1、学案 20 函数 yAsin(x)的图象及三角函数模型的简单应用导学目标： 1.了解函数 yAsin(x )的物理意义；能画出 yAsin(x )的图象，了解参数 A， 对函数图象变化的影响.2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题自主梳理1用五点法画 yA sin(x )一个周期内的简图用五点法画 yA sin(x)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示XxyAsin(x) 0 A 0 A 02.图象变换：函数 yA sin(x) (A0，0)的图象可由函数 ysin x 的图象作如下变换得到：（1）相位变换：ysin x ysin(x)，把
2、ysin x 图象上所有的点向_(0)或向_( 1)到原来的 _倍( 纵坐标不变 )（3）振幅变换：ysin (x)yAsin(x )，把 ysin(x )图象上各点的纵坐标_(A 1)或_(00，0)，x(， )表示一个振动量时，则_叫做振幅，T _叫做周期，f_叫做频率， _叫做相位，_叫做初相函数 yAcos(x)的最小正周期为 _y Atan(x)的最小正周期为_自我检测1(2011池州月考)要得到函数 ysin 的图象，可以把函数 ysin 2x 的图象( )(2x 4)A向左平移 个单位8B向右平移 个单位8C向左平移 个单位4D向右平移 个单位42已知函数 f(x)sin (xR
3、，0)的最小正周期为 .将 yf(x) 的图象向左平移(x 4)|个单位长度，所得图象关于 y 轴对称，则 的一个值是 ( )A. B. C. D.2 38 4 83已知函数 f(x)sin(x )(xR， 0)的最小正周期为 ，为了得到函数 g(x)cos 4x 的图象，只要将 yf(x)的图象 ( )A向左平移 个单位长度8B向右平移 个单位长度8C向左平移 个单位长度4D向右平移 个单位长度44(2011太原高三调研)函数 ysin 的一条对称轴方程是 ( )(2x 3)Ax Bx 6 3Cx Dx12 5125(2011六安月考)若动直线 xa 与函数 f(x)sin x 和 g(x)
4、cos x 的图象分别交于M、N 两点，则| MN|的最大值为 ( )A1 B. C. D22 3探究点一 三角函数的图象及变换例 1 已知函数 y2sin .(2x 3)(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y2sin 的图象可由 y sin x 的图象经过怎样的变换而得到(2x 3)变式迁移 1 设 f(x) cos2x sin xcos x sin2x (xR)12 3 32(1)画出 f(x)在 上的图象； 2，2(2)求函数的单调增减区间；(3)如何由 ysin x 的图象变换得到 f(x)的图象？探究点二 求 yA sin(x)的解析式
5、例 2 已知函数 f(x)A sin(x ) (A0， 0，| |0，0，| |0，0)的图象如图所示，f( ) ，2 23则 f(0)等于 ( )A B23 12C. D.23 125(2011烟台月考)若函数 yAsin(x)m (A0，0) 的最大值为 4，最小值为0，最小正周期为 ，直线 x 是其图象的一条对称轴，则它的解析式是 ( )2 3Ay4sin By 2sin 2(4x 6) (2x 3)Cy 2sin 2 Dy2sin 2(4x 3) (4x 6)题号 1 2 3 4 5答案二、填空题(每小题 4 分，共 12 分)6已知函数 ysin(x) (0，0)和 g(x)2cos
6、(2x )1 的图象的对称(x 6)轴完全相同若 x ，则 f(x)的取值范围是_ 0，2三、解答题(共 38 分)9(12 分) 已知函数 f(x)A sin(x)(A0，0，|0，00)的最小正周期为 ，(1)求 的值；(2)将函数 yf(x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，得到函数12yg( x)的图象，求函数 yg( x)在区间 上的最小值0，16答案 自主梳理1. 0 2 2.(1)左 右 | (2) 伸长 0 2 32 2 2 32缩短 (3)伸长 缩短 A 3.A x 1 2 1T 2| |自我检测1B 2.D 3.A 4.D 5.B课堂活动区例 1 解题导引
7、(1) 作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两边伸展一下，以示整个定义域上的图象；(2)变换法作图象的关键是看 x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用 x 来确定平移单位(x )解 (1)y2sin 的振幅 A2，周期 T ，初相 .(2x 3) 22 3(2)令 X 2x ，则 y2sin 2sin X.3 (2x 3)列表：X6 12 3 712 56X 0 2 32 2ysin X 0 1 0 1 0y2sin (2x 3) 0 2 0 2 0描点连线，得图象如图所示：(3)将 ysin x 的图象上每一点的横坐标 x 缩短为原来的
8、倍(纵坐标不变) ，得到 ysin 122x 的图象；再将 ysin 2x 的图象向左平移 个单位，得到 ysin 2 sin 的图6 (x 6) (2x 3)象；再将 ysin 的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的 2 倍，得(2x 3)到 y2sin 的图象(2x 3)变式迁移 1 解 y sin 2x 121 cos 2x2 32 321 cos 2x21 sin 2x cos 2x1sin .32 12 (2x 6)(1)(五点法 )设 X2x ，6则 x X ，令 X0， ， ，2，12 12 2 32于是五点分别为 ， ， ， ， ，描点连线即可得图象，如下(12，1
9、) (3，2) (712，1) (56，0) (1312，1)图(2)由 2k2x 2k，kZ，2 6 2得单调增区间为 ，kZ. 6 k，k 3由 2k2x 2k ，kZ ，2 6 32得单调减区间为 ，kZ.3 k，k 56(3)把 ysin x 的图象向右平移 个单位；再把横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ；6 12最后把所得图象向上平移 1 个单位即得 ysin 1 的图象(2x 6)例 2 解题导引 确定 yAsin(x )b 的解析式的步骤：(1)求 A， b.确定函数的最大值 M 和最小值 m，则 A ，b .(2)求 .确定函M m2 M m2数的周期 T，则 .(3)求参
10、数 是本题的关键，由特殊点求 时，一定要分清特殊点是2T“五点法”的第几个点解 由图象可知 A2，T8. .2T 28 4方法一 由图象过点(1,2)，得 2sin 2，(41 )sin 1. |0，0)中参数的确定有如下结论：A ；k ； ； 由特殊点确定ymax ymin2 ymax ymin2 2T解 (1)由表中数据，知周期 T12， ，2T 212 6由 t0，y1.5 ，得 Ab1.5；由 t3，y1.0 ，得 b1.0，A0.5，b1，y cos t1.12 6(2)由题知，当 y1 时才可对冲浪者开放， cos t11，cos t0，12 6 62k 0，依题意得 ，所以 1.(8 分)22(2)由(1)知 f(x) sin ，22 (2x 4) 12所以 g(x)f(2x) sin .(10 分)22 (4x 4) 12当 0x 时， 4x .16 4 4 2所以 sin 1.22 (4x 4)因此 1g(x) ，(13 分)1 22所以 g(x)在此区间内的最小值为 1.(14 分)
