1、南阳一中 2018 届高三第十五次考试理数试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 4,21A， AxyB,log2，则 B（ ）A ,0 B C 410 D 4,102.设复数 z满足 ii63，则 z=（ ）A 102 B 10 C 310 D 31043. 甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为（ ）A 10 B 32 C 31 D 41 4.已知直线 04:yxl，圆 80)5()(:22yx，那么圆 C上到 l的距离为 5的点
2、一共有（ ）个.A1 B2 C.3 D45.设 nS是公差不为 0 的等差数列 na的前 项和， 23aS，且 421,S成等比数列，则 10a（ ）A15 B19 C.21 D306.设 nm,是两条不同的直线， ,是两个不同的平面，则下列命题正确的个数（ ）若 ,则 ； 若 ,m ， n，则 nm；若 , n，则 ； 若 n，则 .A1 B2 C.3 D47.已知函数 cbxf)(的图像与 x轴交点的横坐标分别为 21,x，且 210 x，则cb的取值范围是（ ）A （-2，-1） B （-4，-2） C.（-4，-1） D （-2,1）8.我们可以用随机模拟的方法估计 的值，如图程序框图
3、表示其基本步骤（函数 RAND 是产生随机数的函数，它能随机产生（0,1）内的任何一个实数）.若输出的结果为 521，则由此可估计 的近似值为（ ）A3.119 B3.126 C.3.132 D3.1519.在正方体 1DCA中， GFE,分别为棱 1,BAC的中点，用过点 GFE,的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为（ ）A B C. D10.设 21,F分别为双曲线 0,1:2 bayxC的左、右焦点，过 1F作一条渐近线的垂线，垂足为M，延长 1与双曲线的右支相交于点 N，若 M13，此双曲线的离心率为（ ）A 35 B 34 C. 213 D 6211.已知 *2
4、,tctba，若 cbalg,l的整数部分分别为 12,m，则 t的最大值为（ ）A4 B22 C.21 D1612.已知函数 )0(,sin(2)xf ，若 0)4(f，则 )3,(上具有单调性，那么 的取值共有（ ）A6 个 B7 个 C.8 个 D9 个第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.向量 ba,满足 23,1ba， a与 b的夹角为 60，则 b 14.若 xn21的展开式中 3x的系数为 80，其中 n为正整数，则 xn21的展开式中各项系数之和为 15.已知数列 na的前 项和为 *2,NpSn， naabn321，若数列 n
5、b是公差为 2 的等差数列，则数列 a的通项公式为 16.某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲产品 1kg 要用煤 9 吨，电力 4 hkW ，工时 3 个；制造乙产品 1kg要用煤 4 吨，电力 5 hkW，工时 10 个又知制成甲产品 1 g可获得 7 万元，制成乙产品 1可获利 12 万元现在此工厂有煤 360 吨，电力 200kWh，工时 300 个，在这种条件下获得最大经济效益为 万元三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.如图，在 ABC中，点 D在 边上， 60AC ， 2D.（1）若 3BA，求 AC的面积.（2）若 2
6、D， 142sin，求 BD的长.18.如图，已知 90,E ，平面 BCDE平面 A， 2BEC，FC,4为 A中点.（1）证明： EF平面 ACD；（2）求直线 与平面 B所成角的余弦值. 19. 某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过 1kg的包裹收费 10 元；重量超过 1kg的包裹，除 1kg收费 10 元之外，超过 1kg的部分，每超出 1 （不足 1 ，按 1kg计算）需再收元.该公司将最近承揽的 100 件包裹的重量统计如下：包裹重量（单位：kg）包裹件数 43 30 15公司对近 60 天，每天揽件数量统计如下表：包裹件数范围 0100 101200 201300 301
7、400 401500包裹件数（近似处理）50 150 250 350 450天数 30 12以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.（1）计算该公司未来天内恰有天揽件数在 101400 之间的概率；（2） （i）估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；（ii）公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员人，每人每天揽件不超过 150 件，工资 100 元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，判断裁员是否对提高公司利润更有利？20.在平面直角坐标系 xOy中，与点 )3,2(M关于直线 02yx对称的点
8、N位于抛物线)0(2:pyxC上.（1）求抛物线 的方程；（2）过点 N作两条倾斜角互补的直线交抛物线 C于 BA,两点（非 N点） ，若 AB过焦点 F，求 BA的值.21.已知函数 xaf)ln().（1）若 a.证明 f在 ,0上单调递减；（2）若 0x，证明： )1ln()1ln(2xex （其中 7182.e是自然对数的底数） 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy中，曲线 1C的参数方程为 sinco2yx（其中 为参数） ，以原点 O为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2的极坐标
9、方程为 1)sin(ta（ 为常数， 0，且2） ，点 BA,（ 在 x轴下方）是曲线 1与 2C的两个不同交点.（1）求曲线 1C的普通方程和 2的直角坐标方程；（2）求 的最大值及此时点 的坐标.23.选修 4-5：不等式选讲设不等式 021 x的解集为 Mba,.（1）证明： 463ba；（2）比较 与 2的大小，并说明理由.南阳一中 2018 届高三第十五次考试理数参考答案一、选择题1-5:CADB 6-10: DBCA 11、12： CD二、填空题13. 21 14.-1 15. 273na 16.428三、解答题17.（1）若 60,3ADCB，则 30DBA， 120在 ABD中
10、，由余弦定理可得 12cos22，即 71892A， 3B， BC的面积 4315231sin21ADS.（2 ） 60,2,ADCA， CD是等边三角形， ,，在 B中，由正弦定理得 Bsini，即 CBDAsini 231475214，解得 4D.18.（1）证明：设 AC中点为 G，连 BF, F为 D中点， C21,又由题意 DBE, ， , 且 FGE四边形 为平行四边形， BF 90C， C，又平面 平面 ABC，平面 DE平面 BCA，DC平面 BE， DC平面 AB.又 G平面 A， G， EF，又 BCA G EFAC ,平面 ， 平面 D， 平面 D.（2）以点 B为 原点
11、，以 方向为 x轴，以 B方向为 y轴，以 E方向为 z轴，建立如图所示坐标系)0,(， )2,(E， )0,(A， ),2(C， )4,0(，设平面 AB的法向量 ),(zyxn，则BDnA 4zyx取 1， 1,n)2,0(CE 03524,cosCE设直线 与平面 AB所成角为 ，则 1sin， 10cos即直线 CE与平面 ABD所成角的余弦值 10.19.解：（1）样本包裹件数在 101400 之间的天数为 48，平率 54608f，故可估计概率为 54，显然未来 3 天中，包裹件数在 101400 之间的天数 X服从二项分布，即 ),3(BX，故所求概率为1254823C.（2）
12、（i）样本中快递费用及包裹件数如下表：包裹重量（单位：kg）快递费（单位：元） 10 15 20 25 30包裹件数 43 30 15故样本中每件快递收取的费用的平均值为 151043082535410（元） ，故该公司对每件快递收取的费用的平均为可估计为 15 元.（ii）根据题意及（2） （i） ，揽件数每增加 1，可使前台工资和利润增加 531（元 ） ，将题目中的天数转化为频率，得包裹件数（近似处理）50 150 250 350 450实际揽件数 Y50 150 250 350 450频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1E 2601.452.035.201.5.0 故公司平均每
13、日利润的期望值 326（元） ；若裁员 1 人，则每天可揽件的上限为 300 件，公司每日揽件数情况如下：包裹件数（近似处理）50 150 250 350 450实际揽件数 Y50 150 250 300 300频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1E 2351.02.305.21.05.0 故公司平均每日利润的期望值 9723（元） ；因 9751000，故公司将前台工作人员裁员 1 人对提高公司利润不利.20.解析：（1）设 ),(nmN，则 0232n解之得 )1,2(N，代入 )0(2pyx得 ，所以抛物线 C的方程为 yx4.（2）显然直线 NA的斜率是存在的，设直线 NA的方
14、程 )2(1k，设直线 B的方程 )2(1xky，设 ),(),(21x，联立方程 )2(14xky消元，得 0482kx，所以 k421， 1k， 1，故 )(,(A，同理， kB，所以 124)(1)(4kA若 1BFA，因为 AFB45cos， 232，若 ，同理可求 32，21.证明：（1）当 1a，函数 )(xf的定义域是 )0,(a),.对 (xf求导得2)ln()(xf，令 )ln()(xg，只需证： 0 时， 0)(g，当 x时0)(1)(22axag，故 g是 ,0上的减函数，所以0ln(0)x，所以 f，函数 )(xf是 ),上的减函数.（2） 时，原不等式可化为 1)ln
15、(xe ，因为 1)ln(lxxxee，故原不等式等价于 x)1ln()1l(xe，由（1）知当 a时， f)1l(是 ),0(上的减函数，故要求证原不等式成立，只需证明： 0 时 1xe ，令 )(xehx，则 01xeh，故 )(xh是),0(上的减函数，所以 )(h ，即 )0 ，故原不等式成立.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.解（1）曲线 1C的参数方程为 sinco2yx（其中 为参数） ，普通方程为 142yx；曲线 2C的极坐标方程为 1)icos(tan，直角坐标方程为 01tanyx.（2） 的参数方程为 sintyx（ t为参数） ，代入 42，得0i2)sinco41(2t， ,i212412tt， sini38sinco2241 AB. 0，且 ， )1,0(， 34maxAB，此时 B的坐标为 )31,24(23.（1）证明 记 )(f1x=,1,x由 02 x，解得 2 ，则 )2(M. ,Mba 1， b. 41263613a.（2）解 由（1）得 4122， b，因为 0)14()2()8(4 2222 babaaab ，所以 ，故 1 .、
