1、第二课时 余弦定理教学目标：了解向量知识应用，掌握余弦定理推导过程，会利用余弦定理证明简单三角形问题，会利用余弦定理求解简单斜三角形边角问题，能利用计算器进行运算；通过三角函数、余弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.教学重点：余弦定理证明及应用.教学难点：1.向量知识在证明余弦定理时的应用，与向量知识的联系过程；2.余弦定理在解三角形时的应用思路.教学过程：.课题导入上一节，我们一起研究了正弦定理及其应用，在体会向量应用的同时，解决了在三角形已知两角一边和已知两边和其中一边对角这两类解三角形问题.当时对于已知两边夹角求第三边问题未能解决，如图(1)在直角三角形
2、中，根据两直角边及直角可表示斜边，即勾股定理，那么对于任意三角形，能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢?下面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题.在ABC 中，设 BCa，AC b，ABc，试根据 b，c，A 来表示 a.分析：由于初中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构造直角三角形，在直角三角形内通过边角关系作进一步的转化工作，故作 CD 垂直于 AB 于 D，那么在Rt BDC 中，边 a 可利用勾股定理用 CD、DB 表示，而 CD 可在 Rt ADC 中利用边角关系表示，DB 可利用 ABAD 转化为AD，进而在 RtADC 内求解.解：过 C 作 CD
3、AB，垂足为 D，则在 RtCDB 中，根据勾股定理可得：a2CD 2BD 2在 RtADC 中，CD 2b 2AD 2又BD 2( cAD) 2c 22cADAD 2a 2b 2AD 2c 22cADAD 2b 2c 22cAD又在 RtADC 中，ADbcosAa 2b 2c 22bc cosA类似地可以证明 b2a 2c 22accosBc2a 2b 22abcos C另外，当 A 为钝角时也可证得上述结论，当 A 为直角时 a2b 2c 2 也符合上述结论，这也正是我们这一节将要研究的余弦定理，.讲授新课1.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的
4、积的两倍.形式一：a2b 2c 22bccosA，b2c 2a 22cacosB，c2a 2b 22abcos C.形式二：cosA ，cosB ，cos C .b2 c2 a22bc c2 a2 b22ca a2 b2 c22ab在余弦定理中，令 C90，这时， cosC0，所以 c2a 2b 2，由此可知余弦定理是勾股定理的推广.另外，对于余弦定理的证明，我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明，以进一步体会向量知识的工具性作用.2.向量法证明余弦定理(1)证明思路分析由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出现，那么可以与哪些向量知识产生联系呢?向量数量积的定义式：ababcos ，
5、其中 为 a、b 的夹角.在这一点联系上与向量法证明正弦定理有相似之处，但又有所区别，首先因为无须进行正、余弦形式的转换，也就省去添加辅助向量的麻烦.当然，在各边所在向量的联系上依然通过向量加法的三角形法则，而在数量积的构造上则以两向量夹角为引导，比如证明形式中含有角 C，则构造 这一数量积以使出现 cosC.同样在证明过程中应CB CA 注意两向量夹角是以同起点为前提.(2)向量法证明余弦定理过程：如图，在ABC 中，设 AB、BC 、CA 的长分别是 c、a、b.由向量加法的三角形法则可得 ，AC AB BC ( )( )AC AC AB BC AB BC 22 2AB AB BC BC
6、22 cos(180B) 2AB AB BC BC c 22accosBa 2即 b2c 2a 22ac cosB由向量减法的三角形法则可得： BC AC AB ( )( )BC BC AC AB AC AB 22 2AC AC AB AB 22 cosA 2AC AC AB AB b 22bccos Ac 2即 a2b 2c 22bc cosA由向量加法的三角形法则可得 AB AC CB AC BC ( )( )AB AB AC BC AC BC 22 2AC AC BC BC 22 cosC 2AC AC BC BC b 22bacosCa 2.即 c2a 2b 22abcos C评述：(
7、1)上述证明过程中应注意正确运用向量加法( 减法)的三角形法则.(2)在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定， 与 属于同起点向量，则AC AB 夹角为 A； 与 是首尾相接，则夹角为角 B 的补角 180B； 与 是同终点，则夹角AB BC AC BC 仍是角 C.在证明了余弦定理之后，我们来进一步学习余弦定理的应用.利用余弦定理，我们可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)已知三边，求三个角.这类问题由于三边确定，故三角也确定，解唯一；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.这类问题第三边确定，因而其他两个角唯一，故解唯一，不会产生类似利用正弦定理解三角形所产生的判断取舍
8、等问题.接下来，我们通过例题评析来进一步体会与总结.3.例题评析例 1在ABC 中，已知 a7，b10，c6，求 A、B 和 C.(精确到 1)分析：此题属于已知三角形三边求角的问题，可以利用余弦定理，意在使学生熟悉余弦定理的形式二.解：cosA 0.725，A44b2 c2 a22bc 102 62 722106cosC 0.8071，C36a2 b2 c22ab 72 102 622710 113140B180(A C )180(44 36)100.评述：(1)为保证求解结果符合三角形内角和定理，即三角形内角和为 180，可用余弦定理求出两角，第三角用三角形内角和定理求出.(2)对于较复杂
9、运算，可以利用计算器运算.例 2在ABC 中，已知 a2.730，b3.696，C82 28，解这个三角形( 边长保留四个有效数字，角度精确到 1).分析：此题属于已知两边夹角解三角形的类型，可通过余弦定理形式一先求出第三边.在第三边求出后其余边角求解有两种思路：一是利用余弦定理的形式二根据三边求其余角，二是利用两边和一边对角结合正弦定理求解，但若用正弦定理需对两种结果进行判断取舍，而在 0180之间，余弦有唯一解，故用余弦定理较好.解：由 c2a 2b 22abcos C2.730 23.696 222.7303.696cos8228得 c4.297.cosA 0.7767 ，A 392b2
10、 c2 a22bc 3.6962 4.2972 2.730223.6964.297B180(A C )180(39 28228)5830.评述：通过例 2，我们可以体会在解斜三角形时，如果正弦定理与余弦定理均可选用，那么求边两个定理均可，求角则余弦定理可免去判断取舍的麻烦.例 3已知ABC 中，a8，b7，B60，求 c 及 SABC .分析：根据已知条件可以先由正弦定理求出角 A，再结合三角形内角和定理求出角C，再利用正弦定理求出边 c，而三角形面积由公式 SABC acsinB 可以求出.12若用余弦定理求 c，表面上缺少 C，但可利用余弦定理 b2c 2a 22cacosB 建立关于c
11、的方程，亦能达到求 c 的目的 .下面给出两种解法.解法一：由正弦定理得 8sinA 7sin600A 181.8，A 298.2C 138.2，C 221.8，由 ，得 c13，c 257sin600 csinCS ABC ac1sinB6 或 SABC ac2sinB1012 3 12 3解法二：由余弦定理得b2c 2a 22cacosB7 2c 28 228c cos60整理得：c 28c 150解之得：c 13，c 25，S ABC ac1sinB6 ，或 SABC ac2sinB10 .12 3 12 3评述：在解法一的思路里，应注意由正弦定理应有两种结果，避免遗漏；而解法二更有耐人
12、寻味之处，体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处，即可以用之建立方程，从而运用方程的观点去解决.故解法二应引起学生的注意.综合上述例题，要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适用范围：已知三边求任意角或已知两边夹角解三角形，同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定理建立方程的解法.为巩固本节所学的余弦定理及其应用，我们来进行下面的课堂练习.课堂练习1.在ABC 中：(1)已知 b8，c3，A60，求 a；(2)已知 a20，b29，c21，求 B；(3)已知 a3 ，c 2，B150，求 b；3(4)已知 a2，b ，c 1，求 A.2 3解：(1)由 a2b 2c 22bccosA 得
13、a28 23 2283cos60 49，a7.(2)由 cosB 得c2 a2 b22cacosB 0， B90.202 212 29222021(3)由 b2a 2c 22accos B 得b2(3 )22 223 2cos15049，b7.3 3(4)由 cosA 得b2 c2 a22bccosA ，A 45.评述：此练习目的在于让学生熟悉余弦定理的基本形式，要求学生注意运算的准确性及解题效率.2.根据下列条件解三角形(角度精确到 1)(1)a31，b42，c27；(2)a9，b10，c15.解：(1)由 cosA 得b2 c2 a22bccosA 0.6691 ，A48422 272 3
14、1224227由 cosB 0.0523 ，B93c2 a2 b22caC180(AB) 180(48 93)39(2)由 cosA 得b2 c2 a22bccosA 0.8090 ，A36102 152 9221015由 cosB 得c2 a2 b22cacosB 0.7660 ，B4092 152 1022915C180(AB) 180(36 40)104评述：此练习的目的除了让学生进一步熟悉余弦定理之外，还要求学生能够利用计算器进行较复杂的运算.同时，增强解斜三角形的能力.课时小结通过本节学习，我们一起研究了余弦定理的证明方法，同时又进一步了解了向量的工具性作用，并且明确了利用余弦定理所
15、能解决的两类有关三角形问题：已知三边求任意角；已知两边一夹角解三角形.课后作业课本习题 P16 1，2，3，4.解斜三角形题型分析正弦定理和余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素，如果其中三个元素是已知的( 其中至少有一个元素是边 )，那么这个三角形一定可解 .关于斜三角形的解法，根据所给的条件及适用的定理可以归纳为下面四种类型：(1)已知两角及其中一个角的对边，如 A、B、a 解ABC.解：根据 ABC，求出角 C；根据 及 ，求 b、c；asinA bsinB asinA csinC如果已知的是两角和它们的夹边，如 A、B、c，那么先求出第三角 C，然后按照来求解.求解过程中尽可能应
16、用已知元素.(2)已知两边和它们的夹角，如 a、b、C，解ABC.解：根据 c2a 2b 22abcosC，求出边 c；根据 cosA ，求出角 A；b2 c2 a22bc从 B180AC，求出角 B.求出第三边 c 后，往往为了计算上的方便，应用正弦定理求角，但为了避免讨论角是钝角还是锐角，应先求 a、b 较小边所对的角(它一定是锐角 )，当然也可用余弦定理求解.(3)已知三边 a、b、c，解ABC.解：一般应用余弦定理求出两角后，再由 ABC 180，求出第三个角.另外，和第二种情形完全一样，当第一个角求出后，可以根据正弦定理求出第二个角，但仍然需注意要先求较小边所对的锐角.(4)已知两边
17、及其中一条边所对的角，如 a、b、A，解ABC.解：根据 ，经过讨论求出 B；asinA bsinB求出 B 后，由 AB C 180求角 C；再根据 ，求出边 c. asinA csinC另外，如果已知三角，则满足条件的三角形可以作出无穷多个，故此类问题解不唯一.例 1在ABC 中，a1，b ，B60，求角 C.7解：由余弦定理得 ( )21 2c 22ccos60，7c 2c60，解得 c13，c 22(舍去).c3.评述：此题应用余弦定理比正弦定理好.例 2在ABC 中，已知 ABC 且 A2C ，A、B、 C 所对的边分别为 a、b、c，又 2bac 成等差数列，且 b4，求 a、c
18、的长.解：由 且 A2C 得asinA csinC ，cosCa2sinCcosC csinC a2c又2bac 且 b4，ac2b8， cosC .a2 42 c28a a 2 ca 5a 3c4a a2c2a3c 由解得 a ，c .245 165例 3在ABC 中，已知 a2，b ，A 45，解此三角形.2解：由 a2b 2c 22bc cosA得 22( )2 c22 ccos45，2 2c22c20解得 c1 或 c1 (舍去)3 3c1 ，cosB .3c2 a2 b22caB 30C180(A B)180(4530)105.例 4在ABC 中，已知：c 42(a 2b 2)c2a 4a 2b2 b40，求角 C.解： c42( a2 b2)c2a 4a 2b2b 40， c2( a2b 2) 2a 2b20，c2(a 2b 2) ab，cosC ，C120 或 C60.a2 b2 c22ab 12
