1、第二章知能基础测试时间 120 分钟，满足 150 分一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设离散型随机变量 的概率分布如下： 0 1 2 3P 15 15 110 p则 p 的值为( )A B. C D.12 16 13 14答案 A解析 p1，15 15 110p ，故选 A122某产品 40 件，其中有次品数 3 件，现从中任取 2 件，则其中至少有一件次品的概率是( )A0.146 2 B0.153 8 C0.996 2 D0.853 8答案 A解析 P1 0.1462. 故选 AC237C2403(201
2、5泉州高二检测)已知某离散型随机变量 X 服从的分布列如图，则随机变量 X的方差 D(X)等于 ( )X 0 1P m 2mA B 19 29C D13 23答案 B解析 由 m 2m1 得，m ，E( X)0 1 ，D( X)(0 )2 (1 )13 13 23 23 23 13 232 ，故选 B.23 294设随机变量 等可能取值 1、2、3、n，如果 P(4)0.3，那么 n 的值为( )A3 B4 C9 D10答案 D解析 P( 4) 0.3，n10.3n5有编号分别为 1、2、3、4、5 的 5 个红球和 5 个黑球，从中取出 4 个，则取出的编号互不相同的概率为( )A B 52
3、1 27C D13 821答案 D解析 从 10 个球中任取 4 个，有 C 210 种取法，取出的编号互不相同的取法有410C 2480 种，所求概率 P .4580210 8216在比赛中，如果运动员 A 胜运动员 B 的概率是 ，那么在五次比赛中运动员 A 恰有23三次获胜的概率是( )A B40243 80243C D110243 20243答案 B解析 PC ( )3(1 )2 .故选 B.3523 23 802437如果随机变量 表示抛掷一个各面分别有 1,2,3,4,5,6 的均匀的正方体向上面的数字，那么随机变量 的均值为( )A2.5 B3 C3.5 D4答案 C解析 p(
4、k) (k1,2，6) 16E() (126)3.5. 故选 C168投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件 A， “骰子向上的点数是 3”为事件 B，则事件 A，B 中至少有一件发生的概率是( )A B 512 12C D712 34答案 C解析 由题意 P(A) ，P(B) ，事件 A、B 中至少有一个发生的概率12 16P1 .12 56 7129设随机变量 的概率分布列为 P(k)p k(1p) 1k (k0,1)，则 E()和 D()的值分别是( )A0 和 1 Bp 和 p2Cp 和 1p Dp 和(1 p)p答案 D解析 这是一个两点分布，分布列为 0 1
5、P 1p pE()p，D() p(1p)故选 D.10甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为 0.4、0.5，则恰有一人击中敌机的概率为( )A0.9 B0.2 C0.7 D0.5答案 D解析 设事件 A、B 分别表示甲、乙飞行员击中敌机，则 P(A)0.4，P( B)0.5，事件恰有一人击中敌机的概率为 P(A B)P( A)(1P(B )(1P(A)P(B) 0.5.故选 D.B A11盒中有 10 只螺丝钉，其中有 3 只是坏的，现从盒中随机地抽取 4 个，那么概率是的事件为( )310A恰有 1 只是坏的B4 只全是好的C恰有 2 只是好的D至多 2 只是坏的答案
6、C解析 k 表示取出的螺丝钉恰有 k 只为好的，则P(k) (k1、2、3、4)，Ck7C4 k3C410P( 1) ，P( 2) ，P(3) ，130 310 12P(4) .故选 C1612一个盒子里装有 6 张卡片，上面分别写着如下 6 个定义域为 R 的函数：f 1(x)x，f 2(x)x 2，f 3(x)x 3，f 4(x)sinx，f 5(x)cosx，f 6(x)2.现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一张记有偶函数的卡片，则停止抽取，否则继续进行，则抽取次数 的数学期望为( )A B 74 7720C D34 73答案 A解析 由于 f2(x)，f 5(x)，f
7、6(x)为偶函数，f 1(x)，f 3(x)，f 4(x)为奇函数，所以随机变量 可取 1,2,3,4.P(1) ，C13C16 12P(2) ，C13C13C16C15 310P(3) ，C13C12C13C16C15C14 320P(4) .C13C12C1C13C16C15C14C13 120所以 的分布列为 1 2 3 4P 12 310 320 120E()1 2 3 4 .12 310 320 120 74二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分将正确答案填在题中横线上)13随机变量 的取值为 0,1,2，若 P(0) ，E( )1，则 D()_.15答案 2
8、5解析 本题考查期望，方差的求法设 1 概率为 P.则 E()0 1P2(1P )1，15 15P .35故 D()(01) 2 (11) (21) 2 .15 35 15 2514甲罐中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 A1，A 2 和 A3 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件则下列结论中正确的是_( 写出所有正确结论的编号) P(B ) ；25P(B |A1) ；511事件 B 与事件 A1 相互独立；A 1，A 2，A 3
9、 是两两互斥的事件；P(B )的值不能确定，因为它与 A1，A 2，A 3 中究竟哪一个发生有关答案 解析 由条件概率知正确显然正确而且 P(B)P(B( A1A 2A 3)P(B A 1)P(B A 2)P(BA 3)P(A 1)P(B|A1)P(A 2)P(B|A2)P( A3)P(B|A3) .510511 210411 310411 922故不正确15一个均匀小正方体的 6 个面中，三个面上标以数字 0，两个面上标以数字 1，一个面上标以数字 2.将这个小正方体抛掷 2 次，则向上的数之积的数学期望是_答案 49解析 设 表示向上的数之积，则 P(1) ， P(2)13 13 19C
10、，P(4) ，P(0) .1213 16 19 16 16 136 34E1 2 4 .19 19 136 4916某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为上海世博会志愿者，若用随机变量 表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望 E()_(结果用最简分数表示)答案 47解析 本题考查概率、互斥事件、数学期望，以及运用知识解决问题的能力由题意， 的可能取值为 0,1,2，则 P(0) ，C25C27 1021P(1) ，P (2) .C15C12C27 1021 C2C27 121 的分布列为 0 1 2P 1021 1021 121 的数学期望 E()0 1 2 .1021 10
11、21 121 1221 47三、解答题(本大题共 6 个小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题满分 12 分)某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为 ，某班 3 名同学商34定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数 X的分布列解析 由题意知，用 X 表示成功的人数，则 X 服从 n 3，p 的二项分布，于是有34P(Xk) C k 3k ， k0,1,2,3.k3(34) (1 34)所以 X 的分布列为X 0 1 2 3P 164 964 2764 276418.(本题满分 12 分)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品
12、成功的概率分别为和 ，现安排甲组研发新产品 A，乙组研发新产品 B，设甲、乙两组的研发相互独立23 35(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品 A 研发成功，预计企业可获利润 120 万元；若新产品 B 研发成功，预计企业可获利润 100 万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望解析 (1)设至少有一组研发成功的事件为事件 A 且事件 B 为事件 A 的对立事件，则事件 B 为一种新产品都没有成功，因为甲，乙成功的概率分别为 ， .23 35则 P(B)(1 )(1 ) ，23 35 13 25 215再根据对立事件概率之间的公式可得P(A)1P(B ) ，1315所以至少一种
13、产品研发成功的概率为 .1315(2)由题可设该企业可获得利润为 ，则 的取值有 0,1200,1000,120100，即0,120,100,220，由独立试验的概率计算公式可得：P(0)(1 )(1 ) ；23 35 215P(120) (1 ) ；23 35 415P(100)(1 ) ；23 35 15P(220) ；23 35 25所以 的分布列如下： 0 120 100 220P() 215 415 15 25则数学期望 E()0 120 100 220 322088140.215 415 15 2519(本题满分 12 分)(2015重庆理，17)端午节吃粽子是我国的传统习俗设一盘
14、中装有 10 个粽子，其中豆沙粽 2 个，肉粽 3 个，白粽 5 个，这三种粽子的外观完全相同从中任意选取 3 个(1)求三种粽子各取到 1 个的概率；(2)设 X 表示取到的豆沙粽个数，求 X 的分布列与数学期望解析 (1)令 A 表示事件“三种粽子各取到 1 个” ，由古典概型的概率计算公式有P(A) .C12C13C15C310 14(2)X 的可能取值为 0,1,2，且P(X0) ，C38C310 715P(X1) ，C12C28C310 715P(X2) C2C18C310 115综上知，X 的分布列为：X 0 1 2P 715 715 115故 E(X)0 1 2 (个)715 7
15、15 115 3520(本题满分 12 分)甲、乙、丙、丁 4 名同学被随机地分到 A、B、C 三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学(1)求甲、乙两人都被分到 A 社区的概率；(2)求甲、乙两人不在同一个社区的概率；(3)设随机变量 为四名同学中到 A 社区的人数，求 的分布列和 E()的值解析 (1)记甲、乙两人同时到 A 社区为事件 M，那么 P(M) ，A2C24A3 118即甲、乙两人同时分到 A 社区的概率是 .118(2)记甲、乙两人在同一社区为事件 E，那么P(E) ，A3C24A3 16所以，甲、乙两人不在同一社区的概率是P( )1P(E ) .E56(3)随机变量
16、 可能取的值为 1,2.事件“i (i1,2) ”是指有 i 个同学到 A 社区，则 p(2) .C24A2C24A3 13所以 p(1) 1p(2) ，23 的分布列是： 1 2p 23 13E()1 2 .23 13 4321(本题满分 12 分)(2015徐州期末)有红、黄、蓝、白 4 种颜色的小球，每种小球数量不限且它们除颜色不同外，其余完全相同，将小球放入编号为 1,2,3,4,5 的盒子中，每个盒子只放一只小球(1)放置小球满足：“对任意的正整数 j(1j5)，至少存在另一个正整数 k(1k5，且 jk) 使得 j 号盒子与 k 号盒子中所放小球的颜色相同”的概率；(2)记 X 为
17、 5 个盒子中颜色相同小球个数的最大值，求 X 的概率分布和数学期望 E(X)解析 (1)4 种颜色的球放置在 5 个不同的盒子中，共有 45 种放法，满足条件的发放分为两类：每个盒子中颜色都相同，共有 4 种，有 2 种颜色组成，共有 2C C 120，24 25所求的概率为 P ；4 12045 31256(2)X 的可能的值为 2,3,4,5.则 P(X2) ，C14A35 C24C12C15C2445 75128P(X3) ，C14C353245 45128P(X4) ，C14C45C1345 15256P(X5) ；445 1256所以 X 的概率分布列为：X 2 3 4 5P 75
18、128 45128 15256 1256E(X)2 3 4 5 .75128 45128 15256 1256 63525622(本题满分 14 分)(2015湖南理，18)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖每次抽奖都是从装有 4 个红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球的乙箱中，各随机摸出 1 个球在摸出的 2 个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有 1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖(1)求顾客抽奖 1 次能获奖的概率；(2)若某顾客有 3 次抽奖机会，记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 X，求 X 的分布列和数学期望解析 (1)记事件
19、A1从甲箱中摸出的 1 个球是红球 ， A2从乙箱中摸出的 1 个球是红球 ，B 1顾客抽奖 1 次获一等奖，B 2顾客抽奖 1 次获二等奖 ，C 顾客抽奖1 次能获奖由题意，A 1 与 A2 相互独立，A 1 与 A2 互斥， B1 与 B2 互斥，且A2 A1B1A 1A2，B 2A 1 A2，C B 1B 2.因 P(A1) ，P(A 2) ，所以 P(B1)A2 A1410 25 510 12P (A1A2)P(A 1)P(A2) ，25 12 15P(B2)P(A 1 A2)P( A1 )P( A2)P(A 1)(1 P(A2)(1P(A 1)P(A2)A2 A1 A2 A1 (1
20、) (1 ) ，故所求概率为 P(C) P(B1B 2)P( B1)P(B 2) .25 12 25 12 12 15 12 710(2)顾客抽奖 3 次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖 1 次获一等奖的概率为 ，所以15XB (3， )15于是 P(X0)C ( )0( )3 ，0315 45 64125P(X1)C1 3( )1( )2 ，15 45 48125P(X2)C ( )2( )1 ，2315 45 12125P(X3)C ( )3( )0 .315 45 1125故 X 的分布列为X 0 1 2 3P 64125 48125 12125 1125X 的数学期望为 E(X)3 .15 35
