1、第三章 3.3 3.3.2 基础巩固一、选择题1点 M(1,2)关于 y 轴的对称点 N 到原点的距离为( )A2 B1C D55答案 C解析 N (1,2)，| ON| .故选 C 12 22 52已知 A(2,1)，B(1，b)，|AB |5，则 b 等于( )A3 B5C3 或 5 D1 或3答案 C解析 由两点间的距离公式知|AB| ， 1 22 b 12 b2 2b 10由 5 ，b2 2b 10解得 b3 或 b5.3一条平行于 x 轴的线段长是 5 个单位，它的一个端点是 A(2,1)，则它的另一个端点B 的坐标为 ( )A(3,1) 或(7,1) B(2，2) 或(2,7)C(
2、3,1)或(5,1) D(2，3) 或(2,5)答案 A解析 ABx 轴，设 B(a,1)，又|AB| 5，a3 或 7.4设点 A 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上，AB 的中点是 P(2，1)，则|AB|等于( )A5 B4 2C2 D25 10答案 C解析 设 A(x,0)、B(0，y )，由中点公式得 x4，y2，则由两点间的距离公式得|AB| 2 .0 42 2 02 20 55ABC 三个顶点的坐标分别为 A(4，4)、B(2,2)、C(4，2)，则三角形 AB 边上的中线长为( )A B26 65C D29 13答案 A解析 AB 的中点 D 的坐标为 D(1，1)|CD| ；
3、 1 42 1 22 26故选 A6已知三点 A(3,2)，B(0,5) ，C(4,6)，则ABC 的形状是( )A直角三角形 B等边三角形C等腰三角形 D等腰直角三角形答案 C解析 |AB| 3 ，3 02 2 52 2|BC| ，0 42 5 62 17|AC| ，3 42 2 62 17|AC | |BC| |AB|，且|AB| 2 |AC|2|BC| 2.ABC 是等腰三角形，不是直角三角形，也不是等边三角形二、填空题7已知点 M(m，1) ，N (5，m )，且| MN|2 ，则实数 m_.5答案 1 或 3解析 由题意得 2 ，解得 m 1 或 m3.m 52 1 m2 58已知
4、A(1， 1)，B(a,3)， C(4,5)，且|AB| |BC| ，则 a_.答案 12解析 ，a 12 3 12 4 a2 5 32解得 a .12三、解答题9求证：等腰梯形的对角线相等证明 已知：等腰梯形 ABCD求证：ACBD 证明：以 AB 所在直线为 x 轴，以 AB 的中点为坐标原点建立如图平面直角坐标系设 A(a,0) 、D(b，c )，由等腰梯形的性质知 B(a,0)，C( b，c) 则|AC | ， b a2 c 02 a b2 c2|BD| ，b a2 0 c2 a b2 c2|AC | |BD|.即：等腰梯形的对角线相等10已知直线 l1：2x y60 和 A(1，1)
5、 ，过点 A 作直线 l2 与已知直线交于点 B 且|AB|5 ，求直线 l2 的方程解析 当直线 l2 的斜率存在时，设其为 k，则Error!(k2)x k7，而 k2，故解得 x ，所以 B( ， )，k 7k 2 k 7k 2 4k 2k 2又由|AB|5，利用两点间距离公式得5k ，k 7k 2 12 4k 2k 2 12 34此时 l2 的方程为 3x4y10.而当 l2 的斜率不存在时，l 2 的方程为 x1.此时点 B 坐标为(1,4)，则| AB|4(1)|5，也满足条件综上，l 2 的方程为3x4y10 或 x1.能力提升一、选择题1已知点 A(2,3)和 B(4,1)，则
6、线段 AB 的长及中点坐标分别是( )A2 ，(1,2) B2 ，(1，2)10 10C2 ，( 1,2) D2 ，(1，2)10 10答案 C解析 |AB| 2 ，中点坐标为( ， )，即(1,2) ，故 4 22 1 32 102 42 3 12选 C2已知两点 P(m,1)和 Q(1,2m)之间的距离大于 ，则实数 m 的范围是( )10A m2 Bm 或 m245 45Cm2 或 m D2m 45 45答案 B解析 根据两点间的距离公式|PQ| 5m 2 6m80m 或 m2.m 12 1 2m2 5m2 6m 2 10453两直线 3axy 20 和(2a1)x5ay10 分别过定点
7、 A、B，则|AB|等于( )A B895 175C D135 115答案 C解析 易得 A(0，2)，B(1， )25|AB| . 1 02 25 22 1354在直线 2x3y 50 上求点 P，使 P 点到 A(2,3)距离为 ，则 P 点坐标是( )13A(5,5) B(1,1)C(5,5) 或(1,1) D(5,5)或(1 ， 1)答案 C解析 设点 P(x，y )，则 y ，2x 53由|PA| 得 (x2) 2( 3) 213，132x 53即(x2) 29，解得 x1 或 x5，当 x1 时，y 1，当 x5 时，y5，P(1,1)或(5,5)二、填空题5已知点 A(5,2a1
8、) ，B(a1，a4)，若|AB|取得最小值，则实数 a 的值是_.答案 12解析 由题意得|AB| ，所以当 a 时，|AB|5 a 12 2a 1 a 42 2a2 2a 252a 122 492 12取得最小值6已知点 A(4,12)，在 x 轴上的点 P 与点 A 的距离等于 13，则点 P 的坐标为_.答案 (9,0)或(1,0)解析 设 P(a,0)，则 13，a 42 122解得 a9 或 a1，点 P 的坐标为(9,0)或( 1,0)三、解答题7用坐标法证明定理：若四边形 ABCD 是长方形，则对平面内任一点 M，等式AM2CM 2BM 2DM 2 成立解析 以一个直角所在的两
9、边为坐标轴，建立直角坐标系证明：如图，取长方形 ABCD 的两条边 AB、AD 所在的直线分别为 x 轴、y 轴建立直角坐标系设长方形 ABCD 的四个顶点分别为 A(0,0)、B(a,0) 、C (a，b)、D (0，b)在平面上任取一点 M(m，n)，则有 AM2CM 2m 2n 2(ma) 2(nb) 2，BM2DM 2(ma) 2n 2m 2(nb) 2，AM 2CM 2BM 2DM 2.8如下图所示，一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路，已知矩形花园的长AD5 m，宽 AB3 m，其中一条小路定为 AC，另一条小路过点 D，问是否在 BC 上存在一点 M，使得两条小路 AC 与 DM 相互垂直？若存在，则求出小路 DM 的长分析 建立适当的坐标系，转几何问题为代数运算解析 以 B 为坐标原点， BC、BA 所在直线为 x、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系因为 AD5 m，AB 3 m，所以 C(5,0)，D (5,3)，A(0,3) 设点 M 的坐标为(x, 0)，因为 ACDM ，所以 kACkDM 1，即 1.3 00 53 05 x所以 x3.2，即 BM3.2，即点 M 的坐标为(3.2,0) 时，两条小路 AC 与 DM 相互垂直故在 BC 上存在一点 M(3.2,0)满足题意由两点间距离公式得 DM .5 3.22 3 023534
