1、18.2.2 菱形(第 2 课时)一、内容和内容解析1内容菱形判定的三种方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，四边相等的四边形是菱形2内容解析菱形的三种判定方法中，第一种是定义，定义是最原始也是最基础的判定方法；其它方法需要利用定义进行证明后，才能确立为判定定理对菱形判定的探究其实是对菱形特殊性质的逆向研究菱形作为一种特殊的平行四边形，其与一般平行四边形不同的特殊性质主要体现在边与对角线方面，所以对菱形判定的探究我们从对角线与边方面展开，从对相应性质的逆命题的研究开始菱形的三种判定方法具有典型性与代表性，其他诸如一条对角线平分对角的平行四边形是菱形，对角线互相
2、垂直平分的四边形是菱形等没有作为判定定理，因为它们可以方便地转化为上面的判定方法与平行四边形及矩形的判定的学习经历一样，在菱形判定的探究过程中，始终渗透着类比的数学思想以及逆向思维的方式在菱形判定的运用过程中，需要学生根据已知条件，尝试从不同角度寻求判定菱形的最佳方法，促进学生思维的发展基于以上分析，本节课的教学重点是：菱形判定方法的探究与应用二、目标和目标解析1目标(1)掌握菱形的三种判定方法，能根据已知条件，选择适当的判定定理进行推理和计算(2)经历菱形判定定理的探究过程，渗透类比思想，体会对图形判定的一般思路2目标解析目标(1)的具体要求是：能根据具体的问题情境，选择适当的判定定理进行推
3、理和计算对菱形的定义、判定定理和性质定理进行整合，形成对菱形知识的完整认识目标(2)要求学生经历菱形判定方法的探究过程，体会对图形判定探究的一般思路是：研究图形性质定理的逆命题形成初步猜想，经过逻辑证明得到定理通过对菱形判定方法的探究，结合矩形、平行四边形和全等三角形、等腰三角形、平行线的判定的学习经历，进一步体会类比的数学思想，体会研究图形判定的一般方法三、教学问题诊断分析本节教学需要解决两个问题：一是如何探索并证明菱形的判定定理，深化对菱形的认知；二是随着知识的增加，如何合理有效地安排习题进行巩固训练，发展推理能力从研究菱形性质定理的逆命题出发，发现判定条件，形成猜想，通过逻辑推理证明猜想
4、，这种方法学生仍然不熟练；其次，随着学习的进展，应用知识解决推理计算的要求更高，这也提高了学习的难度基于以上分析，本节课的教学难点是：菱形判定定理的发现和应用四、教学过程设计(一)回顾复习，类比猜想问题 1 我们已经学习了矩形的定义、性质和判定，如表 1 你能发现矩形的三个判定定理分别是从哪些方面得到的吗？矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形具有平行四边形的所有性质对角线相等矩形的性质四个角都是直角有一个角是直角的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形矩形的判定有三个角是直角的四边形是矩形师生活动：由于问题指向明确，同时有前面学习的经验，学生能够得出第一个判定方法是根据定义进行
5、的，对此老师予以肯定，并指出定义是所有性质与判定方法产生的根本另外两种判定方法分别是从对角线和角的方面得到的 矩形的判定定理是性质定理的逆定理设计意图：调动已有认识，通过表格进行梳理，有利于进行类比，猜想菱形的判定问题 2 针对菱形的定义与性质，如表 2 你认为可以从哪些方面思考菱形的判定方法?菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形具有平行四边形的所有性质菱形的性质对角线互相垂直且平分每一组对角四条边都相等菱形的判定师生活动：类比矩形的判定，学生应该能提出猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形教师引导学生将口头叙述转变为文字表达，并在讨论中使其规范与严谨设计意图
6、：列表比较，提出猜想教师追问：你的想法正确吗？怎样验证你的猜想？设计意图：体会证明的必要性(二)推理论证，得出定理问题 3 求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形如图 18.2.2(2)-1， ABCD 中，对角线 AC， BD 相交于点 O，且ACBD 求证： ABCD 是菱形师生活动：证明相对简单，教师展示多媒体，学生口述即可需要明确此方法包括两个条件：(1)是一个平行四边形；(2)两条对角线互相垂直对于学生提出对角线平分对角的平行四边形是菱形，应当肯定同时说明通常选取重要与典型的结论作为定理，对角线平分对角的平行四边形容易转化定义解决设计意图：分析证明思路，独立完成证明过程，发展推理能力
7、问题 4 求证：四边都相等的四边形是菱形如图 18.2.2(2)-2，四边形 ABCD 中，AB BCCDDA求证：四边形 ABCD 是菱形师生活动：证明相对简单，教师展示多媒体，学生口述即可教师强调此方法应用时的前提条件是四边形证明完毕后，将问题 3 的表格补充完整菱形的定义 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形具有平行四边形的所有性质对角线互相垂直且平分每一组对角菱形的性质四条边都相等图 18.2.2(2)-1图 18.2.2(2)-2ADCB一组邻边相等的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形菱形的判定四边都相等的四边形是菱形设计意图：整理知识，优化知识结构，加强知识联系(三)解释
8、现象，巩固知识问题 5 如图 18.2.2(2)-3，用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？请说明理由图 18.2.2(2)-3师生活动：由题意，该四边形对角线互相平分，所以是平行四边形当两根木棒互相垂直时，它是菱形设计意图：让学生动态感受菱形与一般平行四边形的演变关系，及时巩固菱形的判定定理，增强对此定理的理解问题 6 如图 18.2.2(2)-4，先画两条等长的线段AB， AD，然后分别以点 B，D 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交点为 C，连接 BC，CD得到的四边形ABCD 是菱形
9、吗？请说明理由师生活动：由作图过程可知，这个四边形的四条边相等，所以可以不必先证明它是平行四边形，直接利用菱形的判定定理 2 即可设计意图：及时复习巩固菱形判定定理，使大多数学生能跟上教学进度，同时为下面的综合运用打好基础(四)综合运用，发展能力例 1 如图 18.2.2(2)-5，AD 平分BAC，DE AC 交 AB 于点 E，DFAB 交 AC 于点 F求证：四边形 AEDF 是菱形师生活动：引导学生从条件出发，由角平分线与平行线联想到等腰三角形，从要证的结论出发，需要从三个判定方法中寻找最佳路径学生独立思考，有图 18.2.2(2)-4图 18.2.2(2)-5思路的学生可上台讲解思路
10、必要时教师点拨证明的思路鼓励不同的证明思路，在比较中选取最佳策略，并由学生板演完成，教师点评书写过程证明：DEAC，DFAB ，四边形 AEDF 是平行四边形AD 平分BAC， 12DEAC， 2313 AEDE AEDF 是菱形 设计意图：这里没有使用教科书例 4：“如图， ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点O，且 AB5， AO4，BO3求证： ABCD 是菱形” ，而是将此例放在随堂检测中因为此例数据直接，思路指向明确，对于“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”在“解释现象，巩固知识”环节问题 1 的分析中已经出现，所以此例即使教师不教学生亦能解决所以本环节不必再次重复，而应将重点放
11、在分析解题思路上例 2 如图 18.2.2(2)-6， ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD，BC 分别交于 E，F 两点求证：四边形 AFCE 是菱形师生活动：引导学生思考，从要证明的菱形出发，需要从三个判定方法中选择结合已知条件，EF 是 AC 的垂直平分线，所以AE EC，AF FC但这里只是两组邻边相等，并非四条边都相等，所以还需要证明四边形 AFCE 是平行四边形，或者继续证明 AEAF，从而使得四条边都相等，这可以利用 ABCD 这一条件，来得到这样，可以选择菱形判定三种方法(一个定义、两个定理)中的任何一种方法，结合平行四边形 ABCD 和 EF 是 AC 的垂直平分
12、线这两个条件证明结论教师引导学生用不同的方法证明结论并互相交流设计意图：综合应用知识解决问题，发展推理能力(五)总结整理，形成体系教师提出下面问题，引导学生进行课堂小结，整理知识结构(1)怎样判定一个平行四边形是菱形？怎样判定一个四边形是菱形？(2)请比较矩形和菱形，从定义、性质和判定三个方面说说它们的相同点和不同点师生活动：教师在引导学生回顾整理上，总结出下面的知识结构图(图 18.2.2(2)-7)图 18.2.2(2)-6设计意图：在回顾的基础上，形成此图并适当解释，使学生对三种已学图形的关系有全面完整的认知(六)布置作业教科书第 58 页练习第 1，2，3 题，习题 18.2 第 6，
13、10 题五、目标检测设计1如图， ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O(1)若 ABAD，则 ABCD 是 形；(2)若 ACBD，则 ABCD 是 形；(3)若ABC 是直角，则 ABCD 是 形；(4)若 ACBD，则 ABCD 是 形设计意图：考查矩形、菱形与平行四边形的联系2下列命题中是真命题的是( )A对角线互相平分的四边形是菱形B对角线互相平分且相等的四边形是菱形C对角线互相垂直的四边形是菱形D对角线互相垂直平分的四边形是菱形设计意图：考查由四边形的对角线判定菱形的方法3如图， ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，且AB 5，AO 4 ，BO3求证： ABCD 是菱
14、形设计意图：考查菱形的判定和勾股定理的逆定理(第 1 题)(第 3 题)4如图， O 是矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 的交点，DE AC ，CEBD ， 且 DE 和CE 相交于点 E求证：四边形 OCED 是菱形 设计意图：综合考查平行四边形、矩形与菱形的性质和判定5 ABCD 中，AE ，BF 分别平分一组邻角，且分别与 BC，AD 相交于 E，F 两点求证：四边形 ABEF 是菱形(第 4 题) (第 5 题)设计意图：综合考查平行四边形、菱形的性质与判定参考答案和提示：1(1)菱形；(2)矩形；(3)矩形；(4)菱形；2D3利用勾股定理的逆定理证AOB90 ，再利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形4利用一组邻边相等的平行四边形是菱形5由平行线与角平分线的性质可证 ABAF，AB BE，再由 AF BE 可证 ABEF，再由一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得证
