1、第页 1辽宁省部分重点高中 2019届高三 9月联考数学（理）试题第卷（共 60分）一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则能使 成立的实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据数轴确定满足 的实数的条件，解得结果.【详解】因为 ，所以 ，选 C.【点睛】研究集合包含关系时，注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和 Venn图2.复数 ，且 ，则 的值是（ ）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】因为 ，所以 ，即 ，由此可得 ，结合可解之得
2、，应选答案 A。3.有下列四个命题：（1） “若 ，则 ， 互为倒数”的逆命题；（2） “面积相等的三角形全等”的否命题；（3） “若 ，则 有实数解”的逆否命题；（4） “若 ，则 ”的逆否命题.其中真命题为（ ）第页 2A. （1） （2） B. （2） （3） C. （4） D. （1） （2） （3）【答案】D【解析】【分析】先根据逆命题、否命题、逆否命题定义得命题，再分别判断真假.【详解】 （1） “若 ，则 ， 互为倒数”的逆命题为“若 ， 互为倒数，则 ”，为真命题；（2） “面积相等的三角形全等”的否命题为“面积不相等的三角形不全等” ，为真命题；（3） “若 ，则 有实数解”
3、的逆否命题为“若 无实数解，则 ”；因为，所以为真命题；（4）因为“若 ，则 ”为假命题，所以其逆否命题为假命题.综上选 D.【点睛】本题考查命题四种形式以及真假判断，注意命题的否定与否命题区别.4.若 ，则 的最大值和最小值分别是（ ）A. ， B. ， C. ， D. ，【答案】D【解析】【分析】先消 ，再根据二倍角公式化为关于 的一元二次函数型，最后根据二次函数性质求最值.【详解】因为 ，所以，因为对称轴 ，所以当 时，取最小值 ；当 时，取最大值 ；选 D.【点睛】研究与二次函数综合的最值问题，注意对称轴与定义区间位置关系.5.已知方程 有两个正根，则实数 的取值范围是（ ）A. B.
4、 C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据实根分布列方程组，解得实数 的取值范围.【详解】因为方程 有两个正根，第页 3所以 ，选 D.【点睛】研究二次方程实根分布，一般需从以下四个方面研究（1）开口方向， （2）判别式， （3）对称轴，（4）区间端点函数值.6.已知 为等比数列，若 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据等比数列通项公式化简条件，解方程组得首项与公比，再求 .【详解】因为 ， ，所以 ，因此 ，选 D.【点睛】本题考查等比数列通项公式，考查基本求解能力.7.已知数列 的前 项和为 ，满足 ，则 的通项公式 （ ）A. B. C. D. 【答
5、案】B【解析】【分析】根据和项与通项关系求通项公式.【详解】当 时， ，当 时， ，因此 ,选 B.【点睛】给出 与 的递推关系求 ，常用思路是：一是利用 转化为 的递推关系，再求其第页 4通项公式；二是转化为 的递推关系，先求出 与 之间的关系，再求 . 应用关系式 时，一定要注意分 两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.8.函数 的图象大致是（ ）A. B. .C. D. 【答案】C【解析】【分析】取特殊点进行取舍，即得结果.【详解】当 时， ,所以舍去 A,D,当 时， ,所以舍去 B,综上选 C.【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象
6、的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；由函数的单调性，判断图象的变化趋势；由函数的奇偶性，判断图象的对称性；由函数的周期性，判断图象的循环往复(2)由实际情景探究函数图象关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题9.已知函数 为定义在 上的偶函数，且在 上单调递减，则满足 的 的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据偶函数定义求得 t，再根据偶函数性质以及单调性化简不等式，最后解一元二次不等式组得结果.第页 5【详解】因为函数 为定义在 上的偶函数，所以因为函数 为定义在 上的偶函数，且在
7、 上单调递减，所以 等价于 ，即 , ，选 C.【点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为 的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组) ，此时要注意 与 的取值应在外层函数的定义域内.10.平行四边形 中， 点 在边 上，则 的最大值为A. 2 B. C. 0 D. 【答案】A【解析】【分析】先根据向量的数量积的运算，求出 A=120，再建立坐标系，得到 =x（x2）+ =x22x+ =（x1）2 ，设f（x）=（x1）2 ，利用函数的单调性求出函数的最值，问题得以解决【详解】平行四边形 ABCD 中，AB=2，AD=1，点 M 在边 CD 上， =1，cosA
8、= 1，cosA= ，A=120，以 A 为原点，以 AB 所在的直线为 x 轴，以 AB 的垂线为 y 轴，建立如图所示的坐标系，A （0，0），B（2，0），D（ ， ），设 M（x， ） ，则 x ， =（x， ）， =（2x， ）， =x（x2）+ =x22x+ =（x1）2 ，设 f（x）=（x1）2 ，则 f（x）在 ，1）上单调递减，在 1， 上单调递增，第页 6f（x） min=f（1）= ，f（x）max=f（ ）=2，则 的最大值是 2，故答案为：A【点睛】 （1）本题主要考查了向量的数量积定义和向量数量积的坐标表示，考查了函数的最值问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和
9、分析推理能力.(2)本题解题的关键是建立坐标系11.已知 ， ， 的图象与 的图象关于点 对称，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据两角和正切公式化简 ，再根据条件的对称性列方程，最后求 的最小值.【详解】因为 ,所以 ,因为 的图象与 的图象关于点 对称，所以 =0，即 ，, ，因为 ，所以当 时， 最小值为 ，选 A.【点睛】本题考查两角和正切公式以及正切函数性质，考查基本分析与求解能力.12.已知偶函数 满足 ，且 ，则 的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】第页 7【分析】先构造函数，再根据函数单调性以及奇偶性化简不等式，最后解
10、含绝对值不等式得结果.【详解】令 ，则 ， 等价于 g当 时， ,而 ,所以 g 等价于 g ， ， 选 A.【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如 构造 ， 构造 ， 构造， 构造 等第卷（共 90分）二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量 ， ，且 ，则 _【答案】【解析】【分析】根据向量平行坐标表示得方程，解得结果.【详解】因为 ，所以【点睛】(1)向量平行： ， ,(2)向量垂直： ，(3)向量加减乘： 14.已知数列 是等差数列， ， ， 成等比数列，则该等比数列的
11、公比为_【答案】 或【解析】【分析】先根据 ， ， 成等比数列解得公差与首项关系，再根据 ， 的比值确定公比.第页 8【详解】因为 ， ， 成等比数列，所以 ，当 时， ，公比为 1，当 时， =4d，公比为 2，因此等比数列的公比为 或 .【点睛】本题考查等差数列与等比数列基本量运算，考查基本求解能力.15.已知 ， ， ， 是 边上的中线，且 ，则 的长为_【答案】【解析】【分析】先根据面积关系求得角 A，再根据向量数量积求 的长.【详解】因为 ,因为 ,【点睛】平面向量数量积的类型及求法(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式 ；二是坐标公式 ；三是利用数量积的几何意义.(2)求较
12、复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.16.已知 是函数 在 上的所有零点之和，则 的值为_【答案】【解析】【分析】先研究函数对称性，再确定零点个数，最后根据对称性求 M.【详解】因为 ，所以函数 关于 对称，第页 9如图可得曲线 与 有四个交点，所以函数 在 上有 8个零点，且两两关于 对称，因此【点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先研究函数的单调性、对称性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路
13、.三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知函数 .（1）求函数 的单调递增区间；（2）在 中，三内角 ， ， 所对的边分别为， ， ，已知函数 的图象经过点 ， ， ，成等差数列，且 ，求的值.【答案】 （1）递增区间为 （ ）. （2） .【解析】【分析】（1）先根据诱导公式、二倍角余弦公式以及配角公式化为基本三角函数形式，再根据正弦函数性质求单调增区间， （2）先求 A，再根据向量数量积化简条件 ，最后利用余弦定理求的值.【详解】 （1） ，由 ，得 ，所以递增区间为 （ ）.（2）由已知得 ，又 是三角形内角， ，即 ，第页 10
14、又 ， ， ， ， .【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理以及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.18.在数列 中， ， .（1）设 ，证明：数列 是等差数列；（2）求数列 的前 项和 .【答案】 （1） ； （2） .【解析】试题分析：（1）要证明数列 是等差数列，应利用等差数列的定义，将已知条件 变形出数列 的相邻两项，两边同除以 即可；（2）由数列 是等差数列，可得数列 的通项公式，再由得数列 的通项公式，用错位相减法求前 项和。 试题解析：（1）证明： ， ， ， ，即 ，故数列 是首项为 1，公差为 1的等差数列
15、。（2）由（1）知， ， 则 ，【点睛】知数列 满足 ，求数列 的通项公式 ，可在 两边同除以 ，第页 11证明数列 为等差数列，进而可得通项公式。19.已知 ， ， 为锐角 的三个内角，向量 ， ，且.（1）求 的大小；（2）求 取最大值时角 的大小.【答案】 （1） ； （2） .【解析】【分析】（1）先根据向量垂直坐标表示列方程，解得 ，即得 的大小；（2）先根据锐角三角形条件确定角取值范围，再根据二倍角公式、两角差余弦公式以及配角公式化为基本三角函数形式，最后根据正弦函数性质求最大值时对应角 的大小.【详解】 （1） ， ，即 ，即 ，即 ， 是锐角三角形， ，即 .（2） 是锐角三角
16、形，且 ， ， ，当 取最大值时， ，即 .【点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征20.已知函数 （ 为常数，且 ）有极大值 9.（1）求 的值；（2）若斜率为 的直线是曲线 的切线，求此直线方程.【答案】 （1） ； （2） 或 .【解析】第页 12【分析】（1）先求导数，确定导函数零点，列表分析极大值取法，再根据绝对值为 9 解出 的值；（2）根据导数几何意义先求切点坐标，再根据点斜式求切线方程.【详解】 （1） ，则 或 ，当 变化时， 与 的变化情况如表：增 极大值
17、减 极小值 增从而可知，当 时，函数 取得极大值 9，即 ， .（2）由（1）知， ，依题意知 ， 或 ，又 ， ，所以切线方程为 ，或 ，即 或 .【点睛】利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.21.如图，在直三棱柱 中，平面 平面 ，且 .第页 13（1）求证： ；（2）若直线 与平面 所成的角为 ，求锐二面角 的大小.【答案】 （1）见解析； （2） .【解析】试题分析：（1）证明线线垂直，一般利用线面垂直性质定理进行论证，而题中已知面面垂
18、直平面侧面 ，因此先根据面面垂直性质定理，将其转化为线面垂直 平面 ，其中 为的中点，因而有 ，再根据直三棱柱性质得 底面 ，因而有 ，结合线面垂直判定定理得 侧面 ，因此得证 （2）求二面角平面角，一般利用空间向量进行计算，先建立恰当空间直角坐标系，设立各点坐标，可得直线 方向向量，列方程组求平面 法向量，由线面角与向量夹角互余关系，结合向量数量积得 ，易得平面 的一个法向量，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系，结合向量数量积得二面角大小试题解析：（1）证明：如图，取 的中点 ，连接 ，因 ，则 ，由平面 侧面，且平面 侧面 ，得 平面 ， 3 分又 平面 ，所以 ，因为三棱柱 是直三棱柱
19、，则 底面 ，所以 5 分又 ，从而 侧面 ，又 侧面 ，故 6 分第页 14（2）解法一：连接 ，由（1）可知 平面 ，则 是 在平面 内的射影 7 分 即为直线 与平面 所成的角，则 ，在等腰直角 中， ，且点 是中点， ，且 ， 9 分过点 作 于点 ，连 ，由（1）知 平面 ，则 ，且 ， 即为二面角 的一个平面角， 10 分在直角 中： ，又 ， ，且二面角 为锐二面角， ，即二面角 的大小为 12 分解法二（向量法）：由（1）知 且 底面 ，所以以点 为原点，以 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系 ， 7 分如图所示，且设 ，则 ，设平面 的一个法向量 ，由得： 令 ，得 ，则
20、， 9 分设直线 与平面 所成的角为，则 ，得 ，解得 ， 即 10 分又设平面 的一个法向量为 ，同理可得 ，设锐二面角 的大小为 ，则第页 15，且 ，得 ，锐二面角 的大小为 12分考点：线面垂直性质与判定定理，利用空间向量求二面角【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关” ，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.22.已知函数 .（1）当 时， ，使 成立，求的取值范围；（2）令 ， ，证明：对 ， ，恒有 .【答案】 （1） ； （2）见解析.【解析】【分
21、析】(1)先将存在性问题转化为求 最小值，再求导数，根据导函数零点以及导函数符号确定函数单调性，进而确定最小值，最后解不等式得的取值范围；（2）先根据恒成立问题将不等式转化为对应函数最值问题，即证 .构造差函数 ，利用导数可得 单调性，根据单调性可得 ，即证得结论.【详解】 （1）当 ，由 ，令 ， ，列表得：减函数 极小值 增函数这时 . ，使 成立， ， ，的范围为 .第页 16（2）因为对 ， ，所以 在 内单调递减，所以 .要证明 ，只需证明 ，即证明 .令 ， ，所以 在 是单调递增函数，所以 ，故命题成立.【点睛】不等式有解与不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即 恒成立， 恒成立 .
