1、第一章知能基础测试时间 120 分钟，满分 150 分一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种选出 3 种分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有( )A24 种 B18 种 C12 种 D6 种答案 B解析 因为黄瓜必须种植，在余下的 3 种蔬菜品种中再选出两种，进行排列共有C A 18 种故选 B.23 32已知 C C C (nN *)，则 n 等于( )7n 1 7n 8nA14 B12 C13 D15答案 A解析 因为 C C C ，所以 C
2、C .8n 7n 8n 1 7n 1 8n 178n1，n14，故选 A.3某铁路所有车站共发行 132 种普通客票，则这段铁路共有车站数是( )A8 B12 C16 D24答案 B解析 A n(n1)132.n12.故选 B.2n4(1x) 7 的展开式中 x2 的系数是( )A42 B35 C28 D21答案 D解析 展开式中第 r1 项为 Tr1 C xr，T 3C x2，x 2 的系数为 C 21.r7 27 275一排 9 个座位坐了 3 个三口之家， 若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )A33! B3(3！) 3 C(3！) 4 D9!答案 C解析 本题考查捆绑法排列问题由于
3、一家人坐在一起，可以将一家三口人看作一个整体，一家人坐法有 3！种，三个家庭即(3！) 3 种，三个家庭又可全排列，因此共 (3！) 4种注意排列中在一起可用捆绑法，即相邻问题6某校园有一椭圆型花坛，分成如图四块种花，现有 4 种不同颜色的花可供选择，要求每块地只能种一种颜色，且有公共边界的两块不能种同一种颜色，则不同的种植方法共有( )A48 种 B36 种C30 种 D24 种答案 A解析 由于相邻两块不能种同一种颜色，故至少应当用三种颜色，故分两类第一类，用 4 色有 A 种，第二类，用 3 色有 4A 种，故共有 A 4A 48 种4 3 4 37若多项式 x2x 10a 0a 1(x
4、1)a 9(x1) 9a 10(x1) 10，则 a9( )A9 B10 C9 D10答案 D解析 x 10 的系数为 a10， a101，x9 的系数为 a9C a10，a 9100，a 910.910故应选 D.另解：(x1)1 2(x1)1 10a 0a 1(x1)a 2(x1) 2a 10(x1) 10，显然 a9C (1)10.108(2015黑龙江省龙东南四校高二期末) 从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有( )A48 种 B36 种 C18
5、 种 D12 种答案 B解析 分两种情况：(1)小张小赵去一人：C C A 24；(2)小张小赵都去：12 12 3A A 12，故有 36 种，应选 B.2 239(2015湖北理，3)已知(1x) n的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A2 12 B2 11C2 10 D2 9答案 D解析 由题意可得，二项式的展开式满足 Tr1 C xr，且有 C C ，因此 n10.令rn 3n 7nx1，则(1 x) n2 10，即展开式中所有项的二项式系数和为 210；令 x1，则(1x)n0，即展开式中奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数之差为 0，因
6、此奇数项的二项式系数和为 (2100)2 9.故本题正确答案为 D.1210将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中，若每个信封放 2 张，其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A12 种 B18 种 C36 种 D54 种答案 B解析 由题意不同的放法共有 C C 18 种13 2411(2015四川理，6)用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40 000 大的偶数共有( )A144 个 B120 个 C96 个 D72 个答案 B解析 据题意，万位上只能排 4、5.若万位上排 4，则有 2A 个；若万位上
7、排 5，34则有 3A 个所以共有 2A 3A 524120 个选 B.34 34 3412从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为 60的共有( )A24 对 B30 对C48 对 D60 对答案 C解析 解法 1：先找出正方体一个面上的对角线与其余面对角线成 60角的对数，然后根据正方体六个面的特征计算总对数如图，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，与面对角线 AC 成 60角的面对角线有B1C、BC 1、C 1D、CD 1、A 1D、AD 1、A 1B、AB 1 共 8 条，同理与 BD 成 60角的面对角线也有 8 条，因此一个面上的对角线与其相邻 4 个面的对角
8、线，共组成 16 对，又正方体共有 6个面，所有共有 16696 对因为每对都被计算了两次( 例如计算与 AC 成 60角时，有AD1，计算与 AD1 成 60角时有 AC，故 AD1 与 AC 这一对被计算了 2 次)，因此共有9648 对12解法 2：间接法正方体的面对角线共有 12 条，从中任取 2 条有 C 种取法，其中相21互平行的有 6 对，相互垂直的有 12 对，共有 C 6 1248 对21二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分将正确答案填在题中横线上)13(2015上海理，8)在报名的 3 名男教师和 6 名女教师中，选取 5 人参加义务献血，要求男、
9、女教师都有，则不同的选法有_种(用数值表示)答案 120解析 由题意得，去掉选 5 名教师情况即可：C C 1266120.59 5614(2015新课标，15)( ax)(1 x )4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a_.答案 3解析 由已知得(1 x) 41 4x6x 24x 3x 4，故( ax)(1 x) 4 的展开式中 x 的奇数次幂项分别为 4ax,4ax3，x, 6x3，x 5，其系数之和为 4a4a 16132，解得 a3.15有 4 位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重” 、 “立定跳远” 、 “肺活量” 、“握力” 、 “台阶”五个项目的测试，每位
10、同学上、下午各测试一个项目，且不重复若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人，则不同的安排方式共有_种( 用数字作答) 答案 264解析 由条件上午不测“握力” ，则 4 名同学测四个项目，有 A ；下午不测“台阶”4但不能与上午所测项目重复，如甲 乙 丙 丁上午 台阶 身高 立定 肺活量下午下午甲测“握力”乙、丙、丁所测不与上午重复有 2 种，甲测“身高” 、 “立定” 、 “肺活量”中一种有 339，故 A (29) 264 种416从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字组成一个没有重复数字的三位数，能被 3 整除的数有_个答案 228解析 一
11、个数能被 3 整除的条件是它的各位上的数字之和能被 3 整除根据这点，分为如下几数：(1)三位数各位上的数字是 1,4,7 或 2,5,8 这两种情况，这样的数有 2A 12(个)3(2)三位数的各位上只含 0,3,6,9 中的一个，其他两位上的数则从 (1,4,7)和(2,5,8)中各取1 个，这样的数有 C C C A 216( 个)，但要除去 0 在百位上的数，有 C C A 18(个)，14 13 13 3 13 13 2因而有 21618198(个)(3)三位数的各位上的数字是 0,3,6,9 中的 3 个，但要去掉 0 在百位上的，这样应有33218(个)，综上所述，由 0 到 9
12、 这 10 个数字所构成的无重复数字且能被 3 整除的3 位数有 1219818228( 个) 三、解答题(本大题共 6 个小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题满分 12 分)一个小组有 10 名同学，其中 4 名男生， 6 名女生，现从中选出 3名代表，(1)其中至少有一名男生的选法有几种？(2)至多有 1 名男生的选法有几种？解析 (1)方法一：(直接法)第一类：3 名代表中有 1 名男生，则选法种数为 C C 60(种)；14 26第二类：3 名代表中有 2 名男生，则选法种数为 C C 36(种)；24 16第三类：3 名代表中有 3 名男生，则选法种数
13、为 C 4(种)；34故共有 60364100(种)方法二：(间接法)从 10 名同学中选出 3 名同学的选法种数为 C 种310其中不适合条件的有 C 种36故共有 C C 100(种)310 36(2)第一类：3 名代表中有一名男生，则选法为 C C 60(种)；14 26第二类：3 名代表中无男生，则选法为 C 20(种)；36故共有 602080(种)18(本题满分 12 分)从1、0、1、2、3 这 5 个数中选 3 个不同的数组成二次函数yax 2bxc(a0)的系数(1)开口向上的抛物线有多少条？(2)开口向上且不过原点的抛物线有多少条？解析 (1)要使抛物线的开口向上，必须 a
14、0，C A 36( 条 )13 24(2)开口向上且不过原点的抛物线，必须 a0，c0，C C C 27(条)13 13 1319(本题满分 12 分)求( )9 的展开式中的有理项x 3x解析 T r1 C (x )9r (x )r(1) rC x ，r912 13 r9 27 r6令 Z ，即 4 Z ，且 r0,1,2 ，927 r6 3 r6r3 或 r9.当 r3 时， 4，T 4(1) 3C x484x 4；27 r6 39当 r9 时， 3，T 10( 1) 9C x3x 3.27 r6 9( )9 的展开式中的有理项是：第 4 项，84x 4 和第 10 项，x 3.x 3x2
15、0(本题满分 12 分)有 4 个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内(1)共有多少种放法？(2)恰有一个盒不放球，有多少种放法？(3)恰有一个盒内有 2 个球，有多少种放法？解析 (1)一个球一个球地放到盒子里去，每只球都可有 4 种独立的放法，由分步乘法计数原理，放法共有 44256( 种) (2)为保证“恰有一个盒子不放球” ，先从四个盒子中任意拿出去 1 个，即将 4 个球分成 2,1,1 的三组，有 C 种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个球，两个24盒子，全排列即可由分步乘法计算原理，共有放法：C C C A 144(种) 14 24 13 2(3)“恰有一个盒
16、内放 2 个球” ，即另外三个盒子中恰有一个空盒因此， “恰有一个盒子放 2 球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事故也有 144 种放法21(本题满分 12 分)(2015北京高二质检)已知( 3x 2)n展开式中各项系数和比它的3x2二项式系数和大 992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项解析 令 x1 得展开式各项系数和为 (13) n4 n，又展开式二项式系数和为 C C C 2 n，0n 1n n由题意有 4n2 n992.即(2 n)22 n9920，(2 n32)(2 n31) 0，所以 n5.(1)因为 n5，所以展开式共 6 项，其中二项式系数最
17、大项为第三、四两项，它们是 T3C ( )3(3x2)290x 6.253x2T4C ( )2(3x2)3270x .353x2223(2)设展开式中第 k1 项的系数最大又 Tk1 C ( )5k (3x2)kC 3kx ，k53x2 k510 4k3得Error!Error! k .72 92又因为 kZ，所以 k4，所以展开式中第 5 项系数最大T 5C 34x 405x .45263 26322(本题满分 14 分)已知(1 2 )n展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的x2 倍，且等于它后一项系数的 ，试求该展开式中二项式系数最大的项56解析 T r1 C (2 )r2 rC x ，rn x rnx2它的前一项的系数为 2r1 C ，r 1n它的后一项的系数为 2r1 C ，r 1n根据题意有Error!Error!Error!展开式中二项式系数最大的项为第 4 项和第 5 项T4C (2 )3280x ，T 5C (2 )4560x 2.37 x32 47 x
