1、255 Mathematica简述与函数运算5.1 Mathematica简述Mathematica系统是美国的 Wolfram Research公司开发的一个功能强大的计算机数学系统。从 1988年问世至今，已广泛的运用到工程、应用数学、计算机科学、财经、生物、药学、生命科学以及太空科学等领域，深受科学家、学生、教授、研究人员及工程师的喜爱，产生很深远的影响。数以万计的论文、科学报告、期刊杂志、图书资料、计算机绘图等都是 Mathematica的杰作，可以说，Mathematica的使用是现代技术性计算开始的标志。自从 1960年开始，专用的数值、代数、绘图和其它任务的工具包就已经使用了。但
2、是，Mathematica 的梦幻般的概念制作一旦产生，就能够在一个相对独立的系统里面，采用在一个相对统一的方法，处理各种各样的技术性计算。这种重要的、并且富于才智的先进之处在于，它能够使用一些简单的、基本的单元，并且在初次操作中仅仅使用一些基本操作元素，是一种能够在很多方面进行技术性计算的、新的符号计算机语言。Mathematica 版本 1.0被商业周刊评为是当年的十大最重要的新产品之一。起初，Mathematica 的影响主要是在物理科学、工程学和数学领域中。但是，随着岁月的积累，Mathematica 已经在很多领域中得到了广泛的应用，并且扮演越来越重要的角色。例如，用于研究微分方程，
3、进行张量分析，解决物理及工程问题，从事经济学的研究等等。现今，Mathematica 应用于整个科学领域物理学、生物学、社会学以及其它领域，而且，Mathematica 的热心支持者中还有很多世界第一流的科学家。在工程学中，Mathematica 已经成为研究和生产的一个标准工具，而且，世界上很多重要的新产品，它们在一个阶段的设计或者多阶段的设计中是依赖Mathematica的。在商业领域中，Mathematica 已经在尖端的经济学建模中扮演越来越重要的角色。另外，Mathematica 似乎以一个重要工具的身份在计算机科学和软件发展中出现了，语言组成部分在研究、原型试制和接口环境等这些大范
4、围内被频繁的使用。Mathematica在教育中也被广泛使用，而且，成千上万的给高等学校开设的教学软件包也是使用 Mathematica来制作的。另外，学生版 Mathematica已经成为26全世界的技术性和非技术性的学生的重要工具了。Mathematica 用户基础的多样性也是引人注目的。它的使用空间覆盖了全部的大陆，时间跨度为上下 10年，使用的人多样化，例如包括艺术家、作曲家、语言家和律师在内。除了研究科学、数学和计算的人关心 Mathematica的发展之外，还有很多的 Mathematica爱好者和热心支持者。自从 Mathematica第一次发行以来，它在用户中已经茁壮成长起来，
5、到目前为止，它的用户数量已经超过了 100万。Mathematica已经成为大量机构里的标准，并且，它现在被世界最富有的 50家公司使用，并且被全美国政府的 15主要部门和世界上 50所最大的大学使用。在技术的水平，Mathematica 被广泛地认为当作软件工程的重要功绩。Mathematica是其中开发过的最大的单一应用程序之一，并且，它包含了一连串新颖的算法，以及重要的技术革新。在这些革新中包括了以与平台无关的交互式的 Notebook的文件的概念。Notebook 已经成为很多种教学软件和报表汇编的标准，并且，用在Mathematica版本 3中新增加的功能，比如出现在网上和其它发表技
6、术性的文件的标准等等。Mathematica是在 Wolfram领导的世界级水平的开发小组开发的。Mathematica的成功给 Wolfram的持续研究提供了非常重要的基础，并且他允许一个和 Mathematica相关的商业机构进行共同开发。现在，Mathematica 拥有将近100个专门使用的软件包，并且有好几种期刊和将近 200种的书籍来介绍和研究这个系统。重要的是，Mathematica 有着强大的符号演算功能，可以作多项式的运算（四则运算、展开、因式分解等）、有理式的各种运算；它可以求一个复杂函数的极限、导函数、不定积分和作幂级数的展开、矩阵的运算等。它有着强大的计算功能，可以作任
7、意精确度（实数值或复数值）的数值计算；可以求多项式方程、有理方程和超越方程的精确解和近似解；求解微分方程、计算定积分的任意精确度的近似值等。它还可以非常方便的作出一元和二元函数的静态图形。5.2 Mathematica的使用双击 Mathematica之图标启动 Mathematica系统，计算机屏幕出现Mathematica的主工作窗，之后通过键盘输入需要的表达式，最后单击主工作窗左上角处按钮(或按 Shift+Enter键)，即可得到需要的结果。275.3 Mathematica的常用函数Mathematica的数学函数的名字通常是英文单词的全写。对于常用的函数，系统使用传统的缩写。如“积
8、分”用其全名 Integrate，而“微分”则用其缩写名D。下面给出一些常用函数的函数名：1 数值函数Roundx 最接近 x 的整数Floorx 不大于 x 的最大整数Ceilingx 不小于 x 的最小整数Signx 符号函数Absx x 的绝对值Maxx1,x2, 取 x1,x2,中的最大值Minx1,x2, 取 x1,x2,中的最小值x+Iy x+iyRez z RezImz z ImzAbsz z Argz z 2 整数和数论中的函数FactorIntegern 由 n 的所有素因子及对应的幂组成的数对表Divisorsn 能整除 n 的所有整数组成的表PrimeQn 当 n 为素数
9、时为真，否则为假Modm,n m 被 n 除的正余数Quotientm,n m/n 的整数部分GCDn1,n2, n1,n2,的最大公因数LCMn1,n2, n1,n2,的最小公倍数3 基本超越函数Expz 以 e 为底的指数函数Logz 以 e 为底的对数函数Logb,z 以 b 为底的对数函数Sinz,Cosz 正弦函数与余弦函数28Tanz,Cotz 正切函数与余切函数Secz,Cscz 正割函数与余割函数ArcSinz, ArcCosz 反正弦函数与反余弦函数ArcTanz, ArcCotz 反正切函数与反余切函数ArcSecz, ArcCscz 反正割函数与反余割函数如上三角函数与反
10、三角函数中的参量为弧度。此外，基本超越函数还有双曲函数与反双曲函数。双曲函数 Sinhz, Ta, SeshzCostCc反双曲函数 Arci, rn, Arsshzotzhz4 根式函数Sqrtz 求 z 的 2 次方根 Z1/n 求 z 的 n 次方根例 8.1 求表达式 的值lg2n3+解 In1:=Log10,2+Log3Out1=Log3+Log2/Log10In2:=NLog10,2+Log3,10Out2=1.399642284In3:=Log10.0,2+Log3.Out3=1.39964注意 系统对于只含准确数值的输入表达式也只输出完全准确的结果；NP,10是数值转换函数，输
11、出的是具有 10 位有效数字的实数形式结果；10.0 和 3.是实数的表示方法。Mathematica 符号计算系统中数值类型有整数、有理数、实数和复数四种，列表如下：表 1-1 Mathematica 符号计算系统中数值类型类型 描述 实例 特征说明整数 Integer 226789 任意长度的精确数有理数 Rational 19/71 化简过的分数29实数 Real 1980.0 任意精确度的近似实数复数 Complex 124.0+3I 实部和虚部可为整数、有理数、实数5.4 Mathematica的变量1 变量名为便于保持中间变量，常需引进变量。在 Mathematica中，内部函数或
12、命令以大写字母开头标识。为了避免混淆，引进的变量名通常以小写字母开头，后跟字母或数字，变量名字符的长度不限。变量也有类型。在定义函数和程序设计时，也可以对变量进行类型说明。2 给变量赋值在 Mathematica中，运算符号“=”被称为立即赋值号；“:=”被称为延迟赋值号。一般形式为：变量=表达式；或变量 1=变量 2=表达式，其执行步骤为：先计算赋值号右边的表达式，再将计算结果送到变量中。一般的高级语言没有符号运算功能，一个变量只能表示一个数值、字符串或逻辑值。而在 Mathematica中，一个变量可以代表一个数值、一个表达式、一个数组或一个图形。例如：In1:=u=v=1 (*与 C 语
13、言类似，可以对变量连续赋值*)Out1=1In2:=r:=u+1 (*定义 r 的一个延迟赋值 *)In3:=r (*计算 r*)Out3=2In4:= u=. (*清除变量 u 的值*)In5= 2*u+v Out5=1+2u (*u 以未赋值的形式出现*)In6:= ？u (*查询变量 u 的值*)Out6=Globalu 在编程过程中，经常用？u 询问 u 的值，确保运算结果的正确性。5.5 Mathematica的自定义函数1 不带附加条件的自定义函数30在 Mathematica中，所有的输入都是表达式，所有的操作都是调用转化规则对表达式求值。一个函数就是一条规则。定义一条一元函数的
14、规则是 fx_:=或 fx_=的后面紧跟一个以 x为变量的表达式，其中 x_称为形式参数。调用自定义函数 fx_时，只需用实在参数代替其中的形式参数 x_即可。如果用“fx_=表达式”定义一个函数，那么这个规则仅对 x成立。在运行中，可用“fx_:=.”清除函数 fx_的定义，用 Clearf清除所有以 f为函数名的函数定义。例 8.2 定义函数 ，先分别求 时的函数值，再2()cosfxx=+1,3.2xp=求 。2()fx解 In1:=fx_:=x2+Sqrtx+CosxIn2:=f1.Out2=2.5463In3:=f3.1Out3=10.3715In4:=fNPi/2Out4=3.72
15、072In5:=fx2Out5= 422xSqrt+Cosx在 Out5中，由于系统不知道变量 的符号，所以没有对 进行开方运算。x2 带附加条件的自定义函数在使用“fx_:=表达式”定义一个规则时，可以给规则附加条件，附加条件放在定义规则表达式的后面，通过“/；”与表达式连接。附加条件的形式为：fx_:=表达式/；条件“附加条件”经常写成用关系运算符连接着的两个表达式，称为关系表达式。关系表达式的一般形式为：关系运算符有= =(等于)，! =(不等于)， (大于)， =(大于等于)， 表 1-2 Mathematica 逻辑运算符的意义逻辑运算符 名称 实例 意义! 非 !A 若 A 为真，
16、则!A 为假；若 A 为假，则 !A 为真In2:=b2=4, 3, 6, 9;In3:=b1+b2Out3=6, 8, 13, 17In4:=b1*b2Out4=8, 15, 42, 72In5:=b1/b233Out5= , , , 1283769系统规定以分号“；”结尾的输入语句不输出计算结果。此外，一个数(或标量)乘一个表等于这个数( 或标量)乘表中每个元素。4 表的操作系统提供了许多对表的操作函数，如 Inseart, Prepend, Append, Take, Rest, Drop, Length, ReplacePart 等函数。下面仅介绍和的使用方法，其余函数的使用方法可通过
17、帮助获得。表 1-3 Mathematica 的 Insert 和 Take 表的操作表的操作函数 意义Insertb,expr,n 在表 b 的第 n 个位置插入表达式 exprInsertb,expr,-n 在表 b 的倒数第 n 个位置插入表达式 exprTakeb,n 取出表 b 的前 n 个元素Takeb,-n 取出表 b 的后 n 个元素Takeb,m,n 取出表 b 的从第 m 到第 n 个元素 (包括 m,n 在内)练习 1.81. 定义函数 ，求当 时，函数 的值,0,()lnxefe= 10,.523,0x=- ()fx(要求计算结果具有 40 位有效数字)。2. 造一个九九乘法表(只要求乘积结果)。
