1、32 复数的运算32.1 复数的加法与减法双 基 达 标 限 时 20分 钟 1已知复数 z 满足 zi 33i，则 z 等于( )A0 B2i C6 D62i解析 z3i(i3)62i.答案 D2A，B 分别是复数 z1，z 2 在复平面内对应的点，O 是原点，若|z1z 2|z 1z 2|，则三角形 AOB 一定是( )A等腰三角形 B直角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形解析 根据复数加(减) 法的几何意义，知以 ， 为邻边所作的平行四边OA OB 形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形 OAB 为直角三角形答案 B3已知 z12i，z 21 2i，则复数 zz 2z 1 对应
2、的点位于( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析 zz 2z 1(1 2i)(2i)1i，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限答案 B4若 z12i，z 2 2i，则 z1，z 2 在复平面上所对应的点为 Z1、Z 2，这两12点之间的距离为_解析 | | .Z1Z2 (2 12)2 1 22 612答案 6125已知 z1 a(a1)i，z 23 b(b2)i(a，bR)，若 z1z 24 ，则32 3 3ab_.解析 z 1z 2 a( a1)i3 b(b2)i (ab1)32 3 ( 32a 33b)i4 ，3由复数相等的条件知Error! 解得Error!ab3.答案
3、36已知 z， 为复数，(1 3i) z 为纯虚数， ，且| |5 ，求 .z2 i 2解 设 zabi(a，bR)，则(13i)za3b(3ab)i ，由题意得a3b0.| 5 ，|z2 i| 2|z| 5 ，a2 b2 10将 a3b 代入上式，得Error!或Error!故 (7i)15 5i2 i综 合 提 高 限 时 25分 钟 7设 zC，且|z1|zi| 0，则| zi|的最小值为( )A0 B1 C. D.22 12解析 由|z1|zi|知，在复平面内，复数 z 对应的点的轨迹是以(1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线 yx ，而| zi|表示直线yx 上的点到
4、点(0， 1)的距离，其最小值等于点 (0，1) 到直线 yx的距离答案 C8复数 z1、z 2 分别对应复平面内的点 M1、M 2，且|z 1z 2| z1z 2|，线段 M1M2的中点 M 对应的复数为 43i，则|z 1|2|z 2|2 等于( )A10 B25 C100 D200解析 根据复数加减法的几何意义，由|z 1z 2| z1z 2|知，以 、 为OM1 OM2 邻边的平行四边形是矩形(对角线相等)，即M 1OM2 为直角，M 是斜边M1M2 的中点，| | 5，OM 42 32|M 1M2|10.|z 1|2|z 2|2| |2| |2| |2100.OM1 OM2 M1M2
5、 答案 C9在平行四边形 OABC 中，各顶点对应的复数分别为zO0， zA2 i，z B 2a3i，z Cbai，则实数 ab 为_a2解析 因为 ，所以 2 i(bai)2a3i，所以Error!得OA OC OB a2ab4.答案 410复数 zxy i(x，yR)满足条件|z4i| |z2|，则 2x4 y的最小值为_解析 方程|z4i|z2|表示线段 Z1Z2(Z1(0,4)、Z 2(2,0)的中垂线，易求其方程为 x2y 3.2 x 4y2 x2 2y2 22x22y 2x 2y2 4 .23 2当且仅当 2x 22y，即 x2y 且 x2y3，即 x ，y 时取到最小值 4 .3
6、2 34 2答案 4 211设 mR，复数 z1 (m15)i，z 22m(m 3)i，若 z1z 2 是虚m2 mm 2数，求 m 的取值范围解 因为 z1 (m15)i，m2 mm 2z22m( m3)i，所以 z1z 2 (m15) m(m3)i(m2 mm 2 2) (m 22m15)i.m2 m 4m 2因为 z1z 2 是虚数，所以 m22m150 且 m2，所以 m5 且 m3 且 m2，所以 m 的取值范围是(， 3) (3，2)(2,5)(5，)12(创新拓展) 设 z1、z 2C，已知|z 1|z 2|1，| z1z 2| ，求|z 1z 2|.2解 法一 设 z1abi，
7、z 2cdi(a，b，c，dR )，由题设知a2b 21，c 2d 21，(a c )2(bd) 22，又由(a c) 2(bd) 2a 22acc 2b 22bdd 2，可得 2ac2bd0.|z1 z2|2(ac) 2(bd) 2a 2c 2b 2d 2(2ac 2bd)2，|z 1z 2| .2法二 |z 1z 2|2|z 1z 2|22(| z1|2| z2|2)，将已知数值代入，可得|z 1z 2|22，|z 1z 2| .2法三 作出 z1、z 2 对应的向量 、 ，OZ1 OZ2 使 O .OZ1 OZ2 Z |z 1|z 2|1，又 、 不共线( 若 、 共线，则 |z1z 2|2 或 0 与OZ1 OZ2 OZ1 OZ2 题设矛盾)，平行四边形 OZ1ZZ2 为菱形又|z 1z 2| ，2Z 1OZ290，即四边形 OZ1ZZ2 为正方形，故|z 1z 2| .2
