1、第三章 单元综合检测 (一)(时间 120 分钟 满分 150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1下列各式正确的是( )A (sina)cosa( a 为常数) B (cosx)sinxC (sinx)cos x D (x5 ) x615解析：由导数公式知选项 A 中(sina) 0；选项 B 中(cosx)sinx；选项 D 中(x 5 )5x 6 ，只有 C 正确答案：C 2曲线 y 在点(1，1)处的切线方程为( )xx 2A y2x1 B y2x1C y 2x3 D y2x2解析：y ，x x 2 xx 2x 22 2x 22kyError! x1
2、2.2 1 22切线方程为 y12( x1)，即 y2x1.答案：A 3函数 f(x)x 2lnx 的单调递减区间是( )A B(0，22 22， )C ， D ，( ， 22 (0，22) 22，0) (0，22解析：f(x)2x ，当 00 时，f ( x)0，g(x)0，则 x0，g(x )0 B f(x)0， g( x)0 D f(x)0 时单调递增，所以 x0；g(x)为偶函数且 x0 时单调递增，所以 x0)，贷款的利率为 0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去若存款利率为 x(x (0,0.048)，则银行为获得最大收益，需将存款利率定为( )A 0.032 B 0.024
3、C 0.04 D 0.036解析：设存款利率为 x，依题意：存款量是 kx2，银行应支付的利息是 kx3，贷款的收益是 0.048kx2，其中 x(0,0.048)所以银行的收益是 y0.048kx 2kx 3(00；当0.032f(x)，则当 ab 时，下列不等式成立的是( )A eaf(a)ebf(b) B ebf(a)eaf(b)C ebf(b)eaf(a) D eaf(b)ebf(a)解析：( )fxex exf x exfxex2 b，fxex ebf(a)faea fbeb答案：D 112014课标全国卷已知函数 f(x)ax 33x 21，若 f(x)存在唯一的零点 x0，且x0
4、0，则 a 的取值范围是( )A (2，) B (，2)C (1，) D (， 1)解析：当 a0 时，f(x )3x 21 有两个零点，不符合题意，故 a0. f(x)3ax 26x3x (ax2)，令 f( x)0，得 x0 或 x ，由题意得 a0, 解得2a 2aa0，得1 .2x x2ln22x 2ln2函数 y .在(0， )上递增，在(，0) ，( ，) 内单调递减x22x 2ln2 2ln218(12 分) 已知曲线 y x3 .13 43(1)求曲线在 x2 处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4) 的切线方程解：(1)yx 2，在点 P(2,4)处的切线斜率 kyError
5、! x2 4.又 x2 时 y4，在点 P(2,4)处的切线方程：4xy40.(2)设曲线 y x3 与过点 P(2,4)的切线相切于点 A(x0， x )，13 43 1330 43则切线斜率 ky Error!x x 0x ，20切线方程为 y( x )x (xx 0)，1330 43 20即 yx x x .202330 43点 P(2,4)在切线上，x 3x 40.30 20(x 0 1)(x02) 20，解得 x01，x 02.故所求的切线方程为 yx 2 或 y4x4，即 4xy40 或 xy20.19(12 分)2013课标全国卷已知函数 f(x)e xln( xm)(1)设 x
6、0 是 f(x)的极值点，求 m，并讨论 f(x)的单调性；(2)当 m2 时，证明 f(x)0.解：(1)f(x) ex .1x m由 x0 是 f(x)的极值点得 f (0)0，所以 m1.于是 f(x)e xln(x1) ，定义域为(1，)，f( x)e x .1x 1函数 f(x) e x 在(1，) 上单调递增，且 f(0)0，因此当 x( 1,0)时，1x 1f(x)0.所以 f(x)在(1,0)上单调递减，在(0，) 上单调递增(2)当 m2，x(m，)时，ln(x m)ln(x2)，故只需证明当 m2 时，f(x)0.当 m2 时，函数 f(x)e x 在( 2，)上单调递增1
7、x 2又 f(1)0，故 f(x )0 在(2，)上有唯一实根 x0，且 x0(1,0)当 x( 2，x 0)时，f( x)0，从而当 xx 0 时，f(x) 取得最小值由 f(x 0)0，得 ex0 ，ln(x 02)x 0.1x0 2故 f(x)f(x 0) x 0 0.1x0 2 x0 12x0 2综上，当 m2 时，f(x)0.20(12 分) 已知某公司生产的某品牌服装的年固定成本为 10 万元，每生产 1 千件，需另投入 1.9 万元，设 R(x)(单位：万元) 为销售收入，据市场调查知 R(x)Error!其中 x 是年产量( 单位：千件) (1)写出年利润 W 关于年产量 x
8、的函数关系式；(2)年产量为多少时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？解：(1)依题意有：WError!即 WError!(2)设 f(x) x38.1x10(0x10)，f(x) x2 8.1，由 f(x )0，得 x9130 110或 x9( 舍去 )当 0x9 时，f( x)0；当 9x10 时，f (x) 0，所以当 x9 时，f(x) 取得最大值 38.6.当 x10 时， 1.9x 0 时，令 f(x) 0 得，x 1 ，x 2 ，2ax 1 ax 1x 12a 1a所以 f(x) ，f(x )的变化情况如下表：x (0， )1a 1a( ，)1af(x ) 0 f(x)
9、 单调递增 极大值 单调递减所以 f(x)maxf( )ln 1.1a 1a综上可得 a1.22(12 分)2014唐山统考已知函数 f(x) .exxex 1(1)证明：00 时，f(x) ，求 a 的取值范围1ax2 1解：(1)设 g(x)x ex1，则 g(x)( x1)e x.当 x( ，1)时，g(x )0，g(x)单调递增所以 g(x)g(1)1e 1 0.又 ex0，故 f(x)0.f(x) ，ex1 exxex 12当 x( ，0)时，f(x)0，f(x)单调递增；当 x(0 ，)时，f(x)0 时，f(x)1，不等式不成立1 a 1ax2 1若 a0，则 f(x) 等价于(ax 2x1)e x10.(*)1ax2 1设 h(x)(ax 2 x1)e x1，则 h(x) x (ax2a1)e x.若 a ，则当 x(0 ，)时，12h(x)0，h( x)单调递增，h(x)h(0)0.若 00，不等式(*) 成立，当且仅当 a .12综上，a 的取值范围是 ， ) 12
