1、高等数学,引 言,一、什么是高等数学 ?,初等数学, 研究对象为常量,以静止观点研究问题.,高等数学, 研究对象为变量,运动和辩证法进入了数学.,数学中的转折点是笛卡儿的变数.,有了变数 , 运动进入了数学,有了变数，辩证法进入了数学 ,有了变数 ,微分和积分也就立刻成 为必要的了,而它们也就立刻产生.,恩格斯,给出了几何问题的统一,笛卡儿 (15961650),法国哲学家, 数学家, 物理学家,他,是解析几何奠基人之一 .,1637年他发,表的几何学论文分析了几何学与,代数学的优缺点,进而提出了 “ 另外,一种包含这两门科学的优点而避免其缺点的方法”,从而提出了解析几何学的主要思想和方法,恩
2、格斯把它称为数学中的转折点.,把几何问题化成代数问题 ,作图法,1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续,2. 微积分学: 一元微积分,(上册),(下册),3. 向量代数与空间解析几何,4. 无穷级数,5. 常微分方程,主要内容,多元微积分,二、如何学习高等数学 ?,1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.,2. 学数学最好的方式是做数学.,聪明在于学习 ,天才在于积累.,学而优则用 ,学而优则创.,由薄到厚 ,由厚到薄.,马克思,一门科学,只有当它成功地运用数学时, 才能达到真正完善的地步 .,华罗庚,米山国藏：数学知识可以记忆一时，但数学精神、思想和方法却永远发挥作用，可以受益终
3、生.,华罗庚(19101985),我国在国际上享有盛誉的数学家.,他在解析数论,自守函数论,高维数值积分等广泛的数学领域中,程,都作出了卓越的贡献 ,发表专著与学术论文近 300 篇.,偏微分方,多复变函数论,矩阵几何学,典型群,他对青年学生的成长非常关心,他提出治学之道是,“ 宽, 专, 漫 ”,即基础要宽,专业要专,要使自己的专业,知识漫到其它领域.,1984年来中国矿业大学视察时给,给师生题词: “ 学而优则用, 学而优则创 ”.,学习数学的方法,多看书 理解和记忆有关公式和定理 勤练习,多解题,美国数学家 Halmos 曾经讲过：学习数学的最好方法是做数学。,时间： 每周一、周二、周三
4、、周四下午18：30 21：00,地点： 文清楼305室,辅导答疑,1.常量与变量:,在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意,常量与变量是相对“过程”而言的.,通常用字母a, b, c等表示常量,而数值变化的量称为变量.,常量与变量的表示方法：,用字母x, y, t等表示变量.,一、函数的定义,第一节 函数及其表示,数集D叫做这个函数的定义域,定义:,如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数,(1) 符号函数,几个特殊的函数举例,(2) 取整函数 y=x x表示不超过 的最大整数,阶梯曲线,(3) 狄利克雷函数,(4) 取最值函数,
5、约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.,解:,例1,2. 函数的定义域,例2,解,故,3.区间:,是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,称为开区间,称为闭区间,称为半开区间,称为半开区间,有限区间,无限区间,4 邻域定义：以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域, 记作U(a).设 0, 则称数集 x| |x-a| 为点a的 邻域,其中 点a称为邻域的中心, 称为邻域的半径. 通常记为 U(a, )= x| |x-a| = (a-, a+),点a去心邻域:,例3,解：,二、函数的特性,有界,无界,1函数的有界性:,2函数的单调性:,3函数的奇偶性:,偶函
6、数,奇函数,4函数的周期性:,（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,例4,解,单值函数,有界函数,偶函数,周期函数(无最小正周期),不是单调函数,三、初等函数,1多项式函数,的函数称为多项式函数。,是常数，称为多项式系数.,例如：,2有理函数,称为有理函数。,3. 基本初等函数,常数函数： y = c (c为常数） 幂函数: y x (R是常数); 指数函数: y a x (a0且a1); 对数函数: y loga x (a0且a1), 三角函数: y sin x, y cos x, y tan x, y cot x, y sec x, y csc x;,反三角函数: y arcsin
7、x, y arccos x, y arctan x, y arccot x .,四、反函数,定义,例5 求 的反函数.,由 y = x3 解得,故所求的反函数,将 x, y 变量互换，得,解：,说明：(1) 函数y = f (x) 与它的反函数y = f-1(x)的图象对称于直线y=x。 (2)单调函数存在反函数，且函数与其反函数单调性相同。,直接函数与反函数的图形关于直线 对称.,故反函数的定义域对应于直接函数的值域， 而反函数的值域就是直接函数的定义域。,反三角函数介绍,取定,存在反函数,我们引进记号 arc ,由 y = sinx 解得,再将 x, y 变量互换，得,函数非单调，,注：,
8、中x, y的取值范围分别为,例如，,注：,取定,存在反函数,同理引进记号 arc ,由 y = cosx 解得,再将 x, y 变量互换，得,函数非单调，,注：,中x, y的取值范围分别为,例如，,注：,解得,其中,例如，,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.,则,设有函数链,称为由, 确定的复合函数 ,u 称为中间变量.,五 复合函数,注意: 构成复合函数的条件,不可少.,2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,例如,又例如, 函数链 :,不能构成复合函数 .,可定义复合函数,例如,可定义复合函数:,解,例6,2. 复合函数分解：把一个复合函数分成若干
9、个不同层次的基本初等函数.,例如 可分解成,补充例题,解,综上所述,初等函数的定义,由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.,例如 ,可表为,故为初等函数.,否则称为非初等函数 .,非初等函数举例:,有些分段函数是初等函数,例如,而有些分段函数不是初等函数,例如,函数的分类:,函数,初等函数,非初等函数(不能用一个代数式表示的分段函数,有无穷多项等函数),代数函数,超越函数,有理函数,无理函数,有理整函数(多项式函数),有理分函数(分式函数),六、小结,函数的概念,函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性.,反函数和复合函数,初等函数,基本初等函数,作业 P18 10. 13. 19.(2) (4) (6) 21. 26. 30.,思考题,思考题解答,设,则,故,练 习 题,练习题答案,(1) 幂函数,(2) 指数函数,(3) 对数函数,(4) 三角函数,正弦函数,余弦函数,正切函数,余切函数,正割函数,余割函数,
