1、杨辉三角-求展开式系数的六种常见类型求展开式中的系数是高考常考题型之一,本文以高考题为例，对二项式定理试题中求展开式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。一 、 )()Nnba型例 1 102xy的展开式中 64xy项的系数是（ ）（A）840 （B）840 （C）210 （D）210解析：在通项公式 1rT100(2)rr中令 r=4，即得 10(2)xy的展开式中64xy项的系数为 440()=840,故选 A。 例 2 8(x展开式中 5x的系数为 。解析：通项公式 rrrrr xCxCT23881 )1(，由题意得 5238r，则2r，故所求 5x的系数为 2)8。评注：常用二项展开式
2、的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定 的值。二 、 ),()( Nmndcban 型例 3 8412xx的展开式中整理后的常数项等于 .解析； ()的通项公式为 34124142()()rrrrrTCxCx,令 0r，则 r,这时得 34x的展开式中的常数项为 4=32, 8的通项公式为8821()kkkTC,令 0，则 k,这时得 ()x的展开式中的常数项为 48=70，故 843)1()x的展开式中常数项等于 38702。例 4 在 65(x的展开式中，含 3x的项的系数是（ ）(A) (B) 5 (C) 10 (D) 10解析： 5)1(中 3的系数 3C, 6)(中
3、 3x的系数为 36(1)C20,故 65)(x的展开式中 x的系数为 10,故选 D 。评注：求型如 )()( Nmndcban 的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项式加减法求得所求项的系数。三 、 ),()(Nmndcban型例 5 72)(1x的展开式中 3x项的系数是 。解析： 的展开式中 、 的系数分别为 617)2(C和 437)(，故72)(x的展开式中 3x项的系数为 617)(+ 43=1008。例 6 81的展开式中 5的系数是（ ） （A ） 4 （B ） 4 （C ） 28 （D） 28略解： 8)(x的展开式中 x、 5的系数分别为 48和 5,故 8
4、1x 展开式中 5的系数为 4581C,故选 B。评注：求型如 ),()(Nmndcban的展开式中某一项的系数，可分别展开两个二项式，由多项式乘法求得所求项的系数。四 、 )()(n型例 7 521x的展开式中整理后的常数项为 .解法一： 5)(=52)1(x，通项公式 52151()kkkxTC, 51()2kx的通项公式为 5()1rkrkrrkTC5rkx,令0r，则 2，可得 2,或 1,3或 0。当 ,1k时，得展开式中项为1254；当 ,3r时,，得展开式中项为 3115202C；当 05k时，得展开式中项为 4。综上， 5)21(x的展开式中整理后的常数项为 1632204。解
5、法二： 5)21(x= 5)2(x=52)(x= 510)(x，对于二项式 10)2(x中， rrrCT101，要得到常数项需 10r，即 。所以，常数项为 263(510。解法三： 5)(x是 5 个三项式 1(2)x相乘。常数项的产生有三种情况：在 5 个相乘的三项式 12中，从其中一个取 ，从另外 4 个三项式中选一个取 1x，从剩余的 3 个三项式中取常数项相乘，可得 1354()022C；从其中两个取2x，从另外 3 个三项式中选两个取 x，从剩余的 1 个三项式中取常数项相乘，可得25115()C；从 5 个相乘的三项式 ()x中取常数项相乘，可得=4。综上， 5)21(x的展开式
6、中整理后的常数项为 15263204。评注：解法一、解法二的共同特点是：利用转化思想，把三项式转化为二项式来解决。解法三是利用二项式定理的推导方法来解决问题，本质上是利用加法原理和乘法原理，这种方法可以直接求展开式中的某特定项。五 、 1()()(),1)mnababmNn 型例 8 在 621xx 的展开式中， 2x项的系数是 。 （用数字作答）解析：由题意得 2项的系数为 352652432CC。例 9 在(1 x)5(1 x)6(1 x)7(1 x)8的展开式中，含 x3的项的系数是( )(A) 74 (B) 121 (C) 74 (D) 121解析：(1 x)5(1 x)6(1 x)7
7、(1 x)8=5459(1()(1)()xx5)1(中 4的系数为 45C， 91(中 4的系数为 4926C, 126+5= 121,故选 D。评注： 例 8 的解法是先求出各展开式中 2x项的系数，然后再相加；例 9 则从整体出发，把原式看作首相为(1 x)5，公比为(1 x)的等比数列的前 4 项和，用等比数列求和公式减少项数，简化了运算。例 8 和例 9 的解答方法是求1()()(),1)mnababmNn的展开式中某特定项系数的两种常规方法。六 、求展开式中若干项系数的和或差例 10 若 20421024.)1( xaxax )(R，则 _)()()( 2043200 a 。(用数字
8、作答)解析：在 2104.)( xxx 中，令 0x，则 1a，令 1x，则 1)(204043210 a故 )()()( 20400aa=2003 + 204321 。例 11 43401()xxax，则231240(aa的值为（ ）(A) 1 (B) 1 (C) 0 (D) 2解析：在 42340()xxax中，令 ，可得 4321a)(，令 x，可得 0 432所以， 231240)()(= )( 31420140 aaaa= 321421a= (=1,故选A。评注： 求展开式中若干项系数的和或差常采用“赋值法” 。 赋值法是给代数式(或方程或函数表达式)中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的， 它普遍适用于恒等式，是一种重要的解题方法 。实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想，在高考题中屡见不鲜，特别是在二项式定理中的应用尤为明显，巧赋特值可减少运算量。
