1、第二章知能基础测试时间 120 分钟，满分 150 分一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1k 棱柱有 f(k)个对角面，则 k1 棱柱的对角面个数 f(k1)为( )Af(k)k1 Bf (k)k 1Cf(k)k Df(k) k 2答案 A解析 增加的一条侧棱与其不相邻的 k2 条侧棱形成 k2 个对角面，而过与其相邻的两条侧棱的截面原来为侧面，现在也成了一个对角面，故共增加了 k1 个对角面，f(k 1)f(k) k 1.故选 A.2已知 a0，b0 ，a、b 的等差中项为 ，且 a ， b ，则 的最小值为1
2、2 1a 1b( )A3 B4C5 D6答案 C解析 由已知得 ab1， a b 1 3 325.故选 C.1a 1b a ba a bb ba ab3已知 f(x)x 3x (xR)， a、b、c R，且 ab0，bc0，ca0，则 f(a)f(b)f(c)的符号为( )A正 B负C等于 0 D无法确定答案 A解析 f(x )3x 210，f(x)在 R 上是增函数又 ab0，a b.f(a)f(b) 又 f(x)x 3x 是奇函数，f(a)f( b)，即 f(a)f(b)0.同理：f(b) f(c)0，f(c )f(a)0，f(a)f(b) f(c )0，故选 A.4(2014东北三校模拟
3、) 下列代数式 (其中 kN *)能被 9 整除的是( )A667 k B27 k1C2(27 k1 ) D3(2 7 k)答案 D解析 特值法：当 k1 时，显然只有 3(27 k)能被 9 整除，故选 D.证明如下：当 k1 时，已验证结论成立，假设当 kn(nN *)时，命题成立，即 3(27 n)能被 9 整除，那么 3(27 n1 )21(2 7n)36.3(27 n)能被 9 整除，36 能被 9 整除，21(27 n)36 能被 9 整除，这就是说，kn1 时命题也成立故命题对任何 kN *都成立5已知 12333 243 3n3 n1 3 n(nab) c 对一切 nN *都成
4、立，那么 a，b，c 的值为( )Aa ，bc Babc 12 14 14Ca0，bc D不存在这样的 a、b、c14答案 A解析 令 n1，得 13( ab) c ，令 n2，得 1239(2a b)c，令 n3，得 12333 227(3ab) c.即Error!，a ，bc .故选 A.12 146若 m，n 是正整数，则 mnmn 成立的充要条件是( )Am，n 都等于 1 Bm，n 都不等于 2Cm，n 都大于 1 Dm ，n 至少有一个等于 1答案 D解析 m nmn，(m1)(n1)0 且 x1 时，lgx 21lgxB当 x0 时， 2x1xC当 x2 时， x 的最小值为 2
5、1xD当 00)，观察： f1(x)f(x) ，f 2(x)xx 2 xx 2f(f 1(x) ，f 3(x)f(f 2(x) ，f 4(x)f(f 3(x) ，根据以上事实，由x3x 4 x7x 8 x15x 16归纳推理可得：当 nN *且 n2 时，f n(x)f (fn1 (x)_.答案 x2n 1x 2n解析 观察 f1(x)、f 2(x)、f 3(x)、f 4(x)的表达式可见，f n(x)的分子为 x，分母中 x 的系数比常数项小 1，常数项依次为 2,4,8,162n.故 fn(x) .x2n 1x 2n14(2014厦门六中高二期中) 在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角
6、，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有 c2a 2b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 OLMN，如果用S1、S 2、S 3 表示三个侧面面积，S 表示截面面积，那么类比得到的结论是_答案 S 2S S S21 2 23解析 类比如下：正方形正方体；截下直角三角形截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形斜边平方三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和三棱锥三个侧面面积的平方和，结论 S2S S S .21 2 23证明如下：如图，作 OE平面 LMN，垂足为 E，连接 LE 并延长交 MN 于 F，LOOM，LOON
7、 ，LO平面 MON，MN平面 MON，LOMN，OEMN，MN平面 OFL，S OMN MNOF，S MNE MNFE，S 12 12MNL MNLF， OF2FE FL，S ( MNOF)2( MNFE)( MNFL)S MNE S12 2OMN 12 12 12MNL，同理 S S MLE SMNL ，S S NLE SMNL ，S S S2OML 2ONL 2OMN 2OML( SMNE S MLE S NLE )SMNL S ，即 S S S S 2.2ONL 2MNL 21 2 2315对于大于 1 的自然数 m 的 n 次幂可用奇数进行如图所示的“分裂” ，仿此，记 53的“分裂
8、”中的最小数为 a，而 52 的“分裂”中最大的数是 b，则 ab_.答案 30解析 类比规律a21，b9 故 ab30.16(2014洛阳部分重点中学教学检测) 观察下列等式： 1 ， 1 ， 312 12 122 312 12 423 122 1322 312 12 423 122 1 ，由以上等式推测到一个一般的结论：对于 nN *，534 123 1423 _.312 12 423 122 n 2nn 1 12n答案 11n 12n解析 由已知中的等式： 1312 12 122 1 ，312 12 423 122 1322 1 ，312 12 423 122 534 123 1423所
9、以对于 nN *， 1 .312 12 423 122 n 2nn 1 12n 1n 12n三、解答题(本大题共 6 个小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题满分 12 分)(2014济南市高二下学期期末测试)已知 a、b、c 是互不相等的非零实数用反证法证明三个方程 ax22bxc 0，bx 22 cxa0，cx 22ax b0 至少有一个方程有两个相异实根证明 假设三个方程中都没有两个相异实根，则 1 4b24ac0， 24c 24ab0，34a 24bc 0.相加有 a22abb 2b 22bcc 2c 22aca 20，即(ab) 2(bc) 2( ca)
10、 20.由题意 a、b、c 互不相等，式不能成立假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根18(本题满分 12 分)(2013华池一中高二期中)在圆 x2y 2r 2(r0)中，AB 为直径，C为圆上异于 A、B 的任意一点，则有 kACkBC1.你能用类比的方法得出椭圆 1(a b0)中有什么样的结论？并加以证明x2a2 y2b2解析 类比得到的结论是：在椭圆 1(ab0)中，A、B 分别是椭圆长轴的左x2a2 y2b2右端点，点 C(x，y )是椭圆上不同于 A、B 的任意一点，则 kACkBCb2a2证明如下：设 A(x0，y 0)为椭圆上的任意一点，则 A 关于中心的对称点
11、B 的坐标为B( x0，y 0)，点 P(x，y)为椭圆上异于 A，B 两点的任意一点，则 kAPkBP y y0x x0y y0x x0.y2 y20x2 x20由于 A、B 、P 三点在椭圆上，Error!两式相减得， 0，x2 x20a2 y2 y20b2 ，即 kAPkBP .y2 y20x2 x20 b2a2 b2a2故在椭圆 1(ab0)中，长轴两个端点为 A、B 、P 为异于 A、B 的椭圆上的任x2a2 y2b2意一点，则有 kABkBP .b2a219(本题满分 12 分)已知 a、bR，求证： .|a| |b|1 |a| |b| |a b|1 |a b|证明 设 f(x)
12、，x 0，)设 x1、x 2 是0， ) 上的任意两个实数，且x1 x0x 1x10，所以 f(x2)f(x1)所以 f(x) 在0 ，)上是增函数(大前提)x1 x由|a |b| a b|0(小前提)知 f(|a|b|)f(|ab|)即 成立|a| |b|1 |a| |b| |a b|1 |a b|20(本题满分 12 分)设 a，bR ，且 ab，求证：a 3b 3a2bab 2.证明 证法 1：用分析法要证 a3b 3a2bab 2 成立，只需证(ab)(a 2abb 2)ab(ab)成立又因 ab0 ，只需证 a2abb 2ab 成立只需证 a22abb 20 成立即需证(ab) 20
13、 成立而依题设 ab，则(ab) 20 显然成立由此命题得证证法 2：用综合法abab0(ab) 20a 22abb 20a 2abb 2ab.注意到 a，bR ，ab0，由上式即得(ab)(a 2abb 2)ab(ab)a 3b 3a2bab 2.21(本题满分 12 分)(1)已知 x，yR ，求证下列不等式： x2 y2 2；12 12 (12x 12y) x2 y2 2；13 23 (13x 23y) x2 y2 2.14 34 (14x 34y)(2)根据上述不等式，请你推出更一般的结论，并证明你的结论解析 (1)证明： x2 y2 212 12 (12x 12y) x2 y2 x2
14、 xy y212 12 14 12 14 x2 xy y2 2 0，14 12 14 (12x 12y) x2 y2 2.12 12 (12x 12y) x2 y2 2 x2 y2 xy (x22xyy 2) (xy) 20，13 23 (13x 23y) 29 29 49 29 29 x2 y2 2.13 23 (13x 23y) x2 y2 214 34 (14x 34y) x2 y2 (xy )20，14 34 (116x2 38xy 916y2) 316 x2 y2 2.14 34 (14x 34y)(2)一般的结论是：已知 x，yR，a，b 都是正数，且 ab1，则(ax 2by 2
15、)(axby)2.证明：ab1，a1b0，b1a0.(ax 2 by2) (axby) 2(aa 2)x22abxy( bb 2)y2a (1a)x 22a(1 a)xya(1 a)y2a(1 a)(x 2 2xyy 2)a(1a)(xy) 2，又a0,1a0，(x y )20 ，(ax 2 by2) (axby) 20，即 ax2by 2(ax by )2.22(本题满分 14 分)在各项为正的数列a n中，数列的前 n 项和 Sn满足 Sn .12(an 1an)(1)求 a1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想数列a n的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想解析 (1)由 S1a 1 得
16、 a 1，12(a1 1a1) 21a n0，a 11.由 S2a 1a 2 得 a 2a 210.12(a2 1a2) 2a 2 1.2由 S3a 1a 2a 3 得 a 2 a310.a 3 .12(a3 1a3) 23 2 3 2(2)猜想 an (nN *)n n 1证明如下：n1 时，a 1 命题成立1 0假设 nk 时，a k 成立，k k 1则 nk1 时，ak1 S k1 S k ，12(ak 1 1ak 1) 12(ak 1ak)即 ak1 12(ak 1 1ak 1) 12( k k 1 1k k 1) ，12(ak 1 1ak 1) ka 2 ak1 10.a k1 .2k 1 k k 1 k即 nk1 时，命题成立，由知，nN *，a n .n n 1
