1、第四章综合素能检测时间 120 分钟，满分 150 分。一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1已知点 A(x,1,2)和点 B(2,3,4)，且| AB|2 ，则实数 x 的值是( )6A3 或 4 B6 或 2C3 或4 D6 或2答案 D解析 由空间两点间的距离公式得 2 ，解得 x6 或 x2.x 22 1 32 2 42 62若方程 x2y 2x ym 0 表示圆，则实数 m 的取值范围为( )Am Bm012Cm Dm 12 12答案 A解析 (1) 21 24m0，m ，故选 A.123圆 x2y 22
2、x 4y0 的圆心坐标和半径分别是( )A(1，2) ， 5 B(1，2)， 5C(1,2)，5 D( 1,2)， 5答案 D解析 圆的方程化为标准方程为(x1) 2( y2) 25，则圆心是(1,2) ，半径为 .54直线 l：y k(x )与圆 C：x 2y 21 的位置关系是( )12A相交或相切 B相交或相离C相切 D相交答案 D解析 方法一：圆 C 的圆心 (0,0)到直线 yk( x )的距离 d ，12 |12k|k2 1d 2 1，14k2k2 1 14所判断的位置关系为相交方法二：直线 l：y k(x )过定点 ( ，0)，而点( ， 0)在圆 C：x 2y 21 内部，12
3、 12 12故直线 l 与圆 C 相交5直线 x2y30 与圆(x 2)2(y3) 29 交于 E，F 两点，则EOF(O 是原点) 的面积为( )A B32 34C2 D5655答案 D解析 圆(x2) 2( y3) 29 的圆心为(2，3) ，半径 r3，圆心到直线的距离 d ，弦长为 2 4，原点到直线的距离为 ，所以 S 4|2 6 3|1 4 5 9 5 |0 0 3|1 4 355 12 .355 6556圆 x2y 24x 0 在点 P(1， )处的切线方程为( )3Ax y20 Bx y403 3Cx y4 0 Dx y203 3答案 D解析 点(1， )在圆 x2y 24x
4、0 上，3点 P 为切点，从而圆心与 P 的连线应与切线垂直设切线的斜率为 k，又圆心为(2,0)， k1，解得 k ，0 32 1 33切线方程为 x y20.37若直线 xy 2 被圆(x a )2y 24 所截得的弦长为 2 ，则实数 a 的值为( )2A1 或 B1 或 33C2 或 6 D0 或 4答案 D解析 由半径、半弦长、圆心到直线的距离 d 所形成的直角三角形，可得 d ，故2 ，解得 a4，或 a0.a 22 28(20132014山东威海模拟)若直线 ykx1 与圆 x2 y21 相交于 P，Q 两点，且POQ 120( 其中 O 为原点) ，则 k 的值为( )A 或
5、B3 3 3C 或 D2 2 2答案 A解析 方法 1：|PQ|21sin60 ，圆心到直线的距离 d ，31 322 12 ，解得 k .1k2 1 12 3方法 2：利用数形结合如图所示，直线 ykx1 过定点 (0,1)，而点(0,1)在圆 x2y 21 上，故不妨设 P(0,1)，在等腰三角形 POQ 中，POQ 120，QPO30，故PAO60 ，k ，即直线3PA 的斜率为 .同理可求得直线 PB 的斜率为 .3 39(2013重庆)设 P 是圆(x 3) 2(y1) 24 上的动点，Q 是直线 x3 上的动点，则|PQ |的最小值为 ( )A6 B4C3 D2答案 B解析 |PQ
6、 |的最小值为圆心到直线的距离减去半径因为圆的圆心为(3 ，1)，半径为 2，所以| PQ|的最小值 d 3( 3) 24.10(2013天津)已知过点 P(2,2)的直线与圆(x1) 2y 25 相切，且与直线axy10 垂直，则 a( )A B112C2 D12答案 C解析 易知点 P(2,2)在圆上，由切线与直线 axy 10 垂直，得过点 P(2,2)与圆心(1,0)的直线与直线 axy10 平行，所以 a，解得 a2.2 02 111(2013山东)过点(3,1)作圆(x1) 2y 21 的两条切线，切点分别为 A，B，则直线AB 的方程为( )A2xy30 B2x y30C4x y
7、30 D4xy30答案 A解析 根据平面几何知识，直线 AB 一定与点(3,1)，(1,0)的连线垂直，这两点连线的斜率为 ，故直线 AB 的斜率一定是2，只有选项 A 中直线的斜率为2.1212若圆 C：x 2y 24x4y100 上至少有三个不同的点到直线 l：xyc0 的距离为 2 ，则 c 的取值范围是 ( )2A2 ，2 B(2 ，2 )2 2 2 2C2,2 D( 2,2)答案 C解析 圆 C：x 2y 24x 4 y100 整理为( x2) 2(y2) 2(3)2，圆心坐标为 C(2,2)，半径长为 3 ，要使圆上至少有三个不同2 2的点到直线 l：x yc0 的距离为 3 ，如
8、右图可知圆心到直线 l 的2距离应小于等于 ，d ，解得|c| 2，即2c2.2|2 2 c|1 1 |c|2 2二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上)13已知点 A(1,2,3)，B(2，1,4) ，点 P 在 y 轴上，且| PA| PB|，则点 P 的坐标是_答案 76解析 设点 P(0，b,0)，则1 02 2 b2 3 02，解得 b .2 02 1 b2 4 027614(20132014江苏扬州安宜高中期中)若圆 x2y 24 与圆 x2y 22ay 60(a0)的公共弦的长为 2 ，则 a _.3答案 1解析 由(x 2y 2
9、2ay 6)(x 2y 24)0 得两圆公共弦方程为 ay10，又因公共弦长为 2 ，所以圆心(0,0)到该公共弦的距离为 1，即 1.又 a0，所以 a1.3|0 1|a215已知圆 C 的方程为 x2y 22y30，过点 P(1,2)的直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，若使| AB|最小，则直线 l 的方程是_答案 xy 30解析 (1) 22 222320，故 a1.22(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为 2的圆 C 与直线 yx 相切于坐标原点 O.2(1)求圆 C 的方程；(2)试探求圆 C 上是否存在异于原点的 Q，使 Q 到定点 F(4,0)的距离等于线段 OF 的长若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由解析 (1)设圆心为 C(a，b)，由 OC 与直线 yx 垂直，知斜率 kOC 1，故baba.又|OC| 2 ，即 2 ，2 a2 b2 2可解得 a2，b2 或 a2，b2，结合点 C(a，b)位于第二象限知 a2，b2.故圆 C 的方程为(x2) 2(y 2) 28.(2)假设存在 Q(m，n)符合题意，则(m4) 2n 2 16，m 2n 20，(m 2) 2(n2) 28，解得 m ，n ，45 125故圆 C 上存在异于原点的点 Q( ， )符合题意45 125
