1、北京市人大附中 2012 届高三数学尖子生专题训练：空间向量与立体几何I 卷一、选择题1已知三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱与底面边长都相等， A1在底面 ABC 内的射影为 ABC 的中心，则 AB1与底面 ABC 所成角的正弦值等于( )A B 13 23C D33 23【答案】B2平面 ， 的法向量分别是 n1(1,1,1)， n2(1,0，1)，则平面 ， 所成角的余弦值是( )A B33 33C D63 63【答案】C3以下命题中，不正确的命题个数为( )已知 A、 B、 C、 D 是空间任意四点，则 A B C D0若 a， b， c为空间一个基底，则 a b， b c， c a
2、构成空间的另一个基底；对空间任意一点 O 和不共线三点 A、 B、 C，若 O x y z(其中 x， y， zR)，则P、 A、 B、 C 四点共面A0 B1C2 D3【答案】B4在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中， P 为正方体内一动点(包括表面)，若 x y z，且0 x y z1.则点 P 所有可能的位置所构成的几何体的体积是( )A1 B C D12 13 16【答案】D5如图所示，在四面体 P ABC 中， PC平面 ABC， AB BC CA PC，那么二面角 B AP C 的余弦值为( )A B22 33C D77 57【答案】C6点 M 在 z 轴上，它与经
3、过坐标原点且方向向量为 s(1，1,1)的直线 l 的距离为 ，则点6M 的坐标是( )A(0,0，2) B(0,0，3)C(0,0， ) D(0,0，1)3【答案】BII 卷二、填空题7 已知 a3 ，6， 6，b 1,3,2 ，若 ab，则 _.【答案】28 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A(4,1,3)， B(2，5,1)， C(3,7，5)，则顶点 D 的坐标为_【答案】(5,13，3)9 如图，已知正三棱柱 ABCA1B1C1的各条棱长都相等， M 是侧棱 CC1的中点，则异面直线 AB1和 BM 所成的角的大小是_【答案】9010 空间四边形 OABC 中， G
4、 是 ABC 的重心，试用， ，表示，则_.【答案】 13 13 1311 已知四棱锥 PABCD 的底面为直角梯形， AB DC， DAB90， PA底面ABCD， PA AD DC1， AB2， M 是 PB 的中点，则平面 AMC 与平面 BMC 所成二面角的余弦值是_【答案】2312 若点 A(1,2,3)、 B(2，4,1)、 C(x，1，3)是直角三角形的三个顶点，则 x 的值为_【答案】 或1116313在空间四边形 ABCD 中， A a2 c， 5 a6 b8 c，对角线 AC、 BD 的中点分别为P、 Q，则_.【答案】3 a3 b5 c14 已知空间三点 A(2,0,2)
5、， B(1,1,2)， C(3,0,4)，设 a，b，若向量 kab 与ka2b 互相垂直，则 k 的值为_【答案】 或 252三、解答题15如图， BCD 与 MCD 都是边长为 2 的正三角形，平面 MCD平面 BCD， AB平面BCD， AB2 3(1)求点 A 到平面 MBC 的距离；(2)求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值【答案】解法一：(1)取 CD 中点 O，连 OB， OM，则 OB OM ， OB CD， MO CD，3又平面 MCD平面 BCD，则 MO平面 BCD，所以 MO AB， MO平面 ABC， M、 O 到平面 ABC的距离相等作 OH BC 于
6、 H，连 MH，则 MH BC.求得 OH OCsin60 ，32MH ，(r(3)2 (f(r(3),2)2152设点 A 到平面 MBC 的距离为 d，由 VA MBC VM ABC得 S MBCd S ABCOH.13 13即 2 d 22 ，13 12 152 13 12 3 32解得 d 2155(2)延长 AM、 BO 相交于 E，连 CE、 DE， CE 是平面 ACM 与平面 BCD 的交线由(1)知， O 是 BE 的中点，则四边形 BCED 是菱形作 BF EC 于 F，连 AF，则 AF EC， AFB 就是二面角 A EC B 的平面角，设为 .因为 BCE120，所以
7、 BCF60. BF2sin60 ，3tan 2，sin ABBF 255则所求二面角的正弦值为 255解法二：取 CD 中点 O，连 OB， OM，则 OB CD， OM CD，又平面 MCD平面 BCD，则 MO平面 BCD.取 O 为原点，直线 OC、 BO、 OM 为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系如图 OB OM ，3则各点坐标分别为 C(1,0,0)， M(0,0， )， B(0， ， 0)， A(0， ，2 )3 3 3 3(1)设 n( x， y， z)是平面 MBC 的法向量，则(1， ，0)，(0， ， )3 3 3由 n得 x y0；由 n得 y z0.3
8、 3 3取 n( ，1,1)，(0,0,2 )则3 3d 235 2155(2)(1,0， )，(1， ，2 )3 3 3设平面 ACM 的法向量 n1( x， y， z)，则 n1， n1得Error!，解得 x z， y z，取 n1( ，1,1)3 3又平面 BCD 的法向量为 n2(0,0,1)所以 cos n1， n2 ，n1n2|n1|n2| 15设所求二面角为 ，则 sin 25516 正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F， G， H 分别是 A1B1， B1C1， C1D1， D1A1的中点，求证：平面AEH平面 BDGF.【答案】 建立如图所示的空间直角坐标系 Dx
9、yz，设正方形的边长为 2，则点 A(2,0,0)，E(2,1,2)， H(1,0,2)， G(0,1,2)， F(1,2,2)(1，1,0)，(1,1,0)，(0,1,2)，(0,1,2)，.即可得 EH GF， AE DG.又 EH平面 BDGF， AE平面 BDGF， GF平面 BDGF， DG平面 BDGF， EH平面 BDGF， AE平面 BDGF .又直线 EH直线 AE E，平面 AEH平面 BDGF.17如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中， AB AC，顶点 A1在底面 ABC 上的射影恰为点 B，且AB AC A1B2.(1)求棱 AA1与 BC 所成的角的大小；(2)在棱
10、 B1C1上确定一点 P，使 AP ，并求出二面角 PABA1的平面角的余弦值14【答案】(1)如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系 A xyz，则 C(2,0,0)， B(0,2,0)，A1(0,2,2)， B1(0,4,2)，(0,2,2)，(2，2,0)，cos， ，故 AA1与 BC 所成的角是 488 12 3(2)设 (2 ，2 ，0)，则 P(2 ，42 ，2)于是 AP ( 舍去)，4 2 (4 2 )2 4 1412 32则 P 为棱 B1C1的中点，其坐标为 P(1,3,2)设平面 PAB 的法向量为 n1( x， y， z)，则故 n1(2,0,1)而平面 ABA1的法
11、向量是 n2(1,0,0)，则 cosn 1，n 2 ，n1n2|n1|n2| 25 255故二面角 PABA1的平面角的余弦值是 25518如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形， DAB60， AB2 AD， PD底面ABCD.(1)证明： PA BD；(2)若 PD AD，求二面角 A PB C 的余弦值【答案】(1)证明：因为 DAB60， AB2 AD，由余弦定理得 BD AD.3从而 BD2 AD2 AB2，故 BD AD.又 PD底面 ABCD，可得 BD PD.所以 BD平面 PAD.故 PA BD.(2)如图，以 D 为坐标原点， AD 的长为单位长，射
12、线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz，则A(1,0,0)， B(0， ，0)， C(1， ，0)， P(0,0,1)3 3(1， ，0)， P(0， ，1)，3 3C(1,0,0) 设平面 PAB 的法向量为 n( x， y， z)，则Error! 即Error!因此可取 n( ，1， )3 3设平面 PBC 的法向量为 m，则Error!可取 m(0，1， )3则 cos m， n 427 277故二面角 A PB C 的余弦值为 27719在如图的多面体中， EF平面AEB， AE EB， AD EF， EF BC， BC2 AD4， EF3， AE BE2， G 是
13、BC 的中点(1)求证： AB平面 DEG；(2)求证： BD EG；(3)求二面角 C DF E 的余弦值【答案】(1)证明： AD EF， EF BC， AD BC.又 BC2 AD， G 是 BC 的中点， AD 綊 BG，四边形 ADGB 是平行四边形 AB DG. AB平面 DEG， DG平面 DEG， AB平面 DEG.(2)证明： EF平面 AEB， AE平面 AEB， BE平面 AEB， EF AE， EF BE，又 AE EB， EB， EF， EA 两两垂直以点 E 为坐标原点， EB， EF， EA 分别为 x， y， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系由已知得， A(0
14、,0,2)， B(2,0,0)， C(2,4,0)， F(0,3,0)， D(0，2,2)， G(2,2,0) EG(2,2,0)， D(2,2,2) B 22220. BD .(3)由已知得 (2,0,0)是平面 EFDA 的一个法向量设平面 DCF 的法向量为 n( x， y， z)， F(0， 1,2)， FC (2,1,0)，Error! 即Error!令 z1，得 n(1,2,1)设二面角 C DF E 的大小为 ，则 cos cos n， B ，226 66二面角 C DF E 的余弦值为 6620 M 为长方体 AC1的棱 BC 的中点，点 P 在长方体 AC1的一个平面 CC1
15、D1D 内，若 PM平面BB1D1D，试探讨点 P 的确切位置【答案】如图建立空间直角坐标系 Dxyz，设 A(a,0,0)， B(a， b,0)， C(0， b,0)， D1(0,0， c)，则 M ，根据题意可设 P(0， y， z)，(12a， b， 0) PM平面 BB1D1D，存在实数对( m， n)，使得 m n，即 ( ma， mb， nc)，可得Error!解得Error!(12a， b y， z)即点 P (0，12b， z)点 P 在棱 CD， C1D1的中点连线上21已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， PD底面 ABCD， E， F 分别为
16、棱BC， AD 的中点(1)求证： DE平面 PFB；(2)已知二面角 PBFC 的余弦值为 ，求四棱锥 PABCD 的体积. 66【答案】 (1)证明：因为 E， F 分别为正方形 ABCD 的两边 BC， AD 的中点，所以 BE 綊 FD，所以四边形 BEDF 为平行四边形，得 ED FB，又因为 FB平面 PFB，且 ED平面PFB，所以 DE平面 PFB.(2)如图，以 D 为原点，射线 DA， DC， DP 所在直线分别为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系设 PD a，可得如下点的坐标：P(0,0， a)， F(1,0,0)， B(2,2,0)，则有(1,0， a)，(1,2,
17、0)因为 PD底面 ABCD，所以平面 ABCD 的一个法向量为 m(0,0,1)设平面 PFB 的一个法向量为 n( x， y， z)，则可得即Error!令 x1，得 z ， y ，1a 12所以 n (1， 12， 1a)由已知，二面角 PBFC 的余弦值为 ，66由 cosm，n ，mn|m|n|1a54 1a2 66解得 a2.因为 PD 是四棱锥 PABCD 的高，所以，其体积为 VPABCD 24 13 8322已知长方体 ABCDA1B1C1D1中， AB2， BC4， AA14，点 M 是棱 D1C1的中点求直线 AB1与平面 DA1M 所成角的正弦值【答案】建立如图所示的空间直角坐标系，可得有关点的坐标为 D(0,0,0)， A(4,0,0)， B(4,2,0)， C(0,2,0)，A1(4,0,4)， B1(4,2,4)， C1(0,2,4)，D1(0,0,4)于是， M(0,1,4).(0,1,4)，(4,0,4)，(0,2,4)设平面 DA1M 的法向量为 n( x， y， z)，则，即Error! 取 z1，得 x1， y4.所以平面 DA1M 的一个法向量为 n(1,4，1)设直线 AB1与平面 DA1M 所成角为 ，则 sin ，1015所以直线 AB1与平面 DA1M 所成角的正弦值为 1015
