1、安徽省合肥市 2018届高三第一次教学质量检测数学理试题第卷（共 60分）一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知 i为虚数单位，则 234ii（ ）A5 B 5i C 7125i D 7125i2.已知等差数 na，若 20,a，则 n的前 7项的和是（ ）A112 B51 C28 D183.已知集合 M是函数 12yx的定义域，集合 N是函数 24yx的值域，则 MN（ ）A 12x B 142x C ,y且 4y D 4.若双曲线 210,xab的一条渐近线方程为 yx，该双曲线的离心率是（ ）A 5 B 3
2、 C 5 D 23 5.执行如图程序框图，若输入的 n等于 10，则输出的结果是（ ）A2 B 3 C 12 D 13 6.已知某公司生产的一种产品的质量 X(单位：克)服从正态分布 10,4N.现从该产品的生产线上随机抽取 10000件产品，其中质量在 98,104内的产品估计有（ ）（附：若 X服从 2,N，则 0.682PX， 20.954PX）A3413 件 B4772 件 C6826 件 D8185 件7.将函数 cosinyx的图像先向右平移 个单位，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的 a倍，得到 2six的图像，则 ,a的可能取值为（ ）A ,2 B 3,28 C 31,8
3、2a D 1,2a8.已知数列 na的前 项和为 nS，若 na，则 201（ ）A 2018 B 201836 C87D201839.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A 518 B 618 C 86 D 106 10.已知直线 20xy与曲线 xyae相切(其中 e为自然对数的底数)，则实数 a的值是（ ）A B1 C2 D 11.某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为 2千元/件、1 千元/件.甲、乙两种产品都需要在 AB、 两种设备上加工，生产一件甲产品需用 A设备 2小时， B设备 6小时；生产一件乙产品需用 设备 3小时
4、，B设备 1小时. AB、 两种设备每月可使用时间数分别为 480小时、960 小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（ ）A320 千元 B360 千元 C400 千元 D440 千元12.已知函数 2,xefxg(其中 为自然对数的底数） ，若函数 hxfgk有 4个零点，则 k的取值范围为（ ）A 1,0 B 0,1 C 21,e D 210,e 第卷（共 90分）二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上）13. 若平面向量 ,ab满足 2,6ab，则 ab 14.已知 m是常数， 5432011 xxx，且 123453aa，则 m 15.抛物线 2
5、:4Eyx的焦点为 F，准线 l与 x轴交于点 A，过抛物线 E上一点 P(第一象限内)作 l的垂线PQ,垂足为 .若四边形 APQ的周长为 16，则点 P的坐标为 16.在四面体 BCD中， 2,60,90BDC，二面角 ABDC的大小为 150,则四面体 A外接球的半径为 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知 BC的内角 ,A的对边分别为 ,abc， 2cos0CA.（1）求角 ；（2）若 3c，求 的周长的最大值.18.2014年 9月，国务院发布了关于深化考试招生制度改革的实施意见.某地作为高考改革试点地区，从当年秋季新入
6、学的高一学生开始实施，高考不再分文理科.每个考生，英语、语文、数学三科为必考科目 并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考.物理、化学、生物为自然科 学科目，政治、历史、地理为社会科学科目.假设某位考生选考这六个科目的可能性相等.（1）求他所选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率；（2）已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目，两个科目属于自然科学科目.若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获 A等的概率都是 0.8，所选的自然科学科目考试的成绩获 A等的概率都是 0.75,且所选考的各个科目考试的成绩相互独立.用随机变量 X表示他所选考的三个科目
7、中考试成绩获A等的科目数，求 X的分布列和数学期望.19.如图，在多面体 ABCDEF中， 是正方形， BF平面 ACD， E平面 ABCD， FE，点M为棱 E的中点.（1）求证：平面 /BMD平面 EFC；（2）若 2EA，求直线 与平面 BDM所成的角的正弦值.20.在平面直角坐标系中，圆 O交 x轴于点 12,，交 y轴于点 12,B.以 12,为顶点， 12,F分别为左、右焦点的椭圆 ，恰好经过点 21,.（1）求椭圆 E的标准方程；（2）设经过点 2,0的直线 l与椭圆 E交于 ,MN两点，求 2FN面积的最大值.21.已知 ln1afxRx.（1）讨论 f的单调性；（2）若 fx
8、a恒成立，求 a的值.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy中，曲线 13cos:2inxCy ( 为参数)，在以 O为极点， x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 2:cos0C.（1）求曲线 的普通方程；（2）若曲线 1上有一动点 M，曲线 2C上有一动点 N，求 M的最小值.23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 2fx.（1）解关于 的不等式 1fxf；（2）若关于 x的不等式 1fxmfx的解集不是空集，求 m的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: ACBCC 6-10: DDACB 11、1
9、2：BD二、填空题13. 1 14. 3 15.4, 16. 213 三、解答题17. 解：（1）根据正弦定理，由已知得： sin2icosincs0ABCA，即 sincosic2sincoACABC， ， B， sinsinsi0B， sin2icoC，从而 1co2. 0,C， 3.（2）由（1）和余弦定理得221cosabc，即 21aba， 223aba，即 248 (当且仅当 3b时等号成立）.所以， ABC周长的最大值为 46c.18. （1）记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件 M，则 361920PM，所以该位考生选考的三个科目中，至少有一个自然科
10、学科目的概率为 1920.（2）随机变量 X的所有可能取值有 0, 1，2，3.因为 2105480P,2123XC，212455480P，3940X，所以 的分布列为所以 103622.3880EX.19.（1）证明：连结 AC，交 BD于点 N， N为 的中点， /ME. M平面 EF， 平面 F， /平面 . ,BD都垂直底面 ABCD， /FE. ， B为平行四边形， /BEF. D平面 EFC， 平面 C， /平面 .又 MNB，平面 /BDM平面 EF.（2）由已知， E平面 A， 是正方形. ,DAC两两垂直，如图，建立空间直角坐标系 Dxyz.设 2B，则 4，从而 2,01,
11、2,0,4BAE， ,01,M，设平面 D的一个法向量为 ,nxyz，由 0nB得 20xyz.令 x，则 ,1y，从而 2,1n. 2,04AE，设 AE与平面 BDM所成的角为 ，则45sinco1n，所以，直线 AE与平面 B所成角的正弦值为 451.20.（1）由已知可得，椭圆 E的焦点在 x轴上.设椭圆 E的标准方程为 210xyab，焦距为 2c，则 b， 22abc，椭圆 的标准方程为 21xy.又椭圆 E过点 1,， 21b，解得 2b.椭圆 的标准方程为 xy.（2）由于点 2,0在椭圆 E外，所以直线 l的斜率存在.设直线 l的斜率为 k，则直线 :2lykx，设 12,M
12、xyN.由21yx消去 得， 22)180k（ .由 0得 2k，从而22121,xxkk， 221 4MNx.点 2,0F到直线 l的距离 231kd， 2MN的面积为 242SNk.令 1kt，则 1,， 2233tttS22313148tt，当 134t即 1,2t时， S有最大值， max324S，此时 6k.所以，当直线 l的斜率为 6时，可使 2FMN的面积最大，其最大值 324.21.（） fx的定义域为 12， ， 2211axafx. 210,.令 gxax，则（1）若 0，即当 2时，对任意 1,2x， 0gx恒成立， 即当 1,2x时，fx恒成立（仅在孤立点处等号成立）.
13、 在 ,2上单调递增.（2）若 0，即当 2a或 0时， gx的对称轴为 2ax.当 a时， ，且 1g.如图，任意 ,2x， 0x恒成立， 即任意 1,2x时， 0fx恒成立， fx在 1,2上单调递增.当 a时， ，且 102g.如图，记 0gx的两根为 22121,xaxa 当 12,xx时， 0gx；当 ,2a时， .当 12,xx时， 0fx，当 2,时， 0f. fx在 1,和 2,x上单调递增，在 12,x上单调递减.综上，当 a时， f在 1,上单调递增；当 2时， fx在 2,a和 2,a上单调递增，在 2211,a 上单调递减.（） fx恒成立等价于 1,x， 0fxa恒成
14、立. 令 ln2ahfa，则 f恒成立等价于 1,2x， 01hx *. 要满足 *式，即 hx在 1时取得最大值. 322aaxhx.由 10解得 1.当 a时， 21xh，当 1,2x时， 0；当 ,时， 0hx.当 a时， hx在 1,2上单调递增，在 1,上单调递减，从而 10hx，符合题意.所以， 1.22. （1）由 cos0得： 2cos0.因为 22,xyx，所以 2yx， 即曲线 2C的普通方程为 21. （2）由（1）可知，圆 2的圆心为 2,0C，半径为 1. 设曲线 1上的动点 3cos,inM，由动点 N在圆 2C上可得： 2minin1MNC. 223cos14s5cos65M当 s5时， 2min， mini15NC.23.（1） 21fxfx，21x或 x或12x或 4x14，所以，原不等式的解集为 ,.（2）由条件知，不等式 2 1xm有解，则 min21 x即可.由于 12x x ，当且仅当 210x，即当 1,时等号成立，故 2.所以， m的取值范围是 ,.
