1、概率论与数理统计 第五讲 二维随机变量,2,第三章 多维随机变量及其分布,3.1 二维随机变量 3.2 边缘分布 3.3 条件分布 3.4 相互独立的随机变量 3.5 两个随机变量的函数的分布,3,图示,3.1 二维随机变量,4,一、多维随机变量,1.定义 将n个随机变量X1，X2，.,Xn构成一个n维向量 (X1,X2,.,Xn)称为n维随机变量。,一维随机变量XR1上的随机点坐标 二维随机变量(X,Y)R2上的随机点坐标 n维随机变量(X1,X2,Xn)Rn上的随机点坐标 多维随机变量的研究方法也与一维类似， 用分布函数、概率密度、或分布律来描述其统计规律,5,实例1 炮弹的弹着点的位置
2、( X, Y ) 就是一个二维随机变量.,二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与 X、Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.,实例2 考查某一地 区学前儿童的发育情况 , 则儿童的身高 H 和体重 W 就构成二维随机变量 ( H, W ).,说明,6,几何意义：分布函数F( x0,y0)表示随机点(X,Y)落在区域 中的概率。如图阴影部分：,设(X, Y)是二维随机变量，(x, y)R2, 则称F(x,y)=PXx, Yy 为(X, Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。,二. 联合分布函数,7,对于(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1 x2， y1y2 ),则
3、 Px1X x2， y1Yy2 F(x2, y2)F(x2, y1) F (x1, y2)F (x1, y1).,(x1, y1),(x2, y2),(x2, y1),(x1, y2),8,分布函数F(x, y)具有如下性质：,且,(1)归一性 对任意(x, y) R2 , 0 F(x, y) 1,(2)单调不减 对任意y R, 当x1x2时， F(x1, y) F(x2 , y)；对任意x R, 当y1y2时， F(x, y1) F(x , y2).,9,(3)右连续 对任意xR, yR,(4)矩形不等式对于任意(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1 x2， y1y2 ), F(
4、x2, y2)F(x1, y2) F (x2, y1)F (x1, y1)0.,反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x,y)都可以作为某个二维随机变量(X,Y)的分布函数。,10,例1.已知二维随机变量(X,Y)的分布函数为,1)求常数A，B，C。 2)求P0X2,0Y3,解:,11,三.联合分布律,若二维随机变量(X, Y)只能取至多可列对值(xi, yj), (i, j1, 2, )，则称(X, Y)为二维离散型随机变量。 称 PXxi, Y yj, pij , (i, j1, 2, )，为二维离散型随机变量(X, Y)的分布律，或随机变量X与Y的联合分布律. 可记为 (X, Y) P
5、Xxi, Y yj, pij ，(i, j1, 2, )，,12,X Y y1 y2 yj p11 p12 . p1j . p21 p22 . p2j . pi1 pi2 . pij .,.,.,.,.,.,.,.,.,联合分布律的性质 (1) pij 0 , i, j1, 2, ；(2),x1 x2xi,二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下:,13,例2 袋中有2只黑球、2只白球、3只红球，在其中任取2只球.以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到白球的只数.(1)求(X,Y)的分布律.(2)求概率,解 (1)X所有可能取的不同值为0,1,2; Y所有可能取的不同值为0,1,2. (X,Y
6、)的分布律为,14,分布律也可写成以下表格的形式.,15,(2),16,四.二维连续型随机变量及其密度函数,1、定义 对于二维随机变量(X, Y)，若存在一个非负函数f (x, y)，使对(x, y)R2， 其分布函数,则称 (X, Y)为二维连续型随机变量，f(x,y)为 (X, Y)的密度函数(概率密度)，或X与Y的联合密度函数，可记为(X, Y) f (x, y)， (x, y)R2,17,2、联合密度f(x, y)的性质(1)非负性： f (x, y)0, (x, y)R2;(2)归一性：,反之，具有以上两个性质的二元函数f (x, y)，必是某个二维连续型随机变量的密度函数。,18,
7、(4)对于任意平面区域G R2,(3)若f (x, y)在(x, y)R2处连续，则有,此外，f (x, y)还有下述性质,19,求：(1)常数A；(2) F(1,1)；(3)(X,Y)落在三角形区域 D:x0,y0,2x+3y6 内的概率。,例3. 设,解 (1) 由归一性,20,(3) (X, Y)落在三角形区域D：x0, y0, 2X+3y6 内的概率。,解,21,3. 两个常用的二维连续型分布 (1)二维均匀分布*若二维随机变量(X, Y)的密度函数为则称(X, Y)在区域D上(内) 服从均匀分布。,易见，若 (X, Y) 在区域D上(内) 服从均匀分布, 对D内任意区域G, 有,22
8、,例4.设(X,Y)服从如图区域D上的均匀分布， (1)求(X,Y)的概率密度； (2)求PY2X ； (3)求F(0.5,0.5),解:,23,24,其中, 1、2为实数, 10, 20, |1，则称(X, Y) 服从参数为1, 2, 1, 2, 的二维正态分布, 可记为,(2)二维正态分布若二维随机变量(X, Y)的密度函数为,25,求:（1）PX0,(2)PX1,(3)PY y0,例5:随机变量（X，Y）的概率密度为,x,y,D,答: PX0=0,26,第三章 多维随机变量及其分布,3.1 二维随机变量 3.2 边缘分布 3.3 条件分布 3.4 相互独立的随机变量 3.5 两个随机变量
9、的函数的分布,27,称为二维随机变量(X, Y)关于Y的边缘分布函数.,3.2 边缘分布 一、边缘分布函数,称为二维随机变量(X, Y)关于X的边缘分布函数；,边缘分布实际上是高维随机变量的某个(某些)低维分量的分布。,28,例1. 已知(X,Y)的分布函数为,求 FX(x) 与 FY(y)。,解：FX(x)=F(x,)=,FY(y)=F(,y)=,29,为(X, Y)关于Y的边缘分布律。边缘分布律自然也满足分布律的性质。,二、边缘分布律,若随机变量X与Y的联合分布律为(X, Y) PXxi, Y yj, pij ，i, j1, 2, 则称为(X, Y)关于X的边缘分布律；,30,31,例2.
10、已知(X,Y)的分布律如下,求X、Y的边缘分布律。 xy 1 0 1 1/10 3/10 0 3/10 3/10,解： xy 1 0 pi. 1 1/10 3/10 2/5 0 3/10 3/10 3/5 p.j 2/5 3/5,故关于X和Y的分布律分别为：X 1 0 Y 1 0 P 2/5 3/5 P 2/5 3/5,32,三、边缘密度函数,为(X, Y)关于Y的边缘密度函数。,设(X, Y)f (x, y), (x, y)R2, 则称,为(X, Y)关于X的边缘密度函数；同理，称,33,边缘分布函数,34,例3.设(X,Y)的概率密度为,(1)求常数c; (2)求关于X的边缘概率密度fX(
11、x)和边缘分布函数FX(x),解: (1)由归一性,35,36,例4. 设(X,Y)的概率密度为(1)求常数c.(2)求关于X的和关于Y的边缘概率密度.,37,第三章 多维随机变量及其分布,3.1 二维随机变量 3.2 边缘分布 3.3 条件分布 3.4 相互独立的随机变量 3.5 两个随机变量的函数的分布,38,问题,3.3 条件分布,39,设随机变量X与Y的联合分布律为 (X, Y) PXxi, Y yj, pij ，(i, j1, 2, )， X和Y的边缘分布律分别为,一.离散型随机变量的条件分布律,40,为Y yj的条件下，X的条件分布律;,若对固定的j, p.j0, 则称,同理，对固
12、定的i, pi. 0, 称,为X xi的条件下，Y的条件分布律;,41,例1,42,解,由上述分布律的表格可得,43,44,例2 一射手进行射击,击中目标的概率为p(0p1), 射击到击中目标两次为止.设以X 表示首次击中目标所进行的射击次数, 以Y 表示总共进行的的射击次数. 试求 X 和 Y 的联合分布律及条件分布律.,解,45,现在求条件分布律,由于,46,47,二 连续型随机变量的条件概率密度,定义. 给定y，设对任意固定的正数0，极限,存在，则称此极限为在条件下X的条件分布函数. 记作,可证当 时,48,若记 fX|Y(x|y) 为在Y=y条件下X的条件概率密度，则当 时,类似定义，当 时,49,答,请同学们思考,50,解,例3,51,又知边缘概率密度为,52,解,例4,53,54,多维随机变量,离散型,连续型,边缘分布 条件分布,边缘分布 条件分布,55,作业,p.84 2，9，11,
