1、第一章综合素能检测时间 120 分钟，满分 150 分。一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1(2014全国高考卷)某几何体的三视图，如图所示，则这个几何体是( )A三棱锥 B三棱柱C四棱锥 D四棱柱答案 B2如图，OAB是水平放置的 OAB 的直观图，则 OAB 的面积为( )A6 B3 2C6 D122答案 D解析 OAB 是直角三角形， OA6，OB4，AOB 90 ，S OAB 64 12.123已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为 5，菱形的对角线的长分别是 9 和 15，则这个棱柱的侧面积是( )A30
2、 B6034 34C30 135 D13534答案 A解析 由菱形的对角线长分别是 9 和 15，得菱形的边长为 ，则这922 1522 3234个菱柱的侧面积为 4 530 .3234 344半径为 R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为( )A R3 B R3324 38C R3 D R3525 58答案 A解析 依题意，得圆锥的底面周长为 R，母线长为 R，则底面半径为 ，高为 R，R2 32所以圆锥的体积为 ( )2 R R3.13 R2 32 3245已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为 V1 和 V2，则V1V2 ( )A13 B11C21 D31答案 D解析 V
3、1V2(Sh)( Sh)31.136若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如右图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A B 163 193C D 1912 43答案 B解析 设球半径是 R，依题意知，该三棱柱是一个底面边长为 2，侧棱长为 1 的正三棱柱，记上，下底面的中心分别是 O1，O ，易知球心是线段 O1O 的中点，于是 R2( )2(122 )2 ，因此所求球的表面积是 4R24 ，选 B33 23 1912 1912 1937一个正方体的体积是 8，则这个正方体的内切球的表面积是( )A8 B6C4 D答案 C解析 设正方体的棱长为 a，则 a38，所以 a2，而此正方
4、体内的球直径为 2，所以 S 表 4r 24.8如图是一个空间几何体的三视图，如果直角三角形的直角边长均为 1，那么这个几何体的体积为( )A1 B12C D13 16答案 C解析 该几何体的直观图为如图所示的四棱锥 PABCD，且PA ABAD1，PAAB ， PAAD ，四边形 ABCD 为正方形，则 V 121 ，故13 13选 C9(2015全国卷)九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一 )，米堆底部的弧度为 8 尺，米堆的高为 5尺，问米堆的体积
5、和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放斛的米约有( )A14 斛 B22 斛C36 斛 D66 斛答案 B解析 设圆锥底面半径为 r，则 23r8，r ，所以米堆的体积为14 163 3( )25 ，故堆放的米约为 1.6222，故选 B14 13 163 3209 32099圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为 3，圆台的侧面积为84，则圆台较小底面的半径为 ( )A7 B6C5 D3答案 A解析 设上，下底面半径为 r，R.则 2R32r ，所以 R3r.又 (r1r 2)lS 侧 ，所以 S 侧 (3r r)384
6、，所以 r7.10正三棱柱有一个半径为 cm 的内切球，则此棱柱的体积是 ( )3A9 cm3 B54 cm 33C27 cm 3 D18 cm33答案 B解析 由题意知棱柱的高为 2 cm，底面正三角形的内切圆的半径为 cm，底面3 3正三角形的边长为 6 cm，正三棱柱的底面面积为 9 cm2，此三棱柱的体积 V9 23 3 54(cm3)311(2014课标全国)如图，网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3 cm，高为 6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A B1727 59C
7、 D1027 13答案 C解析 由零件的三视图可知，该几何体为两个圆柱组合而成，如图所示切削掉部分的体积 V13 26 2243 2220(cm 3)，原来毛坯体积 V23 26 54(cm3)故所求比值为 .V1V2 2054 102712(2013全国理科)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A cm3 B cm35003 8663C cm3 D cm313723 20483答案 A解析 设球的半径为 R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为 4，球
8、心到截面圆的距离为 R2，则 R2( R2) 24 2，解得 R5.球的体积为 cm3.4533 5003二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上)13在几何体圆锥；正方体；圆柱；球；正四面体中，三视图完全一样的是_ _.答案 14用斜二测画法画边长为 2 的正三角形的直观图时，如果在已知图形中取的 x 轴和正三角形的一边平行，则这个正三角形的直观图的面积是_ _.答案 6415棱锥的高为 16，底面积为 512，平行于底面的截面面积为 50，则截得的棱台的高为_ _.答案 11解析 设棱台的高为 x，则有 ( )2 ，解之，得 x11.16 x
9、16 5051216如图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是_ _.答案 36128解析 由三视图可知该组合几何体下面是一个圆柱，上面是一个三棱柱，故所求体积为 V 34616 836128 .12三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是14，母线长为 10 cm.求圆锥的母线长解析 如图，设圆锥母线长为 l，则 ，所以 l cm.l 10l 14 40318(本小题满分 12 分)如图是一个几何体的正视图和俯视图(1)试判断该几何体是什么几何体？(2)画出其侧
10、视图，并求该平面图形的面积；(3)求出该几何体的体积解析 (1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥(2)该几何体的侧视图如图其中 ABAC，ADBC ，且 BC 的长是俯视图正六边形对边的距离，即 BC a，AD 是正六棱锥的高，即3AD a，所以该平面图形的面积为 a a a2.312 3 3 32(3)设这个正六棱锥的底面积是 S，体积为 V，则 S6 a2 a2，34 332所以 V a2 a a3.13 332 3 3219(本小题满分 12 分)如下图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由解析 因为
11、V 半球 R3 43134(cm 3)，12 43 12 43V 圆锥 r2h 4212 201(cm3)，13 13134201，所以 V 半球 V 圆锥 ，所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子20(本小题满分 12 分)(2015湖南常德上学期期末)已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如图所示，求这个几何体的体积解析 由三视图可知，该几何体是大圆柱内挖掉了小圆柱，两个圆柱高均为 1，底面是半径为 2 和 的同心圆，故该几何体的体积为 41( )21 .32 32 7421(本题满分 12 分)如图所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知底面
12、边长为 2 m，高为 m，制造这个塔顶需要多少7铁板？解析如图所示，连接 AC 和 BD 交于 O，连接 SO.作 SPAB，连接 OP.在 Rt SOP 中，SO (m)，OP BC1(m)，712所以 SP2 (m)，2则SAB 的面积是 22 2 (m2)12 2 2所以四棱锥的侧面积是 42 8 (m2)，2 2即制造这个塔顶需要 8 m2 铁板222(本小题满分 12 分)如图，正方体 ABCDAB CD 的棱长为 a，连接AC ，A D，AB ，BD，BC，C D，得到一个三棱锥求：(1)三棱锥 ABCD 的表面积与正方体表面积的比值；(2)三棱锥 ABCD 的体积解析 (1)ABCDAB C D是正方体，ABACA DBCBD C D a，2三棱锥 ABCD 的表面积为4 a a2 a2.12 2 32 2 3而正方体的表面积为 6a2，故三棱锥 ABCD 的表面积与正方体表面积的比值为 .23a26a2 33(2)三棱锥 AABD，CBCD，D ADC，B ABC 是完全一样的故 V 三棱锥 ABC D V 正方体 4V 三棱锥 AABDa 34 a2a .13 12 a33
