1、3.13.13.13.1二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布一一一一.二维随机变量及其分布函数二维随机变量及其分布函数二维随机变量及其分布函数二维随机变量及其分布函数二二二二.二维离散型随机变量及其分布二维离散型随机变量及其分布二维离散型随机变量及其分布二维离散型随机变量及其分布三三三三.二维连续型随机变量及其分布二维连续型随机变量及其分布二维连续型随机变量及其分布二维连续型随机变量及其分布,),(,)()(,叫作二维随机向量或叫作二维随机向量或叫作二维随机向量或叫作二维随机向量或由它们构成的一个向量由它们构成的一个向量由它们构成的一个向量由它们构成
2、的一个向量上的随机变量上的随机变量上的随机变量上的随机变量是定义在是定义在是定义在是定义在和和和和设设设设它的样本空间是它的样本空间是它的样本空间是它的样本空间是是一个随机试验是一个随机试验是一个随机试验是一个随机试验 设设设设YXSeYYeXXeSE=一一一一、二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布1.二维随机变量的定义二维随机变量的定义二维随机变量的定义二维随机变量的定义图示图示图示图示e?)(eY?S)(eX?.,),(二维随机变量二维随机变量二维随机变量二维随机变量叫作二维随机向量或叫作二维随机向量或叫作二维随机向量或叫作二维随机向量或由它们构
3、成的一个向量由它们构成的一个向量由它们构成的一个向量由它们构成的一个向量YX实例实例实例实例1炮弹的弹着点的位置炮弹的弹着点的位置炮弹的弹着点的位置炮弹的弹着点的位置( X, Y )就是一个二就是一个二就是一个二就是一个二维随机变量维随机变量维随机变量维随机变量.实例实例实例实例2考查某一地区学前儿童的发育情况考查某一地区学前儿童的发育情况考查某一地区学前儿童的发育情况考查某一地区学前儿童的发育情况, , , , 则儿童则儿童则儿童则儿童的身高的身高的身高的身高H和体重和体重和体重和体重W 就构成二维随机变量就构成二维随机变量就构成二维随机变量就构成二维随机变量( H, W ).二维随机变量二
4、维随机变量二维随机变量二维随机变量( X, Y )的性质不仅与的性质不仅与的性质不仅与的性质不仅与X、Y有关有关有关有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系而且还依赖于这两个随机变量的相互关系而且还依赖于这两个随机变量的相互关系而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.说明说明说明说明2. 2. 2. 2. 分布函数的定义分布函数的定义分布函数的定义分布函数的定义.,),(,)()(),( :,),( 的联合分布函数的联合分布函数的联合分布函数的联合分布函数和和和和量量量量或称为随机变或称为随机变或称为随机变或称为随机变的分布函数的分布函数的分布函数的分布函数称为二维随机变量称为二维随机变量称为
5、二维随机变量称为二维随机变量二元函数二元函数二元函数二元函数对于任意实数对于任意实数对于任意实数对于任意实数是二维随机变量是二维随机变量是二维随机变量是二维随机变量设设设设YXYXyYxXPyYxXPyxFyxYX=.的联合分布函数的联合分布函数的联合分布函数的联合分布函数和和和和量量量量YXy),(yx?yYxX,.),(内的概率内的概率内的概率内的概率在如图所示区域在如图所示区域在如图所示区域在如图所示区域的函数值就是随机点落的函数值就是随机点落的函数值就是随机点落的函数值就是随机点落 yxFxO3.分布分布分布分布函数函数函数函数的性质的性质的性质的性质),(),(,),(11212oy
6、xFyxFxxyyxyxF时时时时当当当当意固定的意固定的意固定的意固定的即对于任即对于任即对于任即对于任的不减函数的不减函数的不减函数的不减函数和和和和是变量是变量是变量是变量).,(),(,1212yxFyxFyyx时时时时当当当当对于任意固定的对于任意固定的对于任意固定的对于任意固定的,1),(02oyxF, y对于任意固定的对于任意固定的对于任意固定的对于任意固定的,0),(lim),(=?yxFyFx且有且有且有且有,x对于任意固定的对于任意固定的对于任意固定的对于任意固定的,0),(lim),(=?yxFxFy.1),(lim),(=+yxFFyx.,),(,)0,(),(,),0
7、(),(3o也右连续也右连续也右连续也右连续关于关于关于关于右连续右连续右连续右连续关于关于关于关于即即即即yxyxFyxFyxFyxFyxF+=+=,0),(lim),(=?yxFFyx.,),(也右连续也右连续也右连续也右连续关于关于关于关于右连续右连续右连续右连续关于关于关于关于即即即即yxyxF,),(),(421212211oyyxxyxyx对于任意对于任意对于任意对于任意.0),(),(),(),( 21111222?+?yxFyxFyxFyxF有有有有证明证明证明证明,2121yYyxXxP ,0,212yYyxXP=,22yYxXP=,211yYyxXP?,12yYxXP?,2
8、1yYxXP?,11yYxXP+ ,0.0),(),(),(),(21111222?+?yxFyxFyxFyxF故故故故,21yYxXP?,11yYxXP+二维离散型随机变量及其分布二维离散型随机变量及其分布二维离散型随机变量及其分布二维离散型随机变量及其分布：分布律分布律分布律分布律、分布函数分布函数分布函数分布函数4.4.4.4.二维随机变量的分类二维随机变量的分类二维随机变量的分类二维随机变量的分类二维连续型随机变量及其分布二维连续型随机变量及其分布二维连续型随机变量及其分布二维连续型随机变量及其分布：分布密 分布密 分布密 分布密 、分布函数分布函数分布函数分布函数 二维随机变量二维随
9、机变量 二维随机变量二维随机变量( X, Y )所 的 值所 的 值所 的 值所 的 值是有 对或 对是有 对或 对是有 对或 对是有 对或 对,则称则称则称则称( X, Y )为二维离为二维离为二维离为二维离散型随机变量散型随机变量散型随机变量散型随机变量.1. 1. 1. 1. 定义定义定义定义2. 2. 2. 2. 二维离散型随机变量的分布律二维离散型随机变量的分布律二维离散型随机变量的分布律二维离散型随机变量的分布律二二二二、二维离散型随机变量及其分布二维离散型随机变量及其分布二维离散型随机变量及其分布二维离散型随机变量及其分布 . , ),( ,2,1,2,1,),(),(的联合分布
10、律的联合分布律的联合分布律的联合分布律和和和和或随机变量或随机变量或随机变量或随机变量的分布律的分布律的分布律的分布律变量变量变量变量称 为二维离散型随机称 为二维离散型随机称 为二维离散型随机称 为二维离散型随机值为值为值为值为所有 的所有 的所有 的所有 的设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量设二维离散型随机变量YXYXjipyYxXPjiyxYXijjiji?=二维随机变量二维随机变量二维随机变量二维随机变量( X,Y )的分布律也 示为的分布律也 示为的分布律也 示为的分布律也 示为.1,011= =ijijijpp其 其 其 其 (,)ijijPXxYyp=X
11、Y?jyyy21X?jyyy21?ixxx21111212122212jjiiijppppppppp?.),(.1 ,4,3,2,1 的分布律的分布律的分布律的分布律试 试 试 试 数值数值 数值数值地 一地 一 地 一地 一在在在在 一个随机变量一个随机变量 一个随机变量一个随机变量 值值 值值个 数 地个 数 地 个 数 地个 数 地在在在在设随机变量设随机变量设随机变量设随机变量YXXYX :,的 值情况是的 值情况是的 值情况是的 值情况是jYiX=,4,3,2,1=i.的 数的 数的 数的 数 不 于不 于 不 于不 于ij且由 且由 且由 且由 例例例例1.ij,jYiXP=iXP
12、iXjYP=,411?=i,4,3,2,1=i.ij的分布律为的分布律为的分布律为的分布律为于是于是于是于是),(YXXY123412418112116108112116123408121600121161000161( X, Y )所 的 值是所 的 值是所 的 值是所 的 值是),0,0( ),1,0(),0,1(),1,1(),2,0().0,2(例例例例2 一个 有一个 有 一个 有一个 有3 、2 、3 的currency1的currency1的currency1的currency1, , , , 随机 两 随机 两 随机 两 随机 两 , , , , X、Y分“ 示分“ 示分“ 示
13、分“ 示的 数和数的 数和数的 数和数的 数和数, ( X, Y )的分布律的分布律的分布律的分布律.0,0=YXP,28328230203=?= 两 是 两 是 两 是 两 是 一 一 一 一 ,一 一 一 一 1,0=YXP,14328131203=?=2,0=YXP1,1=YXP,14328031213=?=,28128032203=?=98323?0,1=YXP0,2=YXP,28928130213=?=.28328030223=?=故所 分布律为故所 分布律为故所 分布律为故所 分布律为XY210283289283143143001281002例例例例3一个 有三个fi一个 有三个f
14、i一个 有三个fi一个 有三个fi,依fl 有数依fl 有数依fl 有数依fl 有数1, 2, 2, 任 一个任 一个 任 一个任 一个, , , , 不 不 不 不 ,任 一个任 一个任 一个任 一个,设 fl fi设 fl fi设 fl fi设 fl fi时时时时,fi 的 性相 fi 的 性相 fi 的 性相 fi 的 性相 ,X , Y分“ ”一分“ ”一分“ ”一分“ ”一fl和”二fl 的fi上 有的数fl和”二fl 的fi上 有的数fl和”二fl 的fi上 有的数fl和”二fl 的fi上 有的数, ( X, Y ) 的的的的分布律与分布函数分布律与分布函数分布律与分布函数分布律与
15、分布函数.( X, Y )的 为的 为的 为的 为),2,1( ),1,2().2,2( X, Y )的 为的 为的 为的 为),2,1(,3122312,1=?=YXP,3121321,2=?=YXP.3121322,2=?=YXP ),1,2().2,2(故故故故( X , Y )的分布为的分布为的分布为的分布为XY211310,31,022211211=pppp213103131 分布函数 分布函数 分布函数 分布函数.12y)2,2()2,1()1,1()1,2(,11)1(时时时时或或或或当当当当yx),(yxF,21,21)2(时时时时当当当当yx,yYxXP=;0=21ox),(
16、yxF,2,21)3(时时时时当当当当yx),(yxF11p=;0=1211pp+=;31=2112oxy)2,2()2,1()1,1()1,2(,21,2)4(时时时时当当当当yx;31),(2111=+=ppyxF,2,2)5(时时时时当当当当yx),(yxF22122111pppp+=.1=21ox所所所所( X ,Y )的分布为的分布为的分布为的分布为,21,2.2,2,1,2,21,31,11,0),(?=yxyxyxyxyxF或或或或或或或或, ),(=xxyyijijpyxF说明说明说明说明离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量( X ,Y )的分布函数 为的分
17、布函数 为的分布函数 为的分布函数 为., , 和和 和和的的的的其 和 是对一 其 和 是对一 其 和 是对一 其 和 是对一 jiyyxx. , , 和和 和和的的的的其 和 是对一 其 和 是对一 其 和 是对一 其 和 是对一 jiyyxxji,dd),(),(,),(,),(),( 有有有有对于任意对于任意对于任意对于任意如在的函数如在的函数如在的函数如在的函数的分布函数的分布函数的分布函数的分布函数对于二维随机变量对于二维随机变量对于二维随机变量对于二维随机变量vuvufyxFyxyxfyxFYXyx=1. 1. 1. 1. 定义定义定义定义三三三三、二维连续型随机变量及其分布二维连续型随机变量及其分布二维连续型随机变量及其分布二维连续型随机变量及其分布.,),(),(,),(,dd),(),(的联合概率密 的联合概率密 的联合概率密 的联合概率密 和和和和变量变量变量变量或称为随机或称为随机或称为随机或称为随机的概率密 的概率密 的概率密 的概率密 称为二维随机变量称为二维随机变量称为二维随机变量称为二维随机变量函数函数函数函数量量量量是连续型的二维随机变是连续型的二维随机变是连续型的二维随机变是连续型的二维随机变则称则称则称则称YXYXyxfYXvuvufyxF ?=.1),(dd),()2(= +?+
