1、指数函数指数与指数幂的运算（2 课时）三维目标定向知识与技能（1）了解根式的概念，方根的概念及二者的关系；（2）理解分数指数幂的概念，掌握有理数指数幂的运算性质，并能运用性质进行计算和化简。过程与方法通过对实际问题的探究过程，感知应用数学解决问题的方法，理解分类讨论思想、化归与转化思想在数学中的应用。情感、态度与价值观通过对数学实例的探究，感受现实生活对数学的需求，体验数学知识与现实的密切联系。教学重难点根式、分数指数幂的概念及其性质。教学过程设计一、问题情境设疑问题 1、根据国务院发展研究中心 2000 年发表的未来 20 年我国发展前景分析判断，未来 20 年，我国 GDP（国内生产总值）
2、年平均增长率可望达到 7.3%，那么，在 2001 2020 年，各年的 GDP 可望为 2000 年的多少倍？问题 2、当生物死亡后，它机体内原有的碳 14 会按确定的规律衰减，大约每经过 5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期” ，根据此规律，人们获得了生物体内碳 14含量 P 与死亡年数 t 之间的关系 ，考古学家根据这个式子可以知道，生物死亡5730)21(tPt 年后，体内碳 14 含量 P 的值。二、核心内容整合（一）根式（1）平方根： ；立方根： 。)0(2axax3（2）n 次方根：如果 ，那么 x 叫做 a 的次方根。n练习 1、填空：（1）25 的平方根等于_；
3、（2）27 的立方根等于_；（3） 32 的五次方根等于_； （4）16 的四次方根等于_；（5）a 6 的三次方根等于_； （6）0 的七次方根等于_。性质：（1）当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次方根是一个负数，记为：。na（2）当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有两个，它们互为相反数，记为 。na（3）负数没有偶次方根，0 的任何次方根都是 0。（4） 。()na练习 2：求下列各式的值：（1） ； （2） ； （3） ； （4） 。53481102312探究： 一定成立吗？na为 偶 数为 奇 数 nn 0|例 1、求下列各式的值：（1） ； （2） ；
4、（3） ； （4） 。3)8(2)1(4)()(2ba练习 3：（1）计算 ；34334()()()（2）若 ，求 a 的取值范围；21a（3）已知 ，则 b a（填大于、小于或等于） ；2()()xbx（4）已知 ，求 的值。32xab2364xa（二）分数指数幂（1）整数指数幂： （简化运算，连加为乘，连乘为乘方）nn个运算性质： nmmbaaa)(,)(,（2）正分数指数幂引入： ，5102510)( 412342)(小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式， （分数指数幂形式）思考：根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式
5、？如： 如何表示？4532,cba规定： )1,0(*nNmanm（3）负分数指数幂规定： ),(1*anm如： )0(,5324规定：0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义。由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：（1） ； （2） ； （3） 。rsrsa()rsra()(0,)rrabbrsQ例题剖析例 2、求值： 4352132 )816(,),8例 3、用分数指数幂的形式表示下列各式（其中 a 0）.; 332aa例 4、计算下列各式（式中字母都是正数）（1） ；)3()6)(26511213
6、baba（2） 。84nm例 5、计算下列各式：（1） ；4325)1(（2） 。0(32a（三）无理指数幂问题：当指数是无理数时，如 ，我们又应当如何理解它呢？25一般地，无理数指数幂 （a 0， 是无理数）是一个确定的实数。有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。四、知识反馈：P54，练习，1，2，3。补充练习：1、已知 ，求 的值。3xa236x2、计算下列各式：（1） ；1122ba（2） 。222()()a3、已知，求下列各式的值：（1） ；（2） 。1x12x4、化简 的结果是（ ）36639494()()a（A） （B） （C） （D ）184a2a5、 等于（ ）(2)(
7、21)2kkk（A） （B） （C） （D）2(1)(21)k6、 有意义，则的取值范围是 。12(|)x7、若 ，则 。0,3y320xy8、 ，下列各式总能成立的是（ ）,abR（A） （B）66()ab22()nnab（C） （D）410109、化简 的结果是（ ）11326842()(2)()（A） （B） （C） （D）113132132()五、三维体系构建1、根式与分数指数幂的意义2、根式与分数指数幂的相互转化3、有理指数幂的含义及其运算性质：（1） ； （2） ； （3） 。rsrsa()rsra()(0,)rrabbrsQ六、课后作业：P59，习题 2.1，A 组：1，2，3，
8、4；B 组：2。教学反思：2.1.2 指数函数及其性质第一课时 指数函数的图象和性质三维目标定向知识与技能（1）掌握指数函数的概念、图象和性质；（2）能够运用指数函数的性质解决某些简单的实际问题。过程与方法通过对现实问题情境的探究，感受数学与现实生活的密切联系，理解从特殊到一般，转化与化归等数学思想方法。情感、态度与价值观在本节的学习过程中要注意列表计算中结果的分析，它是掌握指数函数的图象和性质的基础，函数图象是研究函数性质的直观工具，利用图象可以帮助我们记忆函数的性质和变化规律，因此，本节的学习要注重类比分析法、发现法、转化与化归等数学思想的应用，了解事物之间的普遍联系与相互转化，体验数学知
9、识在生产生活实际中的应用。教学重难点：掌握指数函数的图象、性质及应用。教学过程设计一、问题情境设疑材料 1：某种细胞分裂时，由 1 个分裂成 2 个，2 个分裂成 4 个一个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞分裂的个数 y 与 x 的函数关系是什么？材料 2：当生物死后，它机体内原有的碳 14 会按确定的规律衰减，大约每经过 5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期” 。根据此规律，人们获得了生物体内碳 14含量 P 与死亡年数 t 之间的关系，这个关系式应该怎样表示呢？思考 1：函数 与函数 有什么共同特征？5730()2t*2()xyN如果用字母 a 来代替数 和 2，那么以上两
10、个函数都可以表示为形如 的函15730() xya数，其中自变量 x 是指数，底数 a 是一个大于 0 且不等于 1 的变量。这就是我们要学习的指数函数： （a 0 且 ） 。xy1思考 2： （a 0 且 ） ，当 x 取全体实数对 中的底数为什么要求 a xy1xya0 且 ？1a方法：可举几个“特例” ，看一看 a 为何值时，x 不能取全体实数；a 为何值时，x 可取全体实数；不能取全体实数的将不研究。结论：当 a 0 且 时， 有意义；1x当 a = 1 时， 是常量，无研究价值；xy当 a = 0 时，若 x 0， 无研究价值；若 ， 无意义；x0xxa当 a 0 且 。提问：那么什
11、么是指数函数呢？思考后回答。二、核心内容整合1、指数函数的定义：函数 叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 R。)10(ayx且练习 1：下列函数中，那些是指数函数？ 。（1） （2） （3） （4） （5） （6）4x4yxy()xyxy（7） （8） （ 且 ）2xy(21)a21a2、指数函数的图象和性质：思考 3：我们研究函数的性质，通常通过函数图象来研究函数的哪几个性质？答：1、定义域；2、值域；3、单调性；4、对称性等。思考 4：得到函数的图象一般用什么方法？列表、求对应的 x 和 y 的值、描点、作图。用描点法画出指数函数 的图象。xx)21(,思考：函数 的图象和函
12、数 的图象有什么关系？可否利用 的图象2xy1()2xy2xy画出 的图象？（两个函数的图象关于轴对称）1()x（3）相关结论0 1图象定义域 R值域 (0 , +)定点过定点（0，1） ，即 x = 0 时，y = 1（1）a 1，当 x 0 时，y 1；当 x 0 时，0 1。单调性 在 R 上是减函数 在 R 上是增函数性质对称性 和 关于 y 轴对称xyx三、例题分析示例例 1、已知指数函数 的图象经过点（3，） ，求 ，)10()axf且 )1(,0f的值。)3(f例 2、比较下列各题中两个值的大小：（1）1.7 2.5，1.7 3； （2）0.8 0.1，0.8 0.2； （3）1
13、.7 0.3，0.9 3.1。四、学习水平反馈：课本 P58，练习 1、2、3。五、三维体系构建1、指数函数的定义；2、指数函数简图的作法以及应注意的地方；3、指数函数的图象和性质（见上表）六、课后作业：P59，习题 2.1，A 组：5、6、7、8。教学反思：第二课时 指数函数性质的应用三维目标定向知识与技能在掌握指数函数性质的基础上利用指数函数的性质解决求函数的单调区间、比较大小、求字母的取值范围、求一类函数的值域等问题，充分体现指数函数的性质应用，并且会借助指数函数模型求解实际问题。过程与方法通过应用指数函数的性质解决实际问题的过程，体会应用知识分析问题、解决问题的思维方法，学会转化和化归
14、的数学思想。情感、态度与价值观增强学生的应用意识，树立学好数学的信心，最终形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。教学重难点：指数函数性质的应用。教学过程设计一、温故而知新指数函数的概念、图象与性质（强调单调性）二、核心内容整合1、图象的平移与对称变换一般地，对形如 形式的函数，其图象可由 的图象经过左右上下平xmyanxya移得到。将指数函数的图象通过翻折、对称，再辅助平移变换可得到较为复杂的函数图象。例 1、若函数 恒过定点 P，试求点 P 的坐标。1()3xfa解：将指数函数 的图象沿 x 轴右移一个单位，再沿 y 轴上移 3)0y且个单位即可得到 的图象，因为 的图象恒过（0，1） ，故相应
15、的1()xfya恒过定点（1，4） 。()3xfa练习 1、说明下列函数的图象与指数函数 的图象的关系，并画出他们的图象：2xy（1） ； （2） 。1xy21x练习 2：画出函数 的图象。|1x2、复合函数单调性的应用指数函数的单调性应用十分广泛，可以用来比较数或式的大小，求函数的定义域、值域、最大值、最小值、求字母参数的取值范围等。对复合函数 ，若 在区间（a，b）上是增函数，其值域为（c，d） ，()yfgx()ugx又函数 在（c，d）上是增函数，那么复合函数在（a，b）上为增函数。可推广为()fu下表（简记为同增异减）： ()gx增 增 减 减yfu增 减 增 减()x增 减 减 增例 2、求不等式 中 x 的取值范围。)10(1472aax且解：当 a 1 时，函数 在 R 上是增函数，所以y；2742743xxx当 0 a 1 时，函数 在 R 上是减函数，所以ya。2741xxx例 3、求函数 的定义域、值域、单调区间。267()f解：（1）函数 的定义域为 ，x(,)（2）令 ，则 ，2617t12tft因为 在 上是减函数，而 在其定义域(3)8xx(,31()2tft内是减函数，所以函数 在 上为增函数。f,又因为 在 上是减函数，而 在其定义22617()txx,)()tft
