1、章末检测卷（二）一、选择题(本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分)1由 11 2,132 2,1353 2,13574 2，得到 13(2 n1) n2用的是( )A归纳推理 B演绎推理C类比推理 D特殊推理答案 A2在 ABC中， E、 F分别为 AB、 AC的中点，则有 EF BC，这个问题的大前提为( )A三角形的中位线平行于第三边B三角形的中位线等于第三边的一半 C EF为中位线D EF BC答案 A解析 这个三段论的推理形式是：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提： EF为ABC的中位线；结论： EF BC.3对大于或等于 2的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：221
2、33213542135723353379114313151719根据上述分解规律，若 m213511， n3的分解中最小的正整数是 21，则 m n( )A10 B11 C12 D13答案 B解析 m213511 636，1 112 m6.2 335,3 37911，4313151719，5 32123252729， n3的分解中最小的数是 21， n35 3， n5， m n6511.4用反证法证明命题“ 是无理数”时，假设正确的是( )2 3A假设 是有理数2B假设 是有理数3C假设 或 是有理数2 3D假设 是有理数2 3答案 D解析 应对结论进行否定，则 不是无理数，即 是有理数2 3
3、 2 35用数学归纳法证明 1 时，由 n k到11 2 11 2 3 11 2 3 n 2nn 1n k1 左边需要添加的项是( )A. B.2kk 2 1kk 1C. D.1k 1k 2 2k 1k 2答案 D解析 由 n k到 n k1 时，左边需要添加的项是 .故11 2 3 k 1 2k 1k 2选 D.6已知 f(x1) ， f(1)1( xN *)，猜想 f(x)的表达式为( )2fxfx 2A. B.42x 2 2x 1C. D.1x 1 22x 1答案 B解析 当 x1 时， f(2) ，2f1f1 2 23 22 1当 x2 时， f(3) ；2f2f2 2 24 23 1
4、当 x3 时， f(4) ，2f3f3 2 25 24 1故可猜想 f(x) ，故选 B.2x 17已知 f(x y) f(x) f(y)且 f(1)2，则 f(1) f(2) f(n)不能等于( )A f(1)2 f(1) nf(1)B f( )nn 12C n(n1)D. f(1)nn 12答案 C解析 f(x y) f(x) f(y)，令 x y1， f(2)2 f(1)，令 x1， y2， f(3) f(1) f(2)3 f(1)f(n) nf(1)， f(1) f(2) f(n)(12 n)f(1) f(1)nn 12A、D 正确；又 f(1) f(2) f(n) f(12 n) f
5、( )nn 12B 也正确，故选 C.8对“ a， b， c是不全相等的正数” ，给出下列判断：( a b)2( b c)2( c a)20； a b与 b c及 a c中至少有一个成立； a c， b c， a b不能同时成立其中判断正确的个数为( )A0 B1 C2 D3答案 B解析 若( a b)2( b c)2( c a)20，则 a b c，与“ a， b， c是不全相等的正数”矛盾，故正确 a b与 b c及 a c中最多只能有一个成立，故不正确由于“ a， b， c是不全相等的正数” ，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故不正确9我们把平面几何里相似形的概念推广到空
6、间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体下列几何体中，一定属于相似体的有( )两个球体；两个长方体；两个正四面体；两个正三棱柱；两个正四棱椎A4 个 B3 个 C2 个 D1 个答案 C解析 类比相似形中的对应边成比例知，属于相似体10数列 an满足 a1 ， an1 1 ，则 a2 013等于( )12 1anA. B1 C2 D312答案 C解析 a1 ， an1 1 ，12 1an a21 1， a31 2， a41 ，1a1 1a2 1a3 12a51 1， a61 2，1a4 1a5 an3 k an(nN *， kN *) a2 013 a33670 a
7、32.11定义在 R上的函数 f(x)满足 f( x) f(x4)，且 f(x)在(2，)上为增函数已知 x1 x20，则 x12，2 f(4 x1)，从而 f(x2) f(4 x1) f(x1)，f(x1) f(x2)0时，用分析法证明如下：要证 (a b)，a2 b222只需证( )2 2，a2 b2 22a b即证 a2 b2 (a2 b22 ab)，即证 a2 b22 ab.12 a2 b22 ab对一切实数恒成立， (a b)成立a2 b222综上所述，对任意实数 a， b不等式都成立19(12 分)已知 a、 b、 c是互不相等的非零实数求证三个方程ax22 bx c0， bx22
8、 cx a0， cx22 ax b0 至少有一个方程有两个相异实根证明 反证法：假设三个方程中都没有两个相异实根，则 14 b24 ac0， 24 c24 ab0， 34 a24 bc0.相加有 a22 ab b2 b22 bc c2 c22 ac a20，(a b)2( b c)2( c a)20.由题意 a、 b、 c互不相等，式不能成立假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根20(12 分)设 a， b， c为一个三角形的三条边， s (a b c)，且 s22 ab，试证： s2a.12证明 要证 s2a，由于 s22 ab，所以只需证 s ，即证 bs.s2b因为 s (
9、a b c)，所以只需证 2ba b c，即证 ba c.12由于 a， b， c为一个三角形的三条边，所以上式成立于是原命题成立21(12 分)数列 an满足 a1 ，前 n项和 Sn an.16 nn 12(1)写出 a2， a3， a4；(2)猜出 an的表达式，并用数学归纳法证明解 (1)令 n2， a1 ， S2 a2，16 22 12即 a1 a23 a2. a2 .112令 n3，得 S3 a3，33 12即 a1 a2 a36 a3， a3 .120令 n4，得 S4 a4，44 12即 a1 a2 a3 a410 a4， a4 .130(2)猜想 an ，下面用数学归纳法给出
10、证明1n 1n 2当 n1 时， a1 ，结论成立16 11 11 2假设当 n k时，结论成立，即 ak ，1k 1k 2则当 n k1 时， Sk ak ，kk 12 kk 12 1k 1k 2 k2k 2Sk1 ak1 ，k 1k 22即 Sk ak1 ak1 .k 1k 22 ak1 ak1 .k2k 2 k 1k 22 ak1 k2k 2k 1k 22 1 kkk 3k 2 .1k 2k 3当 n k1 时结论成立由可知，对一切 nN *都有 an .1n 1n 222(12 分)设 f(n)1 ，是否存在关于自然数 n的函数 g(n)，使等式 f(1)12 13 1n f(2) f
11、(n1) g(n)f(n)1对于 n2 的一切自然数都成立？并证明你的结论解 当 n2 时，由 f(1) g(2)f(2)1，得 g(2) 2，f1f2 1 11 12 1当 n3 时，由 f(1) f(2) g(3)f(3)1，得 g(3) 3，f1 f2f3 11 1 121 12 13 1猜想 g(n) n(n2)下面用数学归纳法证明：当 n2 时，等式 f(1) f(2) f(n1) nf(n)1恒成立当 n2 时，由上面计算可知，等式成立假设 n k(kN *且 k2)时，等式成立，即 f(1) f(2) f(k1) kf(k)1( k2)成立，那么当 n k1 时，f(1) f(2) f(k1) f(k) kf(k)1 f(k)( k1) f(k) k( k1) f(k1) k1k 1( k1) f(k1)1，当 n k1 时，等式也成立由知，对一切 n2 的自然数 n，等式都成立，故存在函数 g(n) n，使等式成立
