1、二、边缘概率密度,第三节 二维连续型随机变量,一、 二维连续型随机变量及其概率密度,三、随机变量的独立性,四、二维均匀分布和正态分布,（1）定义3.1,3.1 二维连续型随机变量及其概率密度,（2）概率密度的性质,表示介于 f(x, y)和 xOy 平面之间的空间区域的全部体积等于1.,说明：,P( X = a ,- Y + ) = 0,P(- X + , Y= a ) = 0,P( X = a ,Y = b ) = 0,注：对于二维连续型随机变量有,F(x,y)连续,例1,解:,(3) 将 ( X,Y )看作是平面上随机点的坐标,即有,解:,例2,3.2 边缘概率密度分布,同理可得 Y 的边
2、缘分布函数,Y 的边缘概率密度.,注意：在求连续型随机变量的边缘密度时，往往要对联合密度在一个变量取值范围上进行积分. 当联合密度函数是分片表示的时候，在计算积分时应特别注意积分限 .,解,例3,（习题课教程P63例8-（1）,解,例4,连续型,由此可知： 二维随机变量 ( X, Y ) 相互独立,则边缘分布完全确定联合分布。,法2 X与Y 独立,对任何 x ,y 有,3.3 随机变量的独立性,法1 X与Y 独立,对任何 x ,y 有,例5 已知 ( X, Y ) 的联合概率密度为,(1),(2),讨论X ,Y 是否独立？,解：,(1) 由图知边缘概率密度为,显然，,故 X ,Y 相互独立.,
3、(2) 由图知边缘概率密度为,显然，,故 X ,Y 不独立.,（书P74例3.3）,随机变量相互独立的概念可以推广到 n 维随机变量（书P97）,若,则称随机变量 X 1, X 2 , , X n 相互独立。,（1）均匀分布,定义 设 D 是平面上的有界区域,其面积为 A, 若二维随机变量 ( X , Y ) 具有概率密度,则称( X , Y )在 D 上服从 均匀分布.,3.4 二维均匀分布和正态分布,向平面上有界区域D上任投一质点，若质点落在D内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比，而与B的形状及位置无关. 则质点的坐标（ X,Y）在D上服从均匀分布.,例6 设二维随机变量(X，Y)在 上服从均匀分布，求： （1） (X，Y)的概率密度；（2） ,解 （1）如图，区域D的面积为 ，因此(X，Y)的密度为,（2）记区域,于是,（2）二维正态分布（书P77）,若二维随机变量 ( X,Y ) 具有概率密度,例7 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为求 ,解,（书P77例3.5）,例8,（教材P77例3.6）,解（1）,由于,于是,则有,即,同理可得,二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,(阅读书P79),（2）证,对任何 x,y 有,故,取,（1）,记结论：,X与Y相互独立,
