1、4.4 函数y=Asin(x+)的图象及三角函数模型的简单应用要点梳理 1.用五点法画y=Asin(x+)一个周期内的简图时，要找五个特征点.如下表所示.,0,基础知识 自主学习,2.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(x+)的图象的步骤如下:,各点的纵坐标变为原来的A倍,各点的纵坐标变为原来的A倍,以上两种方法的区别:方法一先平移再伸缩;方法二先伸缩再平移.特别注意方法二中的平移量. 3.当函数y=Asin(x+)(A0,0,x(0,+)表示一个振动时，A叫做 ， 叫做， 叫做 ，x+叫做 ，叫做 . 4.三角函数的图象和性质.,振幅,周期,相位,初相,频率,5.三角函数模型的应
2、用(1)根据图象建立解析式或根据解析式作出图象.(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.(3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.,基础自测 1.（2009湖南理，3）将函数y=sin x的图象向左平移(02)个单位后，得到函数 的图象，则等于（ ）A. B. C. D.解析 将函数y=sin x的图象向左平移(02)个单位得到函数y=sin(x+),在A、B、C、D四项中，只有,D,2.为了得到函数 xR的图象，只需把函数y=2sin x,xR的图象上所有的点( )A.向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）B.
3、向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）C.向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）D.向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）,解析 将y=2sin x的图象向左平移 个单位得到 y=2sin 的图象，将y=2sin 图象上各 点横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），则得 到 的图象，故选C. 答案 C,3.已知函数f(x)=asin x-bcos x(a、b为常数，a0,xR)在 处取得最小值，则函数 A.偶函数且它的图象关于点（，0）对称 B.偶函数且它的图象关于点 对称 C.奇函数且它的图象关
4、于点 对称 D.奇函数且它的图象关于点（，0）对称,( ),解析 据题意，当 时，函数取得最小值，由 三角函数的图象与性质可知其图象必关于直线 对称， 故必有 故原函数f(x)=asin x+acos x=,答案 D,0,4.将函数y=sin 4x的图象向左平移 个单位，得到y=sin(4x+)的图象，则等于（ ）A. B. C. D.解析 将函数y=sin 4x的图象向左平移 个单位后得到的图象的解析式为,C,5.（2008浙江理，5）在同一平面直角坐标系中，函数 的图象和直线 的交点个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.4解析 函数图象如图所示，直线 与该图象有两个交点.,C,题型一
5、作y=Asin(x+)的图象已知函数(1)求它的振幅、周期、初相； (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明 的图象可由y=sin x的图象经过怎样的变换而得到.(1)由振幅、周期、初相的定义即可解决.(2)五点法作图，关键是找出与x相对应的五个点.(3)只要看清由谁变换得到谁即可.,题型分类 深度剖析,解 （1） 的振幅A=2,周期,X,X,方法一 把y=sin x的图象上所有的点向左平移 个单位,得到 的图象,再把 的图象上的点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标 不变),得到 的图象,最后把 上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不 变），即可得到 的图象.,方法二 将y=s
6、in x的图象上每一点的横坐标x缩 短为原来的 倍,纵坐标不变,得到y=sin 2x的 图象； 再将y=sin 2x的图象向左平移 个单位； 得到 的图象；再将的图象上每一点的横坐标保持不变, 纵坐标伸长为原来的2倍，得到 的图象.,（1）作三角函数图象的基本方法就是 五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后， 应向两端伸展一下，以示整个定义域上的图象； （2）变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后 伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用 来确定平移单位.,知能迁移1 已知函数（1）用五点法作出函数的图象；（2）说明此图象是由y=sin x的图象经过怎么样的变化得到的；（3）求此函数的振幅、周期
7、和初相；（4）求此函数图象的对称轴方程、对称中心.解 （1）列表：,描点、连线,如图所示：,（2）方法一 “先平移，后伸缩”. 先把y=sin x的图象上所有点向右平移 个单位， 得到 的图象；再把 的 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标 不变），得到 的图象，最后将的图象上所有点的纵坐标伸长到原 来的3倍（横坐标不变），就得到 的图象.,方法二 “先伸缩，后平移” 先把y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2倍（纵坐标不变），得到 的图象；再 把 图象上所有的点向右平移 个单位， 得到 的图象，最后将 的图象上所有点的纵坐标伸长到原 来的3倍（横坐标不变），就得到 的图象
8、.,题型二 求函数y=Asin(x+)+b的解析式如图为y=Asin（x+）的图象的一段，求其解析式.首先确定A.若以N为五点法作图中的第一个零点，由于此时曲线是先下降后上升（类似于y=-sin x的图象），所以A0.而 可由相位来确定.,解 方法一 以N为第一个零点，方法二 由图象知A= ，,(1)与是一致的，由可得， 事实上同样由也可得. (2)由此题两种解法可见，在由图象求解析式时， “第一个零点”的确定是重要的,应尽量使A取正值. (3)已知函数图象求函数y=Asin(x+)(A0, 0）的解析式时，常用的解题方法是待定系 数法，由图中的最大值或最小值确定A,由周期确 定，由适合解析式
9、的点的坐标来确定,但由图 象求得的y=Asin（x+）（A0,0）的解析 式一般不惟一，只有限定的取值范围，才能得出惟一解，否则的值不确定，解析式也就不惟一.,（4）将若干个点代入函数式，可以求得相关待定 系数A，这里需要注意的是，要认清选择 的点属于“五点”中的哪一个位置点，并能正确 代入式中.依据五点列表法原理，点的序号与式子 的关系是：“第一点”（即图象上升时与x轴的交 点）为x+=0；“第二点”（即图象曲线的最 高点）为 ；“第三点”（即图象下降时 与x轴的交点）为x+=；“第四点”（即图象 曲线的最低点）为 ；“第五点” 为x+=2.,知能迁移2 (2009辽宁理，8)已知函数f(x
10、)=Acos(x+)的图象如图所示， ,则f(0)=（ ）A. B.C. D.解析 由题意可知，,答案 C,题型三 函数y=Asin(x+)的图象与性质的综合应用（12分）在已知函数f(x)=Asin(x+),xR(其中A0,0,0 )的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为 且图象上一个最低点为(1)求f(x)的解析式；(2)当 时，求f(x)的值域.易知T=，A=2，利用点M在曲线上可求，第（2）问由函数图象易解，关键是将 x+看成一个整体.,解,1分,3分,5分,6分,认识并理解三角函数的图象与性质是 解决此题的关键.图象与x轴的两个相邻交点间的 距离即为半个周期.在求函数值域时,
11、由定义域转 化成x+的范围.即把x+看作一个整体.,8分,10分,12分,知能迁移3 已知向量a=(cos x,sin x),b=( cos x,cos x)，若f(x)=ab+ .(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；(2)求函数f(x)在区间 上的值域.解 （1）f(x)=ab+ = cos2x+sin xcos x+,方法与技巧 1.五点法作函数图象及函数图象变换问题(1)当明确了函数图象基本特征后，“描点法”是作函数图象的快捷方式.运用“五点法”作正、余弦型函数图象时，应取好五个特殊点，并注意曲线的凹凸方向.(2)在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸
12、缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握,无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少.,思想方法 感悟提高,2.由图象确定函数解析式由函数y=Asin（x+）的图象确定A、的题型，常常以“五点法”中的第一零点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一零点的位置.要善于抓住特殊量和特殊点. 3.对称问题函数y=Asin（x+）的图象与x轴的每一个交点均为其对称中心,经过该图象上坐标为(x,A) 的点与x轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期（或两个相邻平衡点间的距离）.,失误与防范 1.
13、由函数y=sin x(xR)的图象经过变换得到函数y=Asin(x+)的图象，在具体问题中，可先平移变换后伸缩变换，也可以先伸缩变换后平移变换，但要注意：先伸缩，后平移时要把x前面的系数提取出来. 2.函数y=Asin(x+)的图象和性质是本节考查的重点，也是高考热点，复习时尽可能使用数形结合的思想方法，如求解对称轴、对称中心和单调区间等.,3.注意复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数y=Asin（x+）（A0,0）的单调区间的确定，基本思想是把x+看做一个整体.在单调性应用方面，比较大小是一类常见的题目，依据是同一区间内函数的单调性.,一、选择题 1.（2009山东文，3）将函数y=si
14、n 2x的图象向左平移 个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（ ）A.y=2cos2x B.y=2sin2xC. D.y=cos 2x解析 将函数y=sin 2x的图象向左平移 个单位，得到函数 即的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y=1+cos 2x=2cos2x.,A,定时检测,2.将函数 的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移 个单位，所得到的图象解析式是 （ ）A.f(x)=sin x B.f(x)=cos xC.f(x)=sin 4x D.f(x)=cos 4x解析,A,3.若函数y=Asin(x+)+m的最大值为4,最小值为0,最
15、小正周期为 ，直线 是其图象的一条对称轴，则它的解析式是 （ ）,解析,答案 D,4.（2009全国文，9）若将函数y=tan(x+ )(0)的图象向右平移 个单位长度后，与函数y=tan(x+ )的图象重合,则的最小值为( )A. B. C. D.解析,D,5.电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数I=Asin(t+ )（A0,0,0 ）的图象如下图所示，则当 秒时，电流强度是（ ）A.-5 A B.5 A C. A D.10 A,解析,答案 A,6.（2009天津理，7）已知函数f(x)=sin(x+ )(xR，0)的最小正周期为,为了得到函数g(x)=cos x的图象，只要将y=f(x
16、)的图象（ ）A.向左平移 个单位长度B.向右平移 个单位长度C.向左平移 个单位长度D.向右平移 个单位长度,解析,答案 A,二、填空题 7.（2009江苏，4）函数y=Asin(x+)(A、为常数,A0,0)在闭区间-,0上的图象如图所示，则= .解析 由函数y=Asin(x+)的图象可知：,3,8.（2008全国改编）若动直线x=a与函数f(x)=sin x和g(x)=cos x的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为 .解析 设x=a与f(x)=sin x的交点为M(a,y1),x=a与g(x)=cos x的交点为N（a，y2），则|MN|=|y1-y2|=|sin a-cos
17、a|,9.若函数f(x)=2sin x (0)在 上单调递增，则的最大值为 .解析,三、解答题 10.已知函数 f(x)=Asin(x+)+b(0,| )的图象的一部分如图所示：（1）求f(x)的表达式；（2）试写出f（x）的对称轴方程.解 （1）由图象可知，函数的最大值M=3，,11.函数y=Asin(x+)(A0,0,| ）的一段图象如图所示.（1）求函数y=f(x)的解析式；（2）将函数y=f(x)的图象向右平移 个单位，得到y=g(x)的图象，求直线y= 与函数y=f(x)+g(x)的图象在(0,)内所有交点的坐标.,解 （1）由题图知A=2，T=，于是 将y=2sin 2x的图象向左平移 个单位长度， 得y=2sin(2x+)的图象.,12.已知函数f(x)=Asin(x+) (A0,0,| ,xR)的图象的一部分如图所示.（1）求函数f(x)的解析式；（2）当 时，求函数y=f(x)+f(x+2)的最大值与最小值及相应的x的值.,解 （1）由图象知A=2，T=8，(2)y=f(x)+f(x+2),返回,
