1、直线与圆的实际应用问题分类解析直线与圆是解析几何中两种最常见的图形，在生活中的应用十分广泛.解答有关应用题时，通常根据题目的实际情况建立坐标系，通过建立直线方程及圆的方程，再利用直线与圆的基本知识及直线与圆的位置关系求解.下面就直线与圆的方程知识在社会生活及生产中的实际应用举例分析.一、直线方程的应用例 1 某高速路检查站有一地镑秤，它主要由一根弹簧组成，压上 10 吨重的货车时，长50cm，若所货车的重量每增加 2 吨，弹簧就缩短 1cm，问当某辆货车的重量为 30 吨时，求弹簧的长度.分析：由题意知，所压货车的重量 F 与弹簧的长度 L 是一一对应的关系，我们可以将问题转化为直线方程问题，
2、题中挂 10 吨的物体时，弹簧长 50cm，相当于直线上的一点(10，50)，我们只要再求出直线的方程，再求出当 F30 时，自变量 L 的值.解：可将货车重量看成点的横坐标，将弹簧的长度看成点的纵坐标，这样问题转化为直线方程问题.由题意知，直线的斜率为 k . L F 12 12又因直线过点(10，50)，所以根据点斜式可得直线方程为：L50 (F10)，即12F2L1100.即弹簧的长度 L（cm）与所挂物体重量 F（N）之间关系的方程是 F2L1100.令 F30，可得 L40cm.故当某辆货车的重量为 30 吨时，弹簧的长度为 40cm.点拨：这是一道利用直线方程解决实际问题的题目.做
3、题时我们要认真分析已知条件，将实际问题转化为我们所熟悉的数学问题.特别要注意本题所涉及的直线的斜率为负值.二、两条直线位置关系的应用例 1 到了“10.1 黄金周” ，甲、乙两个同学准备结伴郊游，但只有一辆自行车，因此两人约定：甲骑车，乙步行，甲到某处后将车留下改为步行，乙到达留车处换成骑车，当乙适当超过甲时，乙将车留下改为步行，如此反复轮换.已知两人骑车的速度为15km/h，步行的速度为 5km/h，从起点到目的地的距离为 15km，问最少需要多少时间两人都能到达目的地？分析：最后两人要同时到达，即是最后两人相遇，因此可以从寻求证两人相遇时满足的条件着手，转化为平面坐标内直线问题来解决.解：
4、如图所示，以时间 t 为横轴，路程 S 为纵轴建立直角坐标系，则第一次转换前骑车和步行的直线方程分别为：l 1：S15t，l 2：S5t，设甲先骑车到 A1后改为步行，乙步行到到 B1换成骑车，因为甲留车处恰为乙骑车处，所以 A1和 B1距起点的距离相等，即 A1B1t 轴，且 A1、B 1必分别在 l1、l 2上，又设两人第一次相遇在 C1，则因 A1C1为步行，B 1C1为乙骑车，A 1C1l 2，B 1C1l 1，从而四边形 OA1C1B1为平行四边形.再设第一次换车时距离起点的路程为 S1，则 A1( ，S 1)，B( ，S 1).S115 S15在平行四边形 OA1C1B1中，由 O
5、C1与 A1B1的中点相同可求得 C1的坐标为( ，2S 1)，4S115于是直线 OC 的斜率为 k .152同理，设第二次换车时距起点的路程为 S2，第二次相遇在 C2，则根据 A2B2t 轴，A 1A2l 2，B 1B2l 1，C 1为 A1A2和 B1B2的中点可求得 A2( ，S 2)，3S2 2S115B( ，S 2)，S2 2S115再根据四边形 C1B2C2A2是平行四边形，可以求得 C2的坐标为 C2( (S2S 1)，2(S 2S 1)，415于是，直线 OC2的斜率为 ，152如此下去，均可求得两人各次相遇的点 C1，C 2，C 3，C n必定都在直线 S t 上，152
6、又由题意知，欲使两人都能到达目的地的时间最短，必须两人同时到达，即某一次的相遇点 Cn恰好落在目的地，因此，所求的最短时间 t 应满足关系式 t15，解之，得 t=2(h).152答：最少需要 2 小时都能到达目的地.点拨：从上面的解答过程可以看出，所求最短时间与两人骑车、步行的改换次数无关，即无论两人在途中将骑车与步行怎样改来换去，只要是两人同时到达目的地，所需时间均为 2 小时.三点与圆的位置关系的应用例 1 有一种大型商品，A、B 两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后，运回的费用如下：单位距离 A 地的运费是 B 地运费的 3 倍.已知 A、B 两地的距离为10km，顾
7、客选 A 地或 B 地购买这件商品的标准为包括运费和价格的总费用较低.求 A、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.分析：通过建立直角坐标系，利用等式 A 地运费价格B 地运费价格，建立等式可以发现 A、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状为圆，再利用点与圆的位置关系可确定购货地点.解：以 A、B 所确定的直线为 x 轴，A、B 的中点 O 为坐标原点，建立坐标系，如图所示，根据题意，有 A(5,0)，B(5,0)，设某地 P 的坐标为(x,y)，并设 A地运费为 3a 元/km，B 地运费为 a 元/km，因此，当由 P 地到 A、B 两
8、地购货总费用相等时，有 A 地运费价格B 地运费价格，所以 3a a ，因为 a0，所以 3(x 5)2 y2 (x 5)2 y2 ，(x 5)2 y2 (x 5)2 y2两边平方整理，得(x )2y 2( )2.254 154(1)当 P 点在( ,0)为圆心， 为半径的圆上时，居民到 A、B 两地购货总费用相等.254 154(2)当 P 点在上述圆内时，(x )2y 2( )2，254 1549(x5) 29y 2(x5) 2y 28(x )2y 2( )20，所以254 1543 ，(x 5)2 y2 (x 5)2 y2故此时到 A 地购货最合算.(3)当 P 点在上述圆外时，同理可知
9、，此时到 B 地购货最合算.点评：以点( ,0)为圆心， 为半径的圆就是 A、B 两地售货区域的分界线，掌握了254 154这一分界线不仅对进货者有利，而且使商家能有效掌握售货情况.四、直线与圆的位置关系的应用例 2 某城市规划交通，拟在半径为 50m 的高架圆形道东侧某处开一个出口，以与圆形道相切的方式，引伸一条直道接到距圆形道圆心正北 150m 处的道路上.试建立适当坐标系，写出引伸直道的方程，并计算出口应开在圆形道何处？分析：通过建立直角坐标系，把实际的问题(高架圆形道东侧某处开一个出口，以与圆形道相切)转化为数学的问题(在点 C 处引圆 O 的切线，求切点 P 的坐标)，利用直线与圆的
10、位置关系加以分析求解.解析：以圆形道圆心 O 原点，正北方向为 y 轴正向，建立直角坐标系，如图，则圆形道的方程为 x2y 250 2，引伸直与北向道路的交接点 C 坐标为(0,150)，设出口开在圆形道的点 P 处，问题的几何表述是：在点 C 处引圆 O 的切线，求切点 P 的坐标，设点 P 坐标为(x 0,y0)，因为 P 是 PC 与圆 O 相切的切点，则 PC 方程可以表示为 x0xy 0y50 2，因为点 C 在 PC 上，以其坐标(0,150)代入得 150y02500，y 0 ，503因为 P 在圆 O 上，以其坐标(x 0,y0)代入圆方程，又得 x ( )20503250 2，x 0 ，1003 2据实际问题，因为点 P 在圆心 O 的东侧，故应取 x0 ，1003 2所以引伸直道在所建坐标系中的方程为 (2 xy)50 2，即 2 xy150，出口503 2 2点 P 在所建坐标系中的坐标为( , ).1003 2503点评：转化思想是实际问题数学化的重要解题思想，通过转化实际问题转化为纯粹的数学问题，再利用数学知识加以求解.而在转化过程中要结合实际问题中的具体要求，达到实际问题数学化，又不脱离现实实际.
