层次共有 10000 人，试估计2 2s36该人群中一周睡眠时间位于区间(39.2，50.8)的人数.附： .若随机变量 服从正态分布 ，则3.658Z2N， .026PZ0954P20.(本小题满分 12分)设椭圆 ( )的离心率为 ，圆 与 轴正半轴交于点2:1xyCab0a22:Oxyx，圆 在点 处的切线
8、被椭圆 截得的弦长为 AOC()求椭圆 的方程；()设圆 上任意一点 处的切线交椭圆 于点 ，试判断 是否为定值？PMN， PN若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.21.(本小题满分 12分)已知函数 ( 为自然对数的底数).ln1xfee()求函数 的单调区间；f()若 ， ，试求函数 极小值的最大值.gxfaxRgx请考生在第 22、23 题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑 .22.(本小题满分 10分)选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，曲线 的方程为 ( 为参
9、数).以坐标原点 为极点，xOy1CcosinxyO轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .x 2=2cos()求 、 交点的直角坐标；1C2()设点 的极坐标为 ，点 是曲线 上的点，求 面积的最大值.A34， B2CAOB23.(本小题满分 10分)选修 4-5：不等式选讲设函数 .1fx()若 ，求实数 的取值范围；2x()设 ( )，若 的最小值为 ，求 的值.gxffa1gx12a合肥市 2019届高三第一次教学质量检测数学试题(理科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13. 14.115.
10、16.16， 13 2， 243n三、解答题：17.(本小题满分 12分)() ，3131cos2incos2incos2in6fxxxx函数 的最小正周期为 . 5 分f T()由 可得， .13f1sin263 ， .0,27 ，又 ， ，1sin632x 62， ，cos2 .126scos2cosin2si666 12 分18.(本小题满分 12分)()取 的中点为 ，连结 ， .CDMEB由已知得， 为等边三角形， .BCD ， ，2A3 ，0D ， .9C/BMAD题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D C C D A D D D C C B ABDPC
11、EMA又 平面 ， 平面 ，BMPADPAD 平面 . 为 的中点， 为 的中点， .ECCEM又 平面 ， 平面 ，PADPAD 平面 .M ，平面 平面 .EBBE 平面 ， 平面 . 5 分PAD()连结 ，交 于点 ，连结 ，由对称性知， 为 的中点，且 ，ACDOOBDACBD.POBD平面 平面 ， ，BP 平面 ， ， .A1A3C以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，建立空间OCx直角坐标系 .Dxyz则 (0， ，0)， (3，0，0)， (0，0，1).3P易知平面 的一个法向量为 .PB1 n， ，设平面 的法向量为 ，CD2xyz， ，则 ， ， ，2n2P20nDC
12、， ， .3 0DC， ， 31， ， 30xyz令 ，得 ， ，y1xz， 2 n， ， .1212 13cos n，设二面角 的大小为 ，则 . 12 分CPDBcos1319.(本小题满分 12分)() ；0.634.180.24.860.15.04.2584.75x5 分()由题意得， ， ，39.2 50.8， 39.250.862Pt所以估计该人群中一周睡眠时间在区间 的人数约为 (人)；. ， 10.86212 分20.(本小题满分 12分)()设椭圆的半焦距为 ，由椭圆的离心率为 知， ，c2 2bcab，椭圆 的方程可设为 .C21xyb易求得 ，点 在椭圆上， ，2 0A，
13、 ， 21b解得 ，椭圆 的方程为 . 263abC2163xy5 分()当过点 且与圆 相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为 ，由()PO 2x知， ，2 2 MN， ， ， . 0OMON， ， ， ， ON当过点 且与圆 相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为 ，P ykxm，12xyNxy， ， ， ，即 .2mk21k联立直线和椭圆的方程得 ，226xm ，得 .221460kxm2212241606kmkxk ，12 OMxyNxy， ， ， ，2112kmx221212 26411kmkxk2 222643630k kk， .OMN综上所述，圆 上任意一点 处的切线交椭圆 于
14、点 ，都有 .PCMN， ON在 中，由 与 相似得， 为定值.RtON22OP12 分21.(本小题满分 12分)()易知 ，且 .1x1xfe令 ，则 ，xhe201xh函数 在 上单调递增，且 .1x， 0hf可知，当 时， ， 单调递减； 0， 0hxfln1xfe当 时， ， 单调递增.x， flxf函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 .f 1 0， 0，5 分() ， .lnxgxfaeaxgfxa由()知， 在 上单调递增，gx1，当 时， ；当 时， ，则 有唯一解 .1xxgx0gx0x可知，当 时， ， 单调递减；0x， 0gln1ea当 时， ， 单调递增，0x，
15、lxx函数 在 处取得极小值 ，且 满足 .g0x000ln1xgea0x01xea .000011lnxex令 ，则 .l1xx21xe可知，当 时， ， 单调递增；1 0， 0xx当 时， ， 单调递减，x， .max01函数 极小值的最大值为 1. 12g分22.(本小题满分 10分)() ， ， ， .21:Cxy2:=cosC2=cos2xy联立方程组得 ，解得 ， ，21xy1 32xy21 3y所求交点的坐标为 ， .5 分3 2， ，()设 ，则 .B， =cos 的面积AO11in4sin4cosin2233SOAB2cos36当 时， . 10 分231max23S23.(本小题满分 10分)() ，即 或 ，2fx12x10 2x10 2x13x实数 的取值范围是 . 5 分 3，() ， ， ，1a1a121axgxax， ， ， ，易知函数 在 时单调递减，在 时单调递增，gx1a， 1a， .min ，解得 . 10 分12a2a
