1、1.3.2 三角函数的图象与性质(二)学习目标 1.掌握 ysin x 与 ycos x 的周期、最值、单调性、奇偶性等性质，并能解决相关问题.2.掌握 ysin x，ycos x 的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数yAsin( x)及 yAcos( x)的单调区间知识链接1观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？答 正弦函数 ysin x 的图象关于原点对称，余弦函数 ycos x 的图象关于 y 轴对称2上述对称性反映出正弦、余弦函数分别具有什么性质？如何从理论上加以验证？答 正弦函数是 R 上的奇函数，余弦函数是 R 上的偶函数根据诱导公式得， sin(x)sin x，
2、cos(x )cos x 均对一切 xR 恒成立3观察正弦曲线和余弦曲线，正弦、余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少答 正弦、余弦函数存在最大值和最小值，分别是 1 和1.预习导引正弦函数、余弦函数的性质：函数 ysin x ycos x图象定义域 R R值域 1,1 1,1对称性对称轴： xk 2(kZ )；对称中心：(k ，0)(kZ )对称轴：x k(kZ)；对称中心： (k 2，0)(kZ )奇偶性 奇函数 偶函数周期性 最小正周期：2 最小正周期：2单调性 在 2k， 2k(k Z)2 2 在2k，2k (kZ)上单调递增；在2k，2k 上单调递增；在
3、2k， 2k(k Z)上2 32单调递减(kZ)上单调递减最值在 x 2k(k Z)时，2ymax1 ；在 x 2k( kZ)时，2ymin1在 x2k(kZ)时，ymax1 ；在 x2k(k Z)时，ymin1要点一 求正弦、余弦函数的单调区间例 1 求函数 y2sin 的单调递增区间(4 x)解 y2sin 2sin ，(4 x) (x 4)令 zx ，则 y2sin z.4因为 z 是 x 的一次函数，所以要求 y2sin z 的递增区间，即求 sin z 的递减区间，即 2k z2k (kZ)2 322k x 2k (kZ)，2 4 322k x2k (kZ)，34 74函数 y2si
4、n 的递增区间为(4 x)(kZ)2k 34，2k 74规律方法 用整体替换法求函数 yAsin(x )或 yAcos(x)的单调区间时，如果式子中 x 的系数为负数，先利用诱导公式将 x 的系数变为正数再求其单调区间，再将最终结果写成区间形式跟踪演练 1 求下列函数的单调递增区间：(1)y12sin ；(6 x)(2)ylog cos x.12解 (1)y12sin 12sin .(6 x) (x 6)令 ux ，则根据复合函数的单调性知，所给函数的单调递增区间就是 ysin u 的单调递6减区间，即 2k u2k (kZ)，2 32亦即 2k x 2k (kZ)2 6 32亦即 2k x2
5、k (kZ )，23 53故函数 y12sin 的单调递增区间是 (kZ)(6 x) 2k 23，2k 53(2)由 cos x0，得 2k sin .( 18) ( 10)(2)sin 196sin(180 16) sin 16，cos 156cos(18024)cos 24sin 66 ，0sin 66，即 sin 196cos 156.(3)cos cos cos(4 )cos ，( 235) 235 35 35cos cos cos cos .( 174) 174 (4 4) 40cos 170 ，即 cos 870sin 980.要点三 求正弦、余弦函数的最值(值域)例 3 (1)求
6、函数 y32sin x 取得最大值、最小值时的自变量 x 的集合，并分别写出最大值、最小值；(2)求函数 f(x) 2sin2 x2sin x ，x 的值域12 6，56解 (1)1sin x1，当 sin x1，即 x2k ，kZ 时，y 取得最大值 5，相应32的自变量 x 的集合为Error!.当 sin x1，即 x2k ， kZ 时，y 取得最小值 1，相应的自变量 x 的集合为Error!.2(2)令 tsin x，yf(t) ，x ，6，56 sin x1，即 t1.12 12y2t 22t 2 21，1y ，12 (t 12) 72函数 f(x)的值域为 .1，72规律方法 (
7、1)形如 yasin xb(或 yacos xb)的函数的最值或值域问题，利用正弦、余弦函数的有界性(1sin x1，1cos x1)求解求三角函数取最值时相应自变量 x 的集合时，要注意考虑三角函数的周期性(2)求解形如 yasin 2 xbsin xc( 或 yacos 2xbcos x c)，xD 的函数的值域或最值时，通过换元，令 tsin x(或 cos x)，将原函数转化为关于 t 的二次函数，利用配方法求值域或最值即可，求解过程中要注意 tsin x(或 cos x)的有界性跟踪演练 3 求函数 ysin cos 的周期、单调区间及最大、最小值(3 4x) (4x 6)解 ，(3
8、 4x) (6 4x) 2cos cos(4x 6) (6 4x)cos sin .2 (3 4x) (3 4x)从而原式就是 y2sin ，这个函数的最小正周期为 ，即 T .(4x 3) 24 2当 2k4x 2k (kZ)时函数单调递增，所以函数的单调递增区间为2 3 2(kZ) 524 k2，24 k2当 2k4x 2k (kZ)时函数单调递减，所以函数的单调递减区间为2 3 32(kZ)24 k2，724 k2当 x (kZ)时，y max2；24 k2当 x (kZ)时，y min2.524 k2要点四 三角函数的奇偶性例 4 判断下列函数的奇偶性(1)f(x)sin ；( 12x
9、 2)(2)f(x)lg(1 sin x)lg(1sin x)；(3)f(x) .1 sin x cos2 x1 sin x解 (1)显然 xR，f(x)cos x，f (x )cos cos xf(x) ，12 ( 12x) 12f(x)是偶函数(2)由Error!得10.(x2 3) (x2 3)2k 0，0)单调区间的方法：把 x 看成一个整体，由 2k x 2k (k Z)解出 x 的范围，所得区间即为增2 2区间，由 2k x2 k (kZ)解出 x 的范围，所得区间即为减区间若 0，f(x)sin(x)sin x ，f(x )f(x) ，x0 时，f( x)sin x .f(x)s
10、in |x|，x R.5关于 x 的函数 f(x)sin(x )有以下命题：对任意的 ，f(x )都是非奇非偶函数；不存在 ，使 f(x)既是奇函数，又是偶函数；存在 ，使 f(x)是奇函数；对任意的 ，f(x )都不是偶函数其中正确命题的序号是_答案 解析 易知成立，令 ，f (x)cos x 是偶函数，都不成立26若|x| ，则函数 f(x)cos 2xsin x 的最小值是_4答案 1 22解析 由 cos2x1sin 2x，故 f(x)1sin 2xsin x，令 sin xt ，由|x | ，4由图象知 t ， ，22 22故函数化为 yt 2t1(t )2 ，12 54当 t 时，y min .22 12 22 1 227判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)sin(cos x )；(2)f(x) .1 cosx 521 cosx 52解 (1)定义域为 R，f(x)sin(cos( x) sin(cos x )f (x)，f(x)为偶函数(2)cos(x )cos(x ) sin x.52 2f(x) .1 sin x1 sin x1sin x0，sin x 1，
