1、第三节 函数的极限,本节内容提要：,一、当 时，函数的极限,二、当 时函数的极限,三、再讨论函数的极限,四、当 时,f(x)的左极限与右极限,五、函数极限的性质,本节重点：,函数极限的概念，函数的极限的计算.,本节难点：函数极限的概念。,教学方法：启发式,教学手段：多媒体与面授,教学时数：2学时,返回,一、 当 时，函数 的极限,考察 时，函数 的变化趋势，由图1-17可以看出，,当x的绝对值无限增大时， 的值无限接近于零，即当 时， f (x)0,1. 函数极限的一般定义,定义：如果当x绝对值无限增大即 时，对应的函数值 无限趋近于一个确定的常数，则称函数 当. 时以A为极限，记作：,或,根
2、据上述定义,函数极限的 定义,定义:设函数f(x)在x|M处有定义，如果对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数（），使得适合不等式x|Z 的所有X对应的函数值f(x)都满足,或,注： 的几何意义是：做直线y=A和y=A-,则总有一个正数存在，使当XZ时，函数y=f(x)的图形位于这两条平等直线之间（图1-18）, 定义中，自变量x的绝对值无限增大指的是 x取正值而无限增大（记为x+）,同时也取负值而绝对值无限增大（记作X-），但有时x的变化趋向只能或只需取这两种变化中的一种情形.,定义：如果当x+(或X-)时，函数无限接近于一个确定的常数A，那么A就叫做函数 当x+（或X-）时的极限，
3、记作：,或,例如：,及,两个极限值相等，因此（如图）,又如： 及,所以 不存在（图1- 19）,由此得出：如果 和 都存在并且相等，那么,也存在并且与它们相等。如果 和,都存在但不相等，那么 不存在.,例 例1 求 和,解：如图1-20所示,例2 讨论当 时，函数 的极限。,解：因为,和,都存在，但不相等，所以,不存在,返回,二、当 时函数 的极限,例 考察当 时函数 的变化,解 函数 在 有定义,设从的左侧无限接近于，即取值及对应的函数如下表,可以看出，当x越来越接近于3时，,的值无限接近于3,例3 考察当 时，函数,的变化趋势。,解 函数 在 内有定义。,设x从1的左、右两侧无限接近于1时
4、，对应的函数,如表1-3,可以看出，当越来越接近于1时 的值无限接近于2(图1-22).,定义 设函数(x)在点 的某一空心邻域内有定义，如果当X无限接近于 （但不等于 ）时 (x)无限趋近于某个确定的常数A，称当X趋近于 时函数以A为极限，记作,或,由此可知,返,三，再讨论函数的极限,1. 定义：设函数 在X的某一邻域内有定义（在 可以没有定义），若对任一 存在 使得当 时，有,则称函数 当 时以A为极限。,例5 证明,证明 对任意给定的 存在 则当 时,所以,例6 证明,（C为常数）,证 对任意给定的 存在 当 时有,所以,例7 证明,证 对任意给定的 存在 当 时有,所以,2. 函数 当
5、 时极限为A的极限的几何解释,由二直线 与 为边界所构成的宽为的带形区域，不论怎样狭窄，总存在以 为中心，以 为半径邻域，当x落在此邻域内时 相应的函数图形都落这个带形区域内如图1-23.,返回,四、当 时, 的左极限与右极限,定义 如果当 时，函数 无限趋近于一个确定的常数A，那么A就叫做函数 当 时的左极限，记作,或,定义 如果当 时，函数 无限趋近于一个确定的常数A，那么A就叫做函数 当 时的左极限，记作,或,由图（1-21）函数,当 左极限为,右极限为,即,注：函数 当 时极限存在的充分必要条件是左极限和右极限各自存在且相等，即,当 都存在，但不相等，或者,至少一个不存在时 在X0处极
6、限不存在.,例 设函数,证明：当X0时， F（）的极限不存在,证明 由图24可知，,因为F（）F（），所以 不存在,例，设函数,求， 并由此判断极限是否存在。,解：,即f(1+0)= f(1-0)=2由函数f(x)在处极限存在的充要条件知，,返回,五，函数极限的性质,性质1 如果 (或 )存在，那么极限是惟一的,性质2 如果 （或 ），那么存在一个,正数M，使得函数,在点X0（可以不包括X0）的某一领域,内（或存在一个正数N），当|X|N时总有|f(x)|M,性质3 如果 且A0,(或A0),则在点X0的某一邻,域内（可以不包括X0）总有f（X）0（或f（X）0）,若在X0的某邻域内有f(x) 0(或f(x) 0)，且有f(x) 0(或,f(x) 0)，且,则A0（或A0,小结 , 极限的两种定义 ， 时， 的极限 会求 时 的极限 函数极限的性质,完,
