1、二项式定理 -杨辉三角和杨辉三角有最直接联系的是二项式定理. 学过初中代数的人都知道： ,464)( ,3,2,)( 4324321 bababa 这里，(a+ b)3 展开后的系数 1，3，3，1 就是杨辉三角第四行的数字 . 不难算出(a+b) 6 的的系数是 1，6，15，20，15，6，1，即杨辉三角第七行的数字. 所以杨辉三角可以看做是二项式的乘方经过分离系数法后列出的表. 实际上，我们可以证明这样的事实：一般地说，(a+b)n的展开式的系数就是杨辉三角中第 n+1 行的数字，1,21CCnrnn即 .!)1()2)( 2121bbaCaCarnbbn rnrnnn 这便是有名的二项
2、式定理.要证明这个定理并不难，我们可以采用一个在各门数学中都被广泛地应用到的方法数学归纳法. 数学归纳法的用途是它可以推断某些在一系列的特殊情形下已经成立了的数学命题，在一般的情形是不是也正确. 它的原理是这样的：假如有一个数学命题，合于下面两个条件：（1）这个命题对 n=1 是正确的；（2）如设这个命题对任一正整数 n=k-1 为正确，就可以推出它对于 n=k 也正确. 那末这个命题对于所有的正整数 n 都是正确的.事实上，如果不是这样，就是说这个命题并非对于所有的正整数 n 都是正确的，那末我们一定可以找到一个最小的使命题不正确的正整数 m. 显然 m 大于 1，因为这个命题对n=1 已经
3、知道是正确的（条件（1） ）. 因此 m-1 也是一个正整数. 但 m 是使命题不正确的最小的正整数，所以命题对 n=m-1 一定正确. 这样就得出，对于正整数 m-1 命题是正确的，而对于紧接着的正整数 m 命题不正确 . 这和数学归纳原理中的条件（2）相冲突.数学归纳法是数学中一个非常有用的方法，我们在以后各节中还将不止一次地用到它. 读者如果想详细了解这一原理和更多的例题，我建议去读另一本小册子数学归纳法. 但我想在这儿赘上一句：归纳法的难点不在于证明，而在于怎样预知结论. 读者在做完归纳法的习题以后，试想一下这些习题人家是怎样想出来的！现在我们就用数学归纳法来证明二项式定理.从本节开头
4、所列举出来的而为大家所熟知的恒等式（这些恒等式可以把它们的左边直接乘出而得到证明）可以看出，二项式定理对于 n=1，2，3 的情形的确是成立的. 这便满足了数学归纳法的条件（1） （其实只在对 n=1 成立就够了）. 另一方面，假设定理对任一正整数 n=k-1 成立. 那末，因为 ,)1()()1( )()( 211211121baCaCba bbaCbakk rkrrk kkr krkk krrkk 再由杨辉恒等式（注意 ） ，便得到：1kkC.kkrkrkk bbaba 11)( 所以条件（2）也是满足的. 于是我们的定理用数学归纳法得到了证明.顺便指出，由二项式定理可以得出一些有趣的等式，例如： .)1()1(1)(0 ,2121CCnnnnnnn 第一个等式说明杨辉三角的第 n+1 行的数字的和等于 2n；而第二个等式说明它们交错相加相减，所得的数值是 0. 利用前一式，我们可以把第一节中图 1 所表示的结论讲得更清楚些：如果倒进漏斗的小弹子数是 2n，那末掉在第 n+1 层各框子里的数目是1， ，1（注意概率现象）.,nn
