1、132“杨辉三角”与二项式系数的性质课标要求：知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图 151 提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题授课类型：新授课 课时安排：2 课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1二项式定理及其特例：（1） ，01() ()nnrnnabCabCbN （2） .rnnxx 2二项展开式的通项
2、公式： 1rrT3求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对 的限制；求有理项时要r注意到指数及项数的整数性 二、讲解新课：1 二项式系数表（杨辉三角）展开式的二项式系数，当 依次取 时，二 项 式 系()nabn1,23数 表 ， 表 中 每 行 两 端 都 是 ， 除 以 外 的 每 一 个 数 都 等 于 它 肩 上 两 个1数 的 和 2二项式系数的性质：展开式的二项式系数是 ， ， ， 可以看成()nab0nC12nnCr以 为自变量的函数r()fr定义域是 ，例当 时，其图象是 个孤立的点（如图）0,12, 67（1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（）
3、mnC直线 是图象的对称轴2r（2）增减性与最大值 ，1(1)2()!k kn nCCk 相对于 的增减情况由 决定， ，knC1kn1nk112nkn当 时 ， 二 项 式 系 数 逐 渐 增 大 由 对 称 性 知 它 的 后 半 部 分 是 逐 渐 减 小 的 ， 且 在 中 间2取 得 最 大 值 ；当 是偶数时，中间一项 取得最大值；当 是奇数时，中间两项 ， 取得最大n2nCn12nC值（3）各二项式系数和： ，1(1)nrnnnxx 令 ，则 022rnnCC 三、讲解范例：例 1在 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和()nab证明：在展开式 中，令01
4、 ()nrnnababCN ，则 ，,a23(1) (1)nnnnC即 ，0213()n ，nC 即在 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和()ab说明：由性质（3）及例 1 知 .021312nnnCC 例 2已知 ，求：7 702()xaxax（1） ； （2） ； （3） .27a 1357017|aa解：（1）当 时， ，展开式右边为1x7()()x027 ，1aa 当 时， ， ，x012712a（2）令 ， 令 ， 1x701234563a 得： ， .713572()13a1357a7132（3）由展开式知： 均为负， 均为正，1357,a0248,由（2
5、）中+ 得： ，70246()13 ， 70246aa 017| 01234567aa724635()()aa例 3.求(1+x)+(1+x) 2+(1+x)10展开式中 x3的系数解： )1(1)x(1100）（= ，x)(原式中 实为这分子中的 ，则所求系数为34x71C例 4.在(x 2+3x+2)5的展开式中，求 x 的系数解： 55)2(1)x( 在(x+1) 5展开式中，常数项为 1，含 x 的项为 ，x15在(2+x) 5展开式中，常数项为 25=32，含 x 的项为 802C4展开式中含 x 的项为 ，)3()80(此展开式中 x 的系数为 240例 5.已知 的展开式中，第五
6、项与第三项的二项式系数之比为 14；3，求展n2)(开式的常数项解：依题意 2n4n2n4 C13:1C:3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2! n=10设第 r+1 项为常数项，又 2r510rr2r10r1r xC)(x()T令 ，2r0251此所求常数项为 180.180)2(CT102例 6 设 ，231nxxx 201naxa当 时，求 的值01254naa解：令 得：，23012 nn 2(1)54 ，8,7n点评：对于 ，令 即 可得101()()nnnfxaxa 1,xa各项系数的和 的值；令 即 ，可得奇数项系数和与012n ,偶数项和的关系例 7求证
7、： 12312nnnCC证（法一）倒序相加：设 S13nn又 S221()()nn n ， ， rrnC01,nnC由+得： ，22nn ，即 11nS 312nnC（法二）：左边各组合数的通项为，rnC1!()!()1rnr 1230121n nnn nCC 12n例 8在 的展开式中,求:10)(yx二项式系数的和; 各项系数的和; 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; 奇数项系数和与偶数项系数和; 的奇次项系数和与 的偶次项系数和.xx分析:因为二项式系数特指组合数 ,故在,中只需求组合数的和,而与二项式rnC中的系数无关.yx32解：设 (*),10289101)( yayxa
8、xayx 各项系数和即为 ,奇数项系数和为 ,偶数项系数和为00 0210a, 的奇次项系数和为 , 的偶次项系数和9531aa x 9531a x.10420由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.二项式系数和为 .10102C令 ,各项系数和为 .1yx )(3(奇数项的二项式系数和为 ,9102102偶数项的二项式系数和为 .3C设 ,10289101)32( yayxaxayx令 ,得到 (1),1020令 , (或 , )得 (2)1xy1xy 10325aa(1)+(2)得 ,100205aa奇数项的系数和为 ;51(1)-(2)得 ,10931)(2aa偶数项的系数
9、和为 .510 的奇次项系数和为 ;x 25109531aa的偶次项系数和为 .10420点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一.例 9已知 的展开式的系数和比 的展开式的系数和大 992,求nx23)(nx)13(的展开式中:二项式系数最大的项;系数的绝对值最大的项.nx2)1(解：由题意 ,解得 .922n5n 的展开式中第 6 项的二项式系数最大,10()x即 .804)1(255106 xCT设第 项的系数的绝对值最大,r则 rrrrr xCx 21010101 )()( ,得 ,即10
10、10122rrrC102rrrr)( , ,故系数的绝对值最大的是第 4 项 38例 10已知： 的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大 23()nx 92（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项解：令 ，则展开式中各项系数和为 ，2(13)n又展开式中二项式系数和为 ，2n ， 29n5（1） ，展开式共 项，二项式系数最大的项为第三、四两项，6 ， ，23235()0TCxx2233345()70TCxx（2）设展开式中第 项系数最大，则 ，1r 1045231 5()rrrrr Cx ， ，1557923rr即展开式中第 项系数最大， 22644335()05
11、TCxx例 11已知 ，)(11 NnSnnnn求证：当 为偶数时， 能被 整除n6分析：由二项式定理的逆用化简 ，再把 变形，化为含有因数 的多项nS4n 64式 ，12122()nnnnSCC 3 ， 为偶数，设 （ ） ，14nS3nn2nk*N 281k()81k01kkkCC（ ） ，128() 当 = 时， 显然能被 整除，k140nS64当 时， （ ）式能被 整除，2所以，当 为偶数时， 能被 整除1n三、课堂练习：1 展开式中 的系数为 ，各项系数之和为 451x4x2多项式 （ ）的展开式23()(1)()(1)nnnnfCCxx 6中， 的系数为 6x3若二项式 （ ）的
12、展开式中含有常数项，则 的最小值为（ ）231()nxNnA.4 B.5 C.6 D.84某企业欲实现在今后 10 年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应 （ ）A.低于 5 B.在 56之间 C.在 68之间 D.在 8以上5在 的展开式中，奇数项之和为 ，偶数项之和为 ，则 等于（ ）(1)nxpq2(1)nxA.0 B. C. D.pq2q26求和： 341012311 nnnnnaaaCCC7求证：当 且 时， N18求 的展开式中系数最大的项 102x答案：1. 45, 0 2. 0 提示： 16nfx3. B 4. C 5. D 6. 1na7. (略) 8.
13、 33156Tx四、小结 ：二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用 五、课后作业：P36 习题 1.3A 组 5. 6. 7.8 B 组 1. 21已知 展开式中的各项系数的和等于 的展开式的常数项，而2()na 516x展开式的系数的最大的项等于 ，求 的值2n 54a()R答案： 3a2设 5914130 131412xaxxxa求： 014 1313a答案： ； 936895
14、623求值： 01234578999992 2CCC答案： 8564设 ，试求 的展开式中：296()1)(fxx()fx（1）所有项的系数和；（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和答案：（1） ； 63729（2）所有偶次项的系数和为 ；63142所有奇次项的系数和为65六、板书设计（略） 七、教学反思：二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。二项式定理概念的引入，我
15、们已经学过(a+ b)2=a2+2ab+b2，( a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，那么对一般情况；(a+b) n展开后应有什么规律，这里 n N，这就是我们这节课“二项式定理”要研究的内容.选择实验归纳的研究方式，对(a+ b)n一般形式的研究与求数列 an的通项公式有些类似，大家想想，求 an时我们用了什么方法，学生：先写出前 n 项，再观察规律，猜测其表达式，最后用数学归纳法证明，老师：大家说得很正确，现在我们用同样的方式来研究(a+b) 4 的展开，因( a+b)4=(a+b)3(a+b)，我们可以用(a+b) 3 展开的结论计算 (a+b)4(由学生板演完成，体会计算规律)
16、然后老师把计算过程总结为如下形式：(a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a4+3a3b2+ab3+3a2b2+3ab3+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.对计算的化算：对(a+b) n展开式中的项，字母指数的变化规律是十分明显的，大家能说出它们的规律吗？学生：a的指数从n逐次降到0，b的指数从0逐次升到n，老师：大家说的很对，这样一来展开式的项数就是从0到n的(n+1) 项了，但唯独系数规律还是“犹抱琵琶半遮面”使我们难以发现，但我们仍可用 来表示，它这样一来(a+b) n的展开形式nn10,就可写成(a+ b)n= 现在的问题就是
17、要找 的表达nrrnba10 rna形式.为此我们要采用抽象分析法来化简计算2007年高考题1 （2007 年江苏卷）若对于任意实数 ，有 ，x3 2301()()()axax则 的值为（B）2aA B C D36912 （2007 年湖北卷）如果 的展开式中含有非零常数项，则正整数 n 的最小nx32值为A.3 B.5 C.6 D.10【答案】：B.【分析】： ，2 2()32513() ()rnrrnrnrrnrnrTCxCxCx， （ ） 。 .250nr,4 min5【高考考点】：本题主要考查二项式定理的有关知识和整除的知识,以及分析问题和解决问题的能力.【易错点】：注意二项式定理的通
18、项公式中项数与 r 的关系。【高高考试题库备考提示】：二项式定理是高考的常考内容，有时单独命题，有时与其它分支的知识相综合。3 （2007 年江西卷）已知 展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和3nx之比为 ，则 等于（ C ）64n 5674 （2007 年全国卷 I） 的展开式中，常数项为 ，则 （ D ）21nx15nA B C D34565 （2007 年全国卷） 的展开式中常数项为 （用数字作答）821()x426 （2007 年天津卷）若 的二项展开式中 的系数为 ，则 2 （用数字62a2x5a作答） 7 （2007 年重庆卷）若 展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项为（ nx)1(B ）A10 B.20 C.30 D.1208 （2007 年安徽卷）若(2x 3+ )a 的展开式中含有常数项 ,则最小的正整数 n 等于 7 .x19 （2007 年湖南卷）将杨辉三角中的奇数换成 1，偶数换成 0，得到如图 1 所示的 0-1 三角数表从上往下数，第 1 次全行的数都为 1 的是第 1 行，第 2 次全行的数都为 1 的是第3 行，第 次全行的数都为 1 的是第 行；第 61 行中 1 的个数是 32 n2n第 1 行 1 1第 2 行 1 0 1第 3 行 1 1 1 1 第 4 行 1 0 0 0 1 第 5 行 1 1 0 0 1 1 图 1
