1、2015-2016 学年辽宁省部分示范性重点高中高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1若集合 A=x|x210，B=x 丨 0x4，则 AB 等于（ ）Ax|0xl Bx| lxl Cx| 1x4 Dx|lx4【考点】并集及其运算【专题】集合思想；综合法；集合【分析】根据并集的运算性质计算即可【解答】解：A=x|x 210=x|1x1，B=x 丨 0x4，AB=x|1x 4，故选：C【点评】本题考察了集合的运算，考察不等式问题，是一道基础题2设 i 为虚数单位，复数 z=i（5i ）在平面内对应的点的坐标为（ ）A （1，5） B （l，
2、5） C （ 1，5） D （1，5）【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：z=i（5 i）=1+5i，复数 z=i（5 i）在平面内对应的点的坐标为（1，5） ，故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3抛物线 y=x2 的准线方程为（ ）Ax= Bx= Cy= Dy= 【考点】抛物线的标准方程【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先求出抛物线 y=x2 的标准方程，再求抛物线 y=x2 的准线方程【解答】解：抛物线 y=x2 的标
3、准方程为 x2=y，抛物线 y=x2 的准线方程为 y=故选：C【点评】本题考查抛物线的准线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抛物线的简单性质的灵活运用4如图，在半径为 1 的半圆内，放置一个边长为的正方形 ABCD，向半圆内任取一点，则该点落在正方形内的槪率为（ ）A B C D【考点】几何概型【专题】计算题；转化思想；定义法；概率与统计【分析】根据几何概型的概率公式求出对应的区域面积即可【解答】解：半圆的面积 S= ，正方形的面积 S1= ，则对应的概率 P= = ，故选：B【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，求出对应区域的面积是解决本题的关键5等比数列a n中，a 1+a
4、2=4，a 2+a3=12，则 a3 与 a4 的等差中项为（ ）A6 B12 C9 D18【考点】等比数列的通项公式【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】由已知求出等比数列的公比，进一步求得 a3 与 a4 的值，再由等差中项的概念得答案【解答】解：数列a n为等比数列，且 a1+a2=4，a 2+a3=12，q= ，则由 a1+a2=4，得 a1+3a1=4，即 a1=1， ，a3 与 a4 的等差中项为 故选：D【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础题6如果实数 x，y 满足条件 ，則 z=3x2y 的最小值为（ ）A4 B2 C1 D
5、2【考点】简单线性规划【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，化 z=3x2y 为 ，由图可知，当直线 过 A（0，1）时，直线在 y 轴上的截距最大，z 有最小值为2故选：B【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题7某棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A1 B2 C D3【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；数形结合法；空间位置关系与距离；立体几何【分析】已知中的三视图可得：该几何体是一个以
6、俯视图为底面的四棱锥，代入锥体体积公式，可得答案【解答】解：已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积 S= =3，高 h= ，故体积 V= = ，故选：C【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键8执行如图所示的程序框图，输出 S 的值为（ ）A10 B6 C3 D12【考点】程序框图【专题】对应思想；试验法；算法和程序框图【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序的功能是计算并输出 S=12+2232+42 的值，得出数值即可【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得；该程序的功能是计算并输出 S=12+2232
7、+42 的值，所以 S=12+2232+42=10故选：A【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应根据循环条件判断出循环变量的终值，结合循环体分析出程序的功能，是基础题9设向量 =（2sinx ，1） ， =（3，4） ，x（0，） ，当 | |取最大值时，向量 在方向上的投影为（ ）A B或2 C D或2【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；函数思想；向量法；平面向量及应用【分析】由向量 的坐标求出模，结合三角函数的有界性求出| |取最大值时的 的具体坐标，代入投影公式得答案【解答】解： =（2sinx，1） ， x（0，） ，当 2sinx=2 时，| |取最大值，此时向量 在
8、 方向上的投影为 故选：A【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量在向量方向上的投影，是中档题10设 P 是焦距为 6 的双曲线 C： =1（a 0，b 0）右支上一点，双曲线 C 的一条渐近线与圆（x3） 2+y2=5 相切，若 P 到两焦点距离之和为 8，则 P 到两焦点距离之积为（ ）A6 B6 C10 D12【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；转化思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题意可知 c=3，再根据双曲线 C 的一条渐近线与圆（ x3） 2+y2=5 相切，得到b= ，a=2，再根据|PF 1|PF2|=2a=4，|PF 1|+|PF2|=8，即可求出
9、答案【解答】解：2c=6，c=3，又（c，0）到直线 y=x 的距离为 b，而双曲线 C 的一条渐近线与圆（x3） 2+y2=5 相切，b= ，a=2 ，|PF1|PF2|=2a=4，|PF1|+|PF2|=8|PF1|=6， |PF2|=2，|PF1|PF2|=12，故选：D【点评】本题考查了双曲线的定义和性质以及直线和圆的位置关系，属于基础题11已知函数 f（x）=2sin（x+ ）在区间（0，）上存在唯一一个 x0（0，） ，使得f（x 0）=1 ，则（ ）A 的最小值为 B 的最小值为C 的最大值为 D 的最大值为【考点】正弦函数的图象【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质【分
10、析】由题意可得 x0+ （ ，+ ） ，且 + 2+ ，求得 的范围，从而得出结论【解答】解：x 0（0，） ， x0+ （ ，+ ） 由存在唯一一个 x0（0，） ，使得 f（x 0）=1，可得 sin（ x0+ ）= ， + 2+ ，求得 0 ， 的最大值为 ，故选：C【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，判断 + 2+ ，是解题的关键，属于基础题12设函数 f（x）=log （x 2+1）+ ，则不等式 f（log 2x）+f（log x）2 的解集为（ ）A （0，2 B，2 C2，+） D （0，2 ，+）【考点】对数函数的图象与性质；对数的运算性质【专题】数形结合；换元法；函数的
11、性质及应用【分析】f （x）= （x 2+1）+ =f（x） ，f（x）为 R 上的偶函数，且在区间0，+ ）上单调递减，再通过换元法解题【解答】解：f（x）= （x 2+1）+ =f（x） ，f（ x）为 R 上的偶函数，且在区间0 ，+）上单调递减，令 t=log2x，所以， =t，则不等式 f（log 2x）+f（ ）2 可化为：f（t）+f（t）2，即 2f（t）2，所以， f（t）1，又 f（1）= 2+ =1，且 f（x）在0 ，+）上单调递减，在 R 上为偶函数，1t1，即 log2x1，1，解得，x，2 ，故选：B【点评】本题主要考查了对数型复合函数的性质，涉及奇偶性和单调性的
12、判断及应用，属于中档题二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13已知函数 f（x）= ，则 f（f（4） ）= 7 【考点】函数的值【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】利用分段函数性质求解【解答】解：函数 f（x）= ，f（ 4）=log 24=2，f（ f（4） ）=f（2）=2 9=7故答案为：7【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用14设函数 f（x）=4x 2lnx，且 f（m）=0，则 m= 【考点】导数的运算【专题】方程思想；定义法；导数的概念及应用【分析】求函数的导数，解导数方程即可【解答】解：函数的导数为 f（
13、x）=8x，则由 f（m）=0 得 8m=0，得 8m2=1，得 m= ，函数的定义域为（0，+ ） ，m0，则 m= ，故答案为： 【点评】本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握掌握常见函数的导数公式，比较基础15长、宽、高分別为 2，1，2 的长方体的每个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 9 【考点】球内接多面体；球的体积和表面积【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何【分析】先求长方体的对角线的长度，就是球的直径，然后求出它的表面积【解答】解：长方体的体对角线的长是： =3球的半径是：这个球的表面积：4 =9故答案为：9【点评】本题考查球的内接体，球的表面积，考查空间想象能力，是基
14、础题16已知 S 为数列a n的前 n 项和，若 an（4+cosn）=n（2cosn） ，則 S20= 122 【考点】数列的求和【专题】计算题；分类讨论；综合法；等差数列与等比数列【分析】分 n 为奇数、偶数求出各自的通项公式，进而利用等差数列的求和公式计算即得结论【解答】解：当 n=2k+1 时，cosn=1，3an=3n，即 an=n；当 n=2k+2 时，cosn =1，5an=n，即 an=n；S2n=（1+3+5+2n1）+（2+4+6+ +2n）= += ，S20= =122，故答案为：122【点评】本题考查数列的求和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题三、解答
15、题（本题共 5 小题，共 70 分）17在ABC 中，角 A，B，C 的对边分別 a，b，c，且 3csinA=bsinC （1）求的值；（2）若ABC 的面积为 3 ，且 C=60，求 c 的值【考点】余弦定理；正弦定理【专题】方程思想；综合法；解三角形【分析】 （1）由题意正弦定理可得 3sinCsinA=sinBsinC，约掉 sinC 可得 3sinA=sinB，可得= =3；（2）由三角形的面积公式和（1）可得 a=2 且 b=6，再由余弦定理可得 c 值【解答】解：（1）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分別 a，b，c，且 3csinA=bsinC，由正弦定理可得 3sinCs
16、inA=sinBsinC，3sinA=sinB， = =3；（2）由题意可得ABC 的面积为 S=absinC=a2 =3 ，解得 a=2，故 b=3a=6，由余弦定理可得 c2=a2+（3a ） 22a3a=7a2=28，c=2【点评】本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式，属基础题18某车间将 10 名技工平均分为甲、乙两组来加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零件若干个，其中合格零件的个数如表：1 号 2 号 3 号 4 号 5 号甲组 4 5 7 9 10乙组 5 6 7 8 9（1）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内完成合格零件的平均数及方差，并由此分析两组 技工的技术水
17、平；（2）评审组从该车间甲、乙两组中各随机抽取 1 名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过 14 件，则称该车间“生产率高效 ”，求该车间“生产率高效” 的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】 （）先分别求出 ， 和 S 甲 2，S 乙 2，由此能够比较两组员工的业务水平（）记“优秀团队” 为事件 A，从甲乙两组中各抽取一名员工完成销售数的基本事件共 25种，事件 A 包含的基本事件共 11 种，由此能求出“ 优秀团队”的概率【解答】解：（）依题意， =（4+5+7+9+10）=7 ，=（5+6+7+8+9）=，S = （47） 2+（9 7） 2+
18、（10 7） 2=5.2，S = （57） 2+（8 7） 2+（9 7） 2=2 = ，S 甲 2S 乙 2，两组员工的总体水平相同，甲组员工的业务水平差异比乙组大（）记“优秀团队” 为事件 A，则从甲乙两组中各抽取一名员工完成销售数的基本事件为：（4，5） ， （4，6） ， （4，7） ， （4，8） ， （4，9） ，（5，5） ， （5，6） ， （5，7） ， （5，8） ， （5，9） ，（7，5） ， （7，6） ， （7，7） ， （7，8） ， （7，9） ，（9，5） ， （9，6） ， （9，7） ， （9，8） ， （9，9） ，（10，5） ， （10，6） ， （
19、10，7） ， （10，8） ， （10，9） ，共 25 种，事件 A 包含的基本事件为：（ 7，8） ， （7，9） ， （9，6） ， （9，7） ， （9，8） ， （9，9） ，（10，5） ， （10，6） ， （10，7） ， （10，8） ， （10，9） ，共 11 种，P（ A）= 【点评】本题考查平均数、方差的求法，考查古典概率的求法解题时要认真审题，仔细解答，注意列举法的合理运用19在四梭推 PABCD 中，CD平面 PAD，AB CD，CD=4AB ，AC PA，M 为线段 CP上一点（1）求证：平面 ACD平面 PAM；（2）若 PM=PC，求证：MB平面 PAD【
20、考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离【分析】 （1）由 CD平面 PAD 得 PACD，结合 PAAC，得 PA平面 ACD，故平面ACD平面 PAM；（2）在 PD 上取点 E，使得 PE=PD，连结 ME，AE，可得 MECD，ME=CD，因为ABCD，AB=CD，所以 AB 与 ME 平行且相等，推出四边形 ABME 是平行四边形，故MBAE，所以 MB平面 PAD【解答】证明：（1）CD 平面 PAD，PA平面 PAD，CDPA，又 ACPA，CDAC=C，PA平面 ACD， PA平面 PAM，平面 ACD平面 PAM（2）在 PD 上取点 E，使得 PE=PD，连结 ME，AE
