1、3.1.3 两角和与差的正切 学习目标 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式 .2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用知识链接1如何化简 tan 呢？(2 )答 因为 tan 的值不存在，不能利用公式 T ，所以改用诱导公式来解2tan .(2 )sin(2 )cos(2 ) cos sin 2你能根据同角三角函数基本关系式 tan ，从两角和的正弦、余弦公式出发，推sin cos 导出用任意角 ， 的正切值表示 tan()的公式吗？答 当 cos()0 时，tan() .sin cos sin cos
2、 cos sin cos cos sin sin 当 cos cos 0 时，分子分母同除以 cos cos ，得tan() .tan tan 1 tan tan 预习导引1两角和与差的正切公式(1)T ：tan() .tan tan 1 tan tan (2)T ：tan() .tan tan 1 tan tan 2两角和与差的正切公式的变形(1)T 的变形：tan tan tan( )(1tan_tan _)tan tan tan tan tan()tan()tan tan 1 .tan tan tan (2)T 的变形：tan tan tan( )(1tan_tan _)tan tan
3、tan tan tan()tan()tan tan 1.tan tan tan 要点一 利用和(差)角的正切公式求值例 1 求下列各式的值：(1) ；3 tan 151 3tan 15(2)tan 15tan 30tan 15tan 30.解 (1)原式 tan(6015)tan 60 tan 151 tan 60tan 15tan 75tan(3045)tan 30 tan 451 tan 30tan 45 2 .33 11 33 3(2)tan 45 1，tan 15 tan 301 tan 15tan 30tan 15tan 301tan 15tan 30，原式(1tan 15tan 3
4、0)tan 15tan 301.规律方法 公式 T ，T 是变形较多的两个公式，公式中有 tan tan ，tan tan (或tan tan )， tan()(或 tan()三者知二可表示或求出第三个跟踪演练 1 求下列各式的值：(1) ；cos 75 sin 75cos 75 sin 75(2)tan 36tan 84 tan 36tan 84.3解 (1)原式 1 tan 751 tan 75 tan 45 tan 751 tan 45tan 75tan(45 75) tan(30)tan 30 .33(2)原式tan 120(1tan 36tan 84) tan 36tan 843ta
5、n 120tan 120tan 36tan 84 tan 36tan 843tan 120 .3要点二 利用和(差)角的正切公式求角例 2 若 ， 均为钝角，且 (1tan )(1tan )2，求 .解 (1tan )(1 tan )2，1(tan tan )tan tan 2，tan tan tan tan 1 ， 1.tan()1.tan tan 1 tan tan ， ，(，2) .(2，) 74规律方法 此类题是给值求角题，解题步骤如下：(1)求所求角的某一个三角函数值， (2)确定所求角的范围此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解
6、跟踪演练 2 已知 tan ，tan 是方程 x23 x40 的两根，且 0，00，12 .22 ( ，0)2 .341公式 T的适用范围、结构特点和符号规律(1)由正切函数的定义可知 、(或 )的终边不能落在 y 轴上，即不为 k 2(kZ)(2)公式 T的右侧为分式形式，其中分子为 tan 与 tan 的和或差，分母为 1 与 tan tan 的差或和(3)符号变化规律可简记为“分子同，分母反” 2公式 T的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如 tan 1，tan ，tan 等4 6 33 3 3要特别注意 tan ，tan .(4 ) 1 tan 1 tan (4 ) 1
7、 tan 1 tan 3公式 T的变形应用只要见到 tan tan ，tan tan 时，要有灵活应用公式 T的意识，就不难想到解题思路一、基础达标1在ABC 中，若 tan Atan Btan Atan B1，则 cos C 的值是( )A B. C. D22 22 12 12答案 B解析 由 tan Atan B tan Atan B1，可得 1，即 tan(AB)tan A tan B1 tan Atan B1，AB(0 ，)，AB ，则 C ，cos C .34 4 222已知 tan( ) ，tan ，那么 tan 等于 ( )35 ( 4) 14 ( 4)A. B. C. D.13
8、18 1323 723 16答案 C解析 tan tan( 4) ( 4) .35 141 3514 7233已知 tan ，tan ，0 ， ，则 的值是 ( )12 13 2 32A. B. C. D.4 34 54 74答案 C4A，B ，C 是ABC 的三个内角，且 tan A，tan B 是方程 3x25x 10 的两个实数根，则ABC 是( )A钝角三角形 B锐角三角形C直角三角形 D无法确定答案 A解析 tan A tan B ，tan Atan B ，53 13tan(AB) ，tan C tan(AB) ，52 52C 为钝角5. _.1 tan 751 tan 75答案 3
9、6如果 tan ， tan 是方程 x23x30 的两根，则 _.sin cos 答案 32解析 sin cos sin cos cos sin cos cos sin sin .tan tan 1 tan tan 31 3 327求下列各式的值：(1)sin 15cos 15；(2)(1tan 59)(1tan 76)解 (1)sin 15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30 ，22 32 2212 6 24cos 15 ，sin 15cos 15 .6 24 14(2)原式1tan 59tan 76tan 59tan 761(tan 59 tan 76)tan
10、 59tan 761tan 135(1tan 59tan 76)tan 59tan 7611tan 59tan 76tan 59tan 762.二、能力提升8化简 tan 10tan 20tan 20tan 60tan 60tan 10的值等于( )A1 B2Ctan 10 D. tan 203答案 A解析 原式tan 10tan 20 tan 20 tan 103 3 (tan 10tan 20 tan 10tan 20) 1.333 3 339设 为第二象限角，若 tan ，则 sin cos _.( 4) 12答案 105解析 因为 tan ，( 4) tan 11 tan 12所以 t
11、an ，13因为 为第二象限角，所以 cos ，sin ，11 tan2 31010 1 cos2 1010则 sin cos .1010 31010 10510已知 、 均为锐角，且 tan ，则 tan()_.cos sin cos sin 答案 1解析 tan ，cos sin cos sin 1 tan 1 tan tan tan tan 1tan ，tan tan tan tan 1 ，tan tan 1tan tan ， 1，tan()1.tan tan 1 tan tan 11已知 A、B、C 是ABC 的三内角，向量 m( 1， )，n(cos A，sin A) ，且 mn1.
12、3(1)求角 A；(2)若 tan 3，求 tan C.(4 B)解 (1)mn1，(1， )(cos A，sin A)1，3即 sin Acos A1,2sin 1.3 (A 6)sin .(A 6) 120A， A .6 656A ，即 A .6 6 3(2)由 tan 3，(4 B) tan B 11 tan B解得 tan B2.又 A ，tan A .3 3tan C tan(A B) tan(AB) .tan A tan B1 tan Atan B 3 21 23 8 531112已知 sin( ) ，sin() ，且 ( ，)， ( ，2)，求 cos 2513 513 2 32
13、的值解 sin( ) ， ( ，)，513 2cos() .1213sin() ， ( ，2)，513 32cos() .1213cos 2cos( )( )cos()cos()sin( )sin() ( )( ) 1.1213 1213 513 513三、探究与创新13已知 tan ，tan 是方程 x23x30 的两根，试求 sin2()3sin()cos( )3cos 2() 的值解 由已知有Error!tan() .tan tan 1 tan tan 31 3 34sin 2() 3sin( )cos()3cos 2()sin2 3sin cos 3cos2 sin2 cos2 tan2 3tan 3tan2 1 3.342 334 3342 1
