1、2018届山东省日照市高三 4月校际联合期中考试数学（理）试题（word 版）第卷（共 60分）一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集 U为实数集，集合 2|30Ax， |ln1Bxyx，则 UAB为（ ）A |13x B | C | D |12.九章算术第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其意为：“今有甲带了 560钱，乙带了 350钱，丙带了 180钱，三人一起出关，共需要交关税 10钱，依照钱的多少按比
2、例出钱” ，则乙应出（所得结果四舍五入，保留整数） （ ）A 17 B 2 C.30 D 323. 已知 1sin64x，则 5sincos6xx的值为（ ）A 0 B C. 2 D 12 4.若抛物线 20ypx上一点 0,Py到其准线的距离为 4，则抛物线的标准方程为（ ）A 4 B 26yx C. 28x D 210yx5. 已知向量 ,am， 3,b， R，则“ ab”是“ m”的（ ）A充要条件 B必要不充分条件 C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件 6.已知函数 sinfx，若 af， 2bf， 2log6cf，则 a， b， c的大小关系是（ ）A abc B cb C. a
3、 D 7. 如图为某几何体的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为 1） ，则该几何体的体积等于（ ）A 12 B 5123 C. 4 D 5438. 在 C中，点 D是线段 C上任意一点， M是线段 A的中点，若存在实数 和 ，使得BM，则 （ ）A 2 B 2 C. 1 D 129. 条形码是由一组规则排列的条、空及其对应的代码组成，用来表示一定的信息，我们通常见的条形码是“ 13EN”通用代码，它是由从左到右排列的 3个数字（用 1213,a 表示）组成，这些数字分别表示前缀部分、制造厂代码、商品代码和校检码，其中 1是校验码，用来校验前 个数字代码的正确性.图（1）是计算第 位校验码
4、的程序框图，框图中符号 m表示不超过 的最大整数（例如3657）.现有一条形码如图（2）所示（ 3970497a） ，其中第 3个数被污损，那么这个被污损数字 3a是（ ）A 6 B 7 C.8 D 910.设函数 sin0fx，已知集合 00,|Axffx为 的 极 值 点 ，2,|16y，若存在实数 ，使得集合 B中恰好有 5个元素，则 的取值范围是（ ）A 235,6B 23,4C. ,4D 1,11.已知直线 :30lxym与双曲线 2:0,xyCab右支交于 M， N两点，点 在第一象限，若点 Q满足 OM（其中 O为坐标原点） ，且 3NQ，则双曲线 C的渐近线方程为（ ）A 12
5、yx B yx C. 2yx D 2yx12.已知 |0Pf， |0Qg，若存在 R， Q，使得 n，则称函数fx与 g互为“ n度零点函数”.若 21xf，与 2xgae（ 为自然对数的底数）互为“ 1度零点函数” ，则实数 a的取值范围为（ ）A 24,e B 214,e C. 24,e D 324,e第卷（共 90分）二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上）13.已知随机变量 服从正态分布 2,N，若 260.15P，则 24P 14.423abc的展开式中 2abc和系数为 15. 在170xy，的可行域内任取一点 ,mn，则满足 230n的概率是 16.在平面四边形
6、 ABCD中， 1， 5AC， BDC， B，则 AD的最小值为 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知 na是等比数列， nb满足 12， 5b，且 12234nnaba .（）求 的通项公式和前 项和 nS；（）求 nb的通项公式.18. 如图，在菱形 ABCD中， 3，其对角线 AC与 BD相交于点 O，四边形 AEF为矩形，平面 OEF平面 ， E.（）求证：平面 DEF平面 B；（）若点 H在线段 上，且 3HF，求直线 C与平面 DEF所成角的正弦值.19. 十九大报告中指出：坚持人与自然和谐共生.建设生态文明是中华民族
7、永续发展的千年大计.必须树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，坚持节约资源和保护环境的基本国策.下表 1是环境空气质量指标（ AQI）技术规定（试行） ：表 1：空气质量指标 I分组表I指数 05:10:150:120:130:0级别 状况 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染（注：表中“ mn:”指包含端点 m和 n）表 2是从 2018年 3月份 1号至 30号随机抽取了 20天的海曲市的 AQI指数 x和海曲市甲景区的 AQI指数y对应情况及其海曲市的 AQI指数 x另外 1天的情况.表 ：海曲市与甲景区 指数日期编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
8、 14 15海曲市 AI指数 x107 72 103 55 42 52 47 72 45 140 169 107 106 117 98甲景区 QI指数 y85 69 99 45 38 50 44 71 51 118 129 94 96 96 81日期编号 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30海曲市 AQI指数 x51 45 31 80 61 52 82 135 186 106 96 133 103 99 48甲景区 I指数 y46 45 32 65 46（）若海曲市 AQI指数 x与甲景区 AQI指数 y线性相关，根据前 20组数据，经计算得
9、2016ix，2014iy，20154i，201350i，求出 关于 x的回归直线方程；（）小李在海曲市甲景区开了一家便利店，经小李统计：当景区空气质量为优时，该店平均每天盈利约60元；当景区空气质量为良时，该店平均每天盈利约 30元；当景区空气质量为轻度污染及以上时，该店平均每天亏损约 180元（将频率看作概率）.根据 2018年 3月份 1号至 30号随机抽取了 2天的甲景区的 AQI指数和海曲市的 AQI指数另外 10天的情况，估计小李的便利店在当年 3月份的这 0天里每天盈利的数学期望；求小李在连续三天里便利店的总盈利不低于 15元的概率.附：线性回归方程系数公式 12()niixyb
10、， xbya.20. 在平面直角坐标系 xOy中，定点 1,0A和支点 1B，以线段 1A为直径的圆内切于圆 24xy.（）求动点 1B轨迹曲线 C的方程；（）若直线 :24lxy与曲线 的一个公共点为 T，与 O（ 为坐标原点）平行的直线 l与曲线 C将于不同的两点 A， ，直线 l与直线 l交于点 P，试判断是否存在常数 使 2PABT恒成立，若存在求出常数 的值，若不存在请说明理由.21. 已知 a， b实数，函数 12bfxa，函数 ln1gx.（）令 Fxfg，当 0时，试讨论函数 F在其定义域内的单调性；（）当 2时，令 Gxfx，是否存在实数 b，使得对于函数 yGx定义域中的任
11、意实数 1x，均存在实数 1,，有 12成立？若存在，求出实数 b的取值集合；若不存在，请说明理由.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy中，以 为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C的参数方程为1cosinxy（ 为参数） ，过点 的直线 l交曲线 C于 M， N两点，且直线 l的倾斜角为 3.（）求直线 l和曲线 C的极坐标方程；（）求 1OMN的值.23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 23fxax， 12gx.（）解不等式： g；（）若对任意的 1xR，都有 2x，使得 12fx
12、g成立，求实数 a的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: ADCCB 6-10: DADBA 11、12：BB二、填空题13. 0.35 14. 216 15. 2916. 5三、解答题17. 答案：（）14na,413nS；（）2,167.nb.解析:（） 12.2()nnbb1 2, 418,0.a ab ,2,5b, 124a, n是等比数列， 1， na的通项公式为14na，na的前 项和413nS. （）由1n及 22(3)4nnabab得 124.()4bnn时，21121.(5)n 得，当 时，1 114(3)4(2)4(67)4nnnnb ，2， 67n . 又当 1时, 2，
13、nb的通项公式为,1672.nb.18. 答案：(I) 见详解； (II)5cos,CHn(I)证明： ABD为菱形， AOBD.四边形 OAEF为矩形， AOF, EA ，BD, 又 , BD平 面 .又 EF平 面 , 平面 EF平面 .(II)平面 OA平面 C，平面 平面 BD= A，又 F， 平 面 ,OA, .以 为原点， , B, F所在直线分别为 x轴， y轴， z轴，建立空间直角坐标系.不妨设 2ABE,则 (0,)O, (10)B， (3,0)C, (1,)D, (30,2)E, (,)F.(3,1)D, F, ,2,H,4(3,10)(,)(3,).C14(3,).设平面
14、 DEF的法向量为 n= (,)xyz，由n0,即320，令 1z得 = (1)，由253cos, 1CHn.得直线 与平面 DEF所成角的正弦值即为5cos,CHn. 19. 答案（） 0.751yx；（） 320EX；14P解析：（）682，47y，所以 2135070 .54b， 0.5810a， 所以 y关于 x的回归方程是 .1yx.（）由 0.7510,得653.,由 0.7510,yx得 12,x根据另 10 天海曲市的 AQI指数估计甲景区的 AQI指数，即海曲市的 AQI指数当在 053.:时，甲景区空气质量为优，在 42:时，空气质量为良， 12以上，空气质量为轻度污染以及
15、以上。由表 2知甲景区的 I不高于 50的频数为 80，频率为13，AQI指数在 51:的频数为 1，频率为52，指数大于 0的频数为 235，频率为1306.设“便利店每天盈利约 600元”为事件 A， “便利店每天盈利约 300元”为事件 B， “便利店每天亏损约180元”为事件 C，则1()3PA，()2B，1()6P， 设便利店每天盈利为 X元，则 的分布列为X元 600 300 -180P13216则 X的数学期望为1180360322EX（元）.由 “连续三天便利店盈利不低于 1500元包含 ,BA三种情况” ，则“连续三天便利店盈利不低于 1500元”的概率：3211()()54
16、PC.答：便利店在这 30天里每天盈利的数学期望是 320元，连续三天便利店盈利不低于 1500元的概率是154.20. 答案：（）2143+=xy；（）35解析：（）如图，设以线段 1AB为直径的圆的圆心为 E，取 (1,0)F，依题意，圆 E内切于圆 O，设切点为 D，则 O， ， 三点共线.因为 为 1F的中点， 为 1AB中点，所以 12E.所以 BA= 2E= 2= 4AF，依椭圆的定义可知，动点 1的轨迹为椭圆，其中： 4,ac所以 ,ac所以 23b， 所以动点 1B的轨迹曲线 C方程为214+=xy. （）设直线 l的方程为32yxt，由324xty，得 P点的坐标为(1,)4
17、t，又由2211043xyx，得 T点坐标3(1,)2，所以25|16PTt=， 设 1(,)Axy， 2(,)B，联立23+14yxt，消去 y得2+103tx，则有213t，2(1)03t，所以 21t，1+2yxt， 2yxt，2113()()4tPAxy13tx，同理 PB23t，所以 B2tx1t22121()()4ttx=2 233()()=448tttt，所以2|35APT为定值.21. 答案（）见详解；（） 1解析：（） ()=ln2bFxfgxxa1. 0a,此时函数的定义域为 0,， 221F故函数 Fx在 1,内单调递增, 在 1x内单调递减. 2. 0a,222 21(
18、)(1)()xaxaxFa，此时函数 Fx的定义域为 0,)(xa，令22()(1).14aa，此时 0恒成立. 令 ()0x得，1 24()0,xax函数 F在 120,(,)x内单调递增，在 12(,),xax内单调递减.综上 1. 当 a时，函数 F在 120,x内单调递增，在 12(,),ax内单调递减.2.当 0时，函数 在 内单调递增, 在 0,x内单调递减. （）当 2时，假设存在实数 b满足条件，则1()ln1bGxx（ ）在 (,2),)x上恒成立1. 当 (,2)时，()ln1b可化为 ln1240bxx，令 ()(,(12),Hx问题转化为： (0x对任意 )恒成立(*)
19、；又 (2), )ln12,()0.bbHx 22.1()()Hxx（1） b 时，因为 0b，故()0x，所以函数()yHx在 (1,2)时单调递减，()20Hx， 即H，从而函数 在 时单调递增，故 ()2x，所以(*)成立，满足题意； （2） 当 1b， 22()()1bxx，因为 1b，所以2，记2(,)1,Ib，则当 xI时，20b，故()0Hx，所以函数yHx在 I时单调递增，()H，从而函数 ()y在 I时单调递减， 所以 ()20x，此时(*)不成立；所以当 (1,2)x，1()ln12bGx恒成立时， 1b；2. 当 (,)时，()l(x可化为 2ln1240bxx 令 ()
20、(,(2,)Hx，问题转化为： (0,x对任意的 恒成立(*)；又 (2), )ln1)2,()0.bbHx 22.1()()Hxx（1） b时， b0，故()0x，所以函数()yHx在 (2,)时单调递增，()20x，即()Hx，从而函数 ()y在 2,时单调递增，所以 ()20x，此时(*)成立；（2） 当 1b时，若 0，必有()0Hx，故函数()yHx在 (,)上单调递减，所以()2，即()，从而函数 yx在 ,时单调递减，所以 ()20x，此时(*)不成立； 若 01b，则2，所以2(,)xb时， 2().1)bHx故函数()yHx在(,)上单调递减，()0，即()0Hx，所以函数
21、()yHx在2(,)b时单调递减，所以 ()20Hx，此时(*)不成立；所以当 (2,)，1()ln(1Gx恒成立时 ， 1b.综上所述，当 (,),)x，()l(2xx恒成立时， ，从而实数 b的取值集合为 1.22. 答案（） 1l： = 3( R)； C：2cos2in10（） 解析：（）依题意，直线 1l的极坐标方程为 = 3( R).由1cosinxy消去 ,得22()()1xy.将 ， iy代入上式，得：2cos210.故曲线 C的极坐标方程为 cos2in10.（）依题意可设 1(,)3M, 2(,)N, 且 1， 2均为正数.将 = 3代入2cosin0，得2(3)10，所以 12， 12，所以 OMN= 12= 12= 3.23. 答案（） |0x（） a或 5解析：（）由 3,得 x51x解得 02故不等式的解集为： |x （）因为任意 1xR，都有 2x，使得 12()fxg成立，所以 |()|()yfyg又 ()23| 3)|fxaxaxa，|1|g，所以 |2，解得 或 5，所以实数 a的取值范围为 1a或 5
