1、数列的极限,按 一定次序排列的无穷多个数,称为无穷数列,数列.,可简记为,其中的每,个数称为数列的项,称为(一般项).,注:,(1),数列可看作数轴上一个动点,它在数轴上,依次取值,(2),数列可看作自变量为正整数 的函数:,定义1,大时,无限接近于 ,敛于 ,记为,或,如果一个数列没有极限,就称该数列是发散的.,注:,趋于,例1,其收敛于何值.,若收敛,下列各数列是否收敛,试指出,解,(1),易见,也无限增大,故该,数列是发散的;,(2),解,易见,也无限接近0,故该,数列收敛于 ;,解,(3),易见,无休止地反复,而不会无限接近于任何一个确,故该数列是发散的;,定的常数,(4),易见,无限
2、接近于 ,故该数列收敛于 .,函数极限的引入,数列可看作自变量为正整数 的函数:,即:,接近数,可以由此引出函数极限的,一般概念:,如果对,则,显然,极限 是与自变量 的变化过程密切相关,自变量趋向无穷大时函数的极限,当,定义2 如果当 的绝对值无限增大时，函数,无限接近于常数 ，则称常数 为函数,时的极限，记作,如果在上述定义中，限制 只取正无穷或负无穷即有,则称常数 为函数 当,时的极取限.,可以得到下面的定理,例2 求极限,即函数 无限接近于常数1,所以,例3 讨论极限,当自变量 的绝对值 无限增大时，对应的函数值 在区间-1,1上振荡，不接近任何常数,例4 讨论极限,解 当 时，,当
3、时，,所以 不存在.,自变量趋向有限值时函数的极限,时,定义3,定义.,近于常数,时的极限.,记作,或,例5,试根据定义说明下列结论:,解,(1),显然,函数,也趋于,故,(2),同的值,故,函数的左极限与右极限,函数,(或右极限),记为,或,左极限和右极限的示意图.,可以得到下面的定理:,定理2,例 6,设,求,解,因为,即有,内容小结,1.,数列的极限,数列极限的定义,2.,函数的极限,自变量趋向无穷大时函数的极限,自变量趋向有限值时函数的极限,函数的左极限与右极限,极限运算法则,定理,设,则,(1),(2),(3),其中,推论1,则,即:,常数因子可以提到极限记号外面.,推论2,则,例1
4、,求,解,注：,设,则有,例 2,求,解,例 3,求,解,分子和分母的极限都是零.,时,此,时应先约去不为零的无穷小因子,后再求,极限.,例 4,计算,解,不能直接使用商的极限运算法则.,但可采用分母有理化消去分母中趋于零的因子.,定理2(复合函数的极限运算法则),设函数,复合而成,若,则,且在 的某去心邻域内有,注:,则作代换,其中,定理2表明:,例 5,计算,解,令,因为,构成的复合函数.,所以,例 6,计算,解,所以,令,则,且,第一重要极限,例 7,求,解,例 8,求,解,原式,例 9,求,解,利用单调有界准则可以证明这个等式.,等式右端的,数 是数学中一个重要常数,基本初等函数中的指
5、数函数,下表有助于读者理解这个极限.,例 10,求,解,例 11,求,解,令,于是,注:,本例的结果,今后常作为公式使用.,9.28,例 12,求,解,解,求,内容小结,1. 掌握极限的四则运算法则,设,则,2. 会用复合函数的极限运算法求极限,其中,3.了解极限存在准则,掌握两个重要极限及其应用,无穷小的概念,定义,极限为零的变量称为无穷小.,例如:,注意:,(1),无穷小是变量,不能与很小的数混淆.,(2),零是可以作为无穷小的唯一常数.,无穷小的运算性质,性质1,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,注意,无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,例如,是无穷小,不是无穷小.,时,性质2,有界函
6、数与无穷小的乘积是无穷小.,例如,变量,都是无穷小.,性质3,性质4,有限个无穷小的乘积也是无穷小.,常数与无穷小的乘积是无穷小.,例 1,解,所以,求,因为,而当 时,是无穷小量,是有界量,无穷大的概念,定义2,并记作,函数,的绝对值无限增大,(或 )时的无穷大.,按,通常的意义来说,极限是不存在的.,但为了叙述函,数这一形态的方便,我们也说“函数的极限是无穷,大”,如果在定义中,将“函数 的绝对值无限增大”,无穷大举例,(1),当 时,无限增大,时的无穷大,即,(2),当 时,取负值无限减小,故,即,(3),取正值无限增大,时是正无穷大,即,无穷小与无穷大的关系,无穷大与无穷小之间有着密切
7、的关系.,例如,当,时,但其倒数,则是,同一变化过程中的无穷小;,又如,函,中的无穷大.,一般地,可以证明下列定理.,定理2,在自变量变化的同一过程中,无穷大的,倒数为无穷小;,恒不为零的无穷小倒数为无穷大.,根据这个定理,我们可将无穷大的讨论归结为关,于无穷的讨论.,例 2,证,求,因,又,故,由无穷小与无穷大的关系,得,例 3,证,求,分子和分母的极限都是无穷大,即以分母,此时可采用所谓的无穷小因子分出法,中自变量的最高次幂除分子和分母,以分出无穷,小,然后再用求极限的方法.,对本例,分出无穷小,再,求极限.,内容小结,1.,2.,无穷小的概念,无穷小的运算性质,函数极限与无穷小的关系,无穷大的概念,无穷小与无穷大的关系,无穷小,无穷大,
