1、1第 17 练 直线与圆明晰考情 1.命题角度：直线与圆的考查主要体现在圆锥曲线的考查上，偶有单独命题，单独命题时主要考查求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题.2.题目难度：中低档难度考点一 直线的方程方法技巧 (1)解决直线方程问题，要充分利用数形结合思想，养成边读题边画图分析的习惯(2)求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意(3)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2 A2B10 建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性1已知直线 l1： mx y10， l
2、2：( m3) x2 y10，则“ m1”是“ l1 l2”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案 A解析 “ l1 l2”的充要条件是“ m(m3)120 m 1 或 m2” ，因此“ m1”是“l1 l2”的充分不必要条件2已知 A(1,2)， B(2,11)，若直线 y x1( m0)与线段 AB 相交，则实数 m 的取值(m6m)范围是( )A2,0)3，) B(，1(0,6C2，13,6 D2,0)(0,6答案 C解析 由题意得，两点 A(1,2)， B(2,11)分布在直线 y x1( m0)的两侧(或其中(m6m)一点在直线上)， 0，(
3、m6m 2 1)2(m 6m) 11 1解得2 m1 或 3 m6，故选 C.23过点 P(2,3)的直线 l 与 x 轴， y 轴的正半轴分别交于 A， B 两点， O 为坐标原点，则 SAOB的最小值为_答案 12解析 依题意，设直线 l 的方程为 1( a0， b0)xa yb点 P(2,3)在直线 l 上， 1，则 ab3 a2 b2 ，2a 3b 6ab故 ab24，当且仅当 3a2 b(即 a4， b6)时取等号因此 S AOB ab12，即 S AOB的最小值为 12.124若动点 A， B 分别在直线 l1： x y70 和 l2： x y50 上移动，则 AB 的中点 M 到
4、原点的距离的最小值为_答案 3 2解析 依题意知 AB 的中点 M 的集合是与直线 l1： x y70 和 l2： x y50 的距离都相等的直线，则点 M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离设点 M 所在直线的方程为 l： x y m0，根据平行线间的距离公式，得 ，即| m7| m5|，解得 m6，即|m 7|2 |m 5|2l： x y60.根据点到直线的距离公式，得点 M 到原点的距离的最小值为 3 .| 6|2 2考点二 圆的方程方法技巧 (1)直接法求圆的方程：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程(2)待定系数法求圆的方程：设圆的标准方程或圆的一般方程，依据
5、已知条件列出方程组，确定系数后得到圆的方程5已知圆 C 与直线 x y0 及 x y40 都相切，圆心在直线 x y0 上，则圆 C 的标准方程为( )A( x1) 2( y1) 22B( x1) 2( y1) 22C( x1) 2( y1) 22D( x1) 2( y1) 22答案 B3解析 设圆心坐标为( a， a)，则 ，即| a| a2|，|a a|2 |a a 4|2解得 a1，故圆心坐标为(1，1)，半径 r ，22 2故圆 C 的标准方程为( x1) 2( y1) 22.6圆心在曲线 y (x0)上，且与直线 2x y10 相切的面积最小的圆的方程为( )2xA( x1) 2(
6、y2) 25B( x2) 2( y1) 25C( x1) 2( y2) 225D( x2) 2( y1) 225答案 A解析 y 的导数 y ，令 2，2x 2x2 2x2得 x1(舍负)，平行于直线 2x y10 的曲线 y (x0)的切线的切点的横坐标为 1，代入曲线方程，2x得切点坐标为(1,2)，以该点为圆心且与直线 2x y10 相切的圆的面积最小，此时圆的半径为 .55 5故所求圆的方程为( x1) 2( y2) 25.7已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0， )在圆 C 上，且圆心到直线 2x y0 的5距离为 ，则圆 C 的方程为_455答案 ( x2) 2 y2
7、9解析 圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，设 C(a，0)，且 a0.则圆心 C 到直线 2x y0 的距离 d ，|2a 0|5 455解得 a2(舍负)圆 C 的半径 r| CM| 3，2 02 0 52因此圆 C 的方程为( x2) 2 y29.8圆心在直线 x2 y0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切，圆 C 截 x 轴所得的弦长为 2 ，3则圆 C 的标准方程为_4答案 ( x2) 2( y1) 24解析 设圆心 (a0)，半径为 a.(a，a2)由勾股定理得( )2 2 a2，解得 a2(舍负)3 (a2)所以圆心为(2,1)，半径为 2，所以圆 C 的标准方程为( x2) 2
8、( y1) 24.考点三 点、直线、圆的位置关系方法技巧 (1)研究点、直线、圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题(2)与弦长 l 有关的问题常用几何法，即利用圆的半径 r，圆心到直线的距离 d，及半弦长构成直角三角形的三边，利用其关系来处理l29过点 P(3,1)， Q(a，0)的光线经 x 轴反射后与圆 x2 y21 相切，则 a 的值为( )A B.53 53C. D35 35答案 A解析 点 P(3,1)关于 x 轴的对称点为 P(3，1)，由题意得直线 P Q 与圆x2 y21 相切，因为直线 P Q： x( a3) y a0，所以由 1，得
9、a .| a|1 a 32 5310已知圆 C：( x a)2( y2) 24( a0)，若倾斜角为 45的直线 l 过抛物线 y212 x的焦点，且直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 ，则 a 等于( )3A. 1 B.2 2C2 D. 12 2答案 D解析 抛物线 y212 x 的焦点为(3,0)，故直线的方程为 x y30.弦长为 2 ，圆的半径 r2，3圆心到直线的距离 d1，即 1，|a 2 3|2结合 a0，得 a 1，故选 D.2511已知圆 C1：( x2) 2( y3) 21，圆 C2：( x3) 2( y4) 29， M， N 分别是圆C1， C2上的动点， P 为 x
10、轴上的动点，则| PM| PN|的最小值为_答案 5 42解析 两圆的圆心均在第一象限，先求| PC1| PC2|的最小值，由点 C1关于 x 轴的对称点C1(2，3)，得(| PC1| PC2|)min| C1 C2|5 ，所以(| PM| PN|)min5 (13)2 25 4.212设抛物线 y24 x 的焦点为 F，准线为 l.已知点 C 在 l 上，以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A.若 FAC120，则圆的方程为_答案 ( x1) 2( y )213解析 由题意知该圆的半径为 1，设圆心 C(1， a)(a0)，则 A(0， a)又 F(1,0)，所以 (1,0)，
11、(1， a)AC AF 由题意知 与 的夹角为 120，AC AF 得 cos120 ，AC AF |AC |AF | 111 a2 12解得 a (舍负)3所以圆的方程为( x1) 2( y )21.31直线 xcos y20 的倾斜角 的取值范围是_3答案 0， 6 56， )解析 设直线的斜率为 k，则 ktan cos .33因为1cos 1，所以 cos .33 33 33所以 tan .33 33当 0tan 时，0 ；33 6当 tan 0 时， .33 566故此直线的倾斜角 的取值范围是 .0， 6 56， )2已知过点(2,4)的直线 l 被圆 C： x2 y22 x4 y
12、50 截得的弦长为 6，则直线 l 的方程为_答案 x20 或 3x4 y100解析 当 l 斜率不存在时，符合题意；当 l 斜率存在时，设 l： y k(x2)4，C：( x1) 2( y2) 210.由题意可得 2 210，(|2 k|k2 1) (62)解得 k ，此时 l：3 x4 y100.34综上，直线 l 的方程是 x20 或 3x4 y100.3由直线 y x1 上的一点向圆( x3) 2 y21 引切线，则切线长的最小值为_答案 7解析 如图所示，设直线上一点 P，切点为 Q，圆心为 M，则| PQ|即为切线长， MQ 为圆 M 的半径，长度为 1，|PQ| ，|PM|2 |
13、MQ|2 |PM|2 1要使| PQ|最小，即求| PM|的最小值，此题转化为求直线 y x1 上的点到圆心 M 的最小距离，设圆心到直线 y x1 的距离为 d，则 d 2 .|3 0 1|12 12 2所以| PM|的最小值为 2 .2所以| PQ| .|PM|2 1 222 1 7解题秘籍 (1)直线倾斜角的范围是0，)，要根据图形结合直线和倾斜角的关系确定倾斜角或斜率范围(2)求直线的方程时，不要忽视直线平行于坐标轴和直线过原点的情形(3)和圆有关的最值问题，要根据图形分析，考虑和圆心的关系71已知命题 p：“ m1” ，命题 q：“直线 x y0 与直线 x m2y0 互相垂直” ，
14、则命题 p 是命题 q 的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案 A解析 “直线 x y0 与直线 x m2y0 互相垂直”的充要条件是11(1) m20 m1.命题 p 是命题 q 的充分不必要条件2两条平行线 l1， l2分别过点 P(1,2)， Q(2，3)，它们分别绕 P， Q 旋转，但始终保持平行，则 l1， l2之间距离的取值范围是( )A(5，) B(0,5C( ，) D(0， 34 34答案 D解析 当 PQ 与平行线 l1， l2垂直时，| PQ|为平行线 l1， l2间的距离的最大值，为 ， 1 22 2 32 34 l1， l2之间
15、距离的取值范围是(0， 故选 D.343已知过点 P(2,2)的直线与圆 C：( x1) 2 y25 相切，且与直线 ax y10 垂直，则a 等于( )A B1C2D.12 12答案 C解析 由切线与直线 ax y10 垂直，且 P 为圆 C 上一点，得过点 P(2,2)与圆心(1,0)的直线与直线 ax y10 平行，所以 a，解得 a2.2 02 14若直线 x y m0 被圆 C：( x1) 2 y25 截得的弦长为 2 ，则 m 的值为( )3A1 B3C1 或3 D2答案 C8解析 圆 C：( x1) 2 y25 的圆心 C(1,0)，半径 r ，5又直线 x y m0 被圆截得的
16、弦长为 2 .3圆心 C 到直线的距离 d ，r2 32 2 ， m1 或 m3.|1 0 m|12 12 25已知三点 A(1,0)， B(0， )， C(2， )，则 ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )3 3A. B.53 213C. D.253 43答案 B解析 设 ABC 外接圆的一般方程为 x2 y2 Dx Ey F0，Error! Error! ABC 外接圆的圆心为 ，(1，233)圆心到原点的距离 d .12 (233)2 2136已知圆 C：( x1) 2 y225，则过点 P(2，1)的圆 C 的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( )A10 B9 C
17、10 D 931 21 23 11答案 C解析 易知最长弦为圆的直径 10，又最短弦所在直线与最长弦垂直，且| PC| ，2最短弦的长为 2 2 2 ，r2 |PC|2 25 2 23故所求四边形的面积 S 102 10 .12 23 237已知圆的方程为 x2 y24 x6 y110，直线 l： x y t0，若圆上有且只有两个不同的点到直线 l 的距离等于 ，则参数 t 的取值范围为( )22A(2,4)(6,8) B(2.46,8)C(2,4) D(6,8)答案 A解析 把 x2 y24 x6 y110 变形为( x2) 2( y3) 22，所以圆心坐标为(2,3)，半9径为 ，则 ，解
18、得 2t4 或 6t8.222 |2 3 t|2 2 228如图，圆 M 和圆 N 与直线 l： y kx 分别相切于点 A， B，与 x 轴相切，并且圆心连线与l 交于点 C，若| OM| ON|且 2 ，则实数 k 的值为( )AC CB A1 B.34C. D.343答案 D解析 过两圆圆心分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 P， Q，设圆 M，圆 N 的半径分别为 R， r， 2 ，| AC|2| BC|.AC CB OB 是圆 M，圆 N 的切线， AM OB， BN OB， MAC NBC， 2，即 R2 r.|AM|BN| |AC|BC| x 轴是两圆的公切线，且 OB 也是两圆的
19、公切线， OM 平分 BOP， ON 平分 BOQ， NOQ POM90， NOQ PMO，又| OM| ON|， MPO OQN，| OQ| MP| R.tan NOQ ，|NQ|OQ| rR 1210tan BOQtan2 NOQ ， k .12 121 (12)2 43 439(2018全国)直线 y x1 与圆 x2 y22 y30 交于 A， B 两点，则| AB|_.答案 2 2解析 由 x2 y22 y30，得 x2( y1) 24.圆心 C(0，1)，半径 r2.圆心 C(0，1)到直线 x y10 的距离 d|1 1|2 ，| AB|2 2 2 .2 r2 d2 4 2 21
20、0直线 ax by1 与圆 x2 y21 相交于 A， B 两点(其中 a， b 是实数)，且 AOB 是直2角三角形( O 是坐标原点)，则点 P(a， b)与点(0,1)之间距离的最大值为_答案 12解析 AOB 是直角三角形等价于圆心(0,0)到直线 ax by1 的距离等于 ，由点到直222线的距离公式，得 ，即 2a2 b22，即 a21 且 b ， 点12a2 b2 22 b22 2 2P(a， b)与点(0,1)之间的距离为 d ，因此当 b 时，a2 b 1212b2 2b 2 2dmax 1.3 22 211已知圆 C 的方程是 x2 y28 x2 y80，直线 l： y a
21、(x3)被圆 C 截得的弦长最短时，直线 l 的方程为_答案 x y30解析 圆 C 的标准方程为( x4) 2( y1) 29，圆 C 的圆心 C(4,1)，半径 r3.又直线 l： y a(x3)过定点 P(3,0)，则当直线 l 与直线 CP 垂直时，被圆 C 截得的弦长最短因此 akCP a 1，1 04 3 a1.故所求直线 l 的方程为 y( x3)，即 x y30.12在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2 y28 x150，若直线 y kx2 上至11少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值是_答案 43解析 圆 C 的标准方程为( x4) 2 y21，圆心为(4,0)由题意知，(4,0)到 kx y20 的距离应不大于 2，即 2.整理得 3k24 k0，|4k 2|k2 1解得 0 k .故 k 的最大值是 .43 43
