1、22.3 用平面向量坐标表示向量共线条件 学习目标 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2. 能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法知识链接1平行向量基本定理的内容是什么？答 如果 ab，则 ab；反之，如果 ab，且 b0，则一定存在唯一一个实数 ，使ab.2如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们是同向还是反向吗？答 当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向；当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向例如，向量(1,2)与( 1，2)反向；向量(1,0)与(3,0) 同向；向量(1,2)与(3，6)同向；向量( 1,0)与(3,0)反向等预习导引1两向
2、量共线的坐标表示设 a(x 1，y 1)， b( x2，y 2)(1)当 a b 时，有 x1y2x 2y10.(2)当 a b 且 x2y20 时，有 .即两向量的相应坐标成比例x1x2 y1y22若 ，则 P 与 P1、P 2 三点共线P1P PP2 当 (0，)时，P 位于线段 P1P2 的内部，特别地 1 时，P 为线段 P1P2 的中点；当 (，1)时，P 位于线段 P1P2 的延长线上；当 (1,0)时，P 位于线段 P1P2 的反向延长线上.要点一 向量共线的判定例 1 已知 A(2,1)，B(0,4) ，C(1,3)，D(5，3)判断 与 是否共线？如果共线，它们AB CD 的
3、方向相同还是相反？解 (0,4)(2,1) ( 2,3)AB (5，3)(1,3)(4，6)CD 方法一 (2)( 6)340，且(2)40 ， 与 共线且方向相反AB CD 方法二 2 ， 与 共线且方向相反CD AB AB CD 规律方法 此类题目应充分利用平行向量基本定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之间的搭配跟踪演练 1 已知 A、B、C 三点坐标分别为( 1,0)、(3 ， 1)、(1,2)，并且 ， ，求证： .AE 13AC BF 13BC EF AB 证明 设点 E、F 的坐标分别为(x 1，y 1)、( x2，y 2)依题意有
4、， (2,2)， (2,3)，AC BC (4 ，1)AB ， (x11，y 1) (2,2)，点 E 的坐标为 .同理点 F 的坐标为 .AE 13AC 13 ( 13，23) (73，0) .EF (83， 23)又 (1) 4 0， .83 ( 23) EF AB 要点二 利用向量共线求参数例 2 已知 a(1,2)，b( 3,2)，当 k 为何值时，kab 与 a3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解 方法一 kabk (1,2)(3,2) (k3,2k 2) ，a3b(1,2)3(3,2)(10， 4)当 kab 与 a3b 平行时，存在唯一的实数 ，使 kab(a3b)，即(k3
5、,2 k2)(10，4)，Error! 解得 k .13当 k 时，k ab 与 a3b 平行，13这时 kab (a3b) ab.13 13 0，13kab 与 a3b 反向方法二 由方法一知 kab(k3,2k2)，a3b(10，4) kab 与 a3b 平行，(k3)(4)10(2 k2)0，解得 k .13此时 kab (a3b) ( 13 3， 23 2) 13当 k 时，k ab 与 a3b 平行，并且反向13规律方法 由向量共线求参数的值的方法跟踪演练 2 设向量 (k, 12)， (4,5) ， (10，k)，当 k 为何值时，A，B，C 三点OA OB OC 共线？解 方法一
6、 若 A，B，C 三点共线，则 ， 共线，AB AC 则存在实数 ，使得 .AB AC (4k ，7)，AB OB OA (10k，k12)，AC OC OA (4k ，7) (10k ，k12) ，Error! 解得 k2，或 k 11.方法二 若 A，B，C 三点共线，则 ， 共线AB AC (4k ，7)，AB OB OA (10k，k12)，AC OC OA (4k )(k12)7(10k )0，k 29k220，解得 k 2，或 k11.要点三 向量共线的综合应用例 3 如图所示，已知点 A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求 AC 和 OB 交点 P 的坐标解 方法一 设 t
7、 t(4,4)(4t, 4t)，OP OB 则 (4t,4t)(4,0)(4t4,4t )，AP OP OA (2,6)(4,0) ( 2,6)AC OC OA 由 ， 共线的条件知 (4t4) 64t (2)0，AP AC 解得 t . (4t,4t) (3,3)34 OP P 点坐标为(3,3)方法二 设 P(x，y) ，则 (x，y)， (4,4) OP OB ， 共线，4x 4y 0.OP OB 又 (x2， y6)， (2，6)，CP CA 且向量 、 共线，CP CA 6(x 2)2(6y )0.解组成的方程组，得 x3，y3，点 P 的坐标为(3,3)规律方法 求解直线或线段的交
8、点问题，常规方法为写出直线或线段对应的直线方程，建立方程组求解，而利用向量方法借助共线向量的充要条件可减少运算量，且思路简单明快跟踪演练 3 如图，在OABP 中，过点 P 的直线与线段 OA、OB 分别相交于点 M、N，若 x ，OM OA y (0x1)ON OB (1)求 yf(x) 的解析式；(2)令 F(x) x ，判断 F(x)的单调性，1fx并给出你的证明解 (1) ，OP AB OB OA 则 x y ，NM OM ON OA OB ( )xMP OP OM OB OA OA (1x) ，OA OB 又 ，有 xy (1x )0，NM MP 即 f(x) (0x1)xx 1(2
9、)由(1)得 F(x) x x 1(0 x 1) ，x 1x 1x设 0x 1x 21，则 F(x1)F (x2) (x1 1x1 1) (x2 1x2 1)(x 1 x2) (1x1 1x2)(x 1 x2) (x 1x 2) ，(1 1x1x2) x1x2 1x1x2由 0x 1x 21，得 x1x 20，x 1x210，x 1x20，得 F(x1)F (x2)0，即 F(x1) F(x2)F(x) 在(0,1)上为减函数 .1下列各组的两个向量共线的是( )Aa 1(2,3)，b 1(4,6)Ba 2(1，2)，b 2(7,14)Ca 3(2,3)，b 3(3,2)Da 4(3,2)，b
10、 4(6 ，4)答案 D解析 ，a 4b 4，故选 D. 36 2 42已知 a(1,2)，b(2 ，y)，若 ab，则 y 的值是( )A1 B1 C4 D4答案 D解析 ab，(1)y 220，y 4.3若点 A(1 ，1) ，B(1,3)，C (x,5)三点共线，则使 成立的实数 的值为( )AB BC A2 B0 C1 D2答案 D解析 (2,4)， (x 1,2)，AB BC A，B，C 三点共线， 与 共线，AB BC 224(x1)0，x 2， (1,2)BC 2 ， 2.故选 D.AB BC 4给定两个向量 a(1,2)，b( ，1) ，若 a2b 与 2a2b 共线，求 的值
11、解 a2b(1,2)2( ，1)(12，4)，2a2b2(1,2)2( ，1)(22，2)，又 a2b 与 2a2b 共线，2(12 )4(22)0， .121.两个向量共线条件的表示方法已知 a(x 1，y 1)，b( x2，y 2)(1)当 b0 时，a b.(2)x1y2x 2y1 0.(3)当 x2y20 时， ，即两向量的相应坐标成比例x1x2 y1y22向量共线的坐标表示的应用两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行(2)已知两个向量
12、共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程，要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据一、基础达标1已知三点 A(1,1) ，B(0,2)，C (2,0)，若 和 是相反向量，则 D 点坐标是( )AB CD A(1,0) B (1,0)C(1，1) D(1,1)答案 C2已知平面向量 a(x,1)，b (x，x 2)，则向量 ab( )A平行于 x 轴B平行于第一、三象限的角平分线C平行于 y 轴D平行于第二、四象限的角平分线答案 C解析 ab(0,1x 2)， 平行于 y 轴3若 a(2cos ，1)，b(sin ，1) ，且 ab，则 tan 等于 (
13、 )A2 B. C2 D12 12答案 A解析 ab，2cos 1sin .tan 2.故选 A.4已知 A、B 、C 三点在一条直线上，且 A(3，6)，B(5,2)，若 C 点的横坐标为 6，则C 点的纵坐标为( )A13 B9 C9 D13答案 C解析 设 C 点坐标为(6，y) ，则 (8,8) ， (3 ，y6) A、B、C 三点共线，AB AC ，y 9.3 8 y 685已知向量 a(2x1,4)，b (2x,3)，若 ab，则实数 x 的值等于_答案 12解析 由 ab 得 3(2x1) 4(2x)，解得 x .126已知点 A(1，2) ，若线段 AB 的中点坐标为(3,1)
14、 ，且 与向量 a(1 ，)共线，则AB _.答案 32解析 由题意得，点 B 的坐标为(321,122) (5,4)，则 (4,6)AB 又 与 a(1 ， )共线，AB 则 460，得 .327已知 a(1,0)，b(2,1) (1)当 k 为何值时，kab 与 a2b 共线？(2)若 2a3b， amb 且 A，B，C 三点共线，求 m 的值AB BC 解 (1)kabk(1,0)(2,1) (k2，1) ，a2b(1,0)2(2,1) (5,2) kab 与 a2b 共线，2(k2)( 1)50，即 2k450，得 k .12(2)A， B，C 三点共线， ， R ，AB BC 即 2
15、a3b( amb)，Error! 解得 m .32二、能力提升8平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(1,0)，B(0,1)，点 C 在第二象限内，AOC ，且56OC2，若 ，则 ， 的值是( )OC OA OB A. ，1 B 1，3 3C1， D ，13 3答案 D解析 设 C(x，y )，点 C 在第二象限，且AOC ，OC2，xOCcos ，yOCsin 1，56 56 3 56C( ，1)， ( ，1)3 OC 3又 ，( ，1)(1,0)(0,1) ，OC OA OB 3即( ，1) (， )， ， 1.3 39已知向量 a(2,3)，b( 1,2)，若 manb 与 a2b 共
16、线，则 等于( )mnA B.12 12C2 D2答案 A解析 由向量 a(2,3)，b( 1,2)，得 manb(2mn,3m2n)，a2b(4 ，1)由manb 与 a2b 共线，得 ，所以 ，选 A.2m n4 3m 2n 1 mn 1210设向量 a(1,2)，b(2,3)若向量 ab 与向量 c(4，7) 共线，则 _.答案 2解析 ab ( 2,23)，c(4，7) ， ，2. 2 4 2 3 711已知两点 A(3，4) ，B(9,2)，在直线 AB 上求一点 P，使| | | |.AP 13AB 解 设点 P 的坐标为(x，y) ，若点 P 在线段 AB 上，则 ，AP 12P
17、B (x3 ，y4) (9x, 2 y)12解得 x1，y 2，P(1，2)若点 P 在线段 BA 的延长线上，则 ，AP 14PB (x3 ，y4) (9x,2y) 14解得 x7，y6，P(7，6)综上可得点 P 的坐标为(1， 2)或(7，6)12.如图所示，在四边形 ABCD 中，已知 A(2,6)、B(6,4)、C(5,0)、D(1,0) ，求直线 AC 与 BD 交点 P 的坐标解 设 P(x，y)，则 (x1，y)，DP (5,4) ， (3,6)， (4,0)DB CA DC 由 B，P，D 三点共线可得 (5，4)DP DB 又 (54,4)，CP DP DC 由 与 共线得
18、，(54)612 0.CP CA 解之得 ，47 ，DP 47DB (207，167)P 的坐标为 .(277，167)三、探究与创新13如图所示，已知AOB 中，A(0,5)，O(0,0) ，B(4,3)， ， ，AD 与 BCOC 14OA OD 12OB 相交于点 M，求点 M 的坐标解 (0,5) ，C(0， )OC 14OA 14 (0，54) 54 (4,3) ，D .OD 12OB 12 (2，32) (2，32)设 M(x，y)，则 (x ，y 5) ，AM .AD (2 0，32 5) (2， 72) ， x2(y5)0，即 7x4y20.AM AD 72又 ， ，CM (x，y 54) CB (4，74) ， x4 0，CM CB 74 (y 54)即 7x16y20.
