1、2.1 指数函数在初中的学习中，学生已经掌握了整数指数幂的概念及其运算性质.本节内容在组织学生回顾平方根、立方根的基础上，类比出一个正数的 n 次方根定义，进而将指数推广到分数指数，从而完成了指数由整数指数到有理数指数的一次推广，在利用多媒体演示对无理数与无理数指数幂的近似推广，完成了指数由有理数指数到实数指数的二次推广，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂，使学生对指数幂的概念以及运算性质有了一个比较完整的认识，同时也为研究指数函数作好了知识上的准备.根式的概念是教学中的难点，教材中通过复习平方根、立方根的定义，然后类比出 n次方根的定义.为了更好地分解这一难点，教学中应放慢速度，多
2、举几个具体的例子，帮助学生理解，并在此基础上类比出 n 次方根的一般定义与性质.方根的性质实际上是平方根、立方根性质的推广，教学时，可以以平方根、立方根、四次方根为基础来加以说明，加深对这一性质的理解.分数指数是指数概念的又一次推广，分数指数概念是教学中的又一个难点.教学中应多举实例让学生理解分数指数幂的意义，明确分数指数幂表示的是根式的一种新的写法，并通过根式和分数指数幂的互化来巩固、加深对这一概念的理解.由于学过负整数次幂，正分数次幂引入后，学生不难理解负分数次幂的意义，因此，教学中可以放手让学生自己得出.在掌握了有理数指数幂的基础上，利用多媒体演示对无理数与无理数指数幂的近似推广，从而直
3、观形象地给出了有理数指数幂的运算性质也可以推广到无理数.有了把指数范围扩充到实数范围内的知识上的准备，又有前面所学的对函数概念和性质的系统学习，顺理成章地引出了指数函数概念、怎样作出指数函数图象、怎样研究指数函数的性质以及与其他函数结合的研究.教材是通过死亡后生物体内碳 14 含量与死亡年数的关系这样一个实际问题引入指数函数的，既说明指数函数的概念来自实践，认识到指数函数对实际生活的意义，也便于学生接受.但在教学中，学生往往容易忽略定义域，因此，在进行指数函数定义的教学时，既要明确其定义域，又要让学生去探索成立的条件，明确底数 a 是一个大于零且不等于 1 的常数，这样既培养了学生掌握概念的能
4、力，又锻炼了学生分析问题和处理问题的能力.在理解指数函数的定义的基础上掌握指数函数的图象和性质，是本节教学的重点，而理解底数 a 的值对于函数值变化的影响（即对指数函数单调性的影响）是教学的一个难点.教学时为了帮助学生理解，可以充分利用图象.教学时可以先要学生在同一坐标系内画出函数 y=2x和 y=（ ） x的图象，通过两个具体的例子，引导学生共同分析、归纳总结指数函21数的性质.有条件的学校也可以利用几何画板等数学软件，定义变量 a 作出函数 y=ax的图象，进而改变 a 的值，使学生在动态变化的过程中理解指数函数的性质，认识规定底数 a 是一个大于零且不等于 1 的常数的原因.2.1.1
5、指数与指数幂的运算（1）从容说课指数是学习指数函数的预备知识，初中学生已经学习了整数指数幂的概念及运算性质.为了讲解指数函数，需要把指数的概念扩充到有理数指数幂、实数指数幂；为了完成这个扩充，必须先学习分数指数幂的概念和运算性质，以及无理数指数幂的概念；为了学习分数指数幂的概念.首先要介绍根式的概念，本课主要学习根式的概念以及 n 次方根的性质.学生已经学习了数的平方根、立方根，根式的内容是这些内容的推广.因此，在引入根式的概念时要结合这些已学内容，列举多个具体例子以便学生理解.根式 的讲解要分 n 是奇数和偶数两种情况来进行，每种情况中，都要分naa0，a=0，a 0 三种情况介绍，并结合具
6、体例子讲解，其中要强调 （a0，n 是偶数）表示一个正数，抓住这一点，理解 n 次方根的性质就容易了.当 n 是偶数时， =|a|（因为 总是一个非负数） ，这是本课的一个难点，讲解时n可先复习 =|a|这一性质，并结合具体例子加以讲解，有助于学生理解 =|a|这一性质.2 n三维目标一、知识与技能理解根式的概念，掌握 n 次方根的性质.二、过程与方法1.通过师生之间、学生与学生之间互相交流，使学生逐步学会共同学习.2.引 导 学 生 认 真 体 会 数 学 知 识 发 展 的 逻 辑 合 理 性 、 严 谨 性 ， 做 一 个 具 备 严 谨 科 学 态 度的 人 .3.通过探究、思考，培养
7、学生思维迁移能力和主动参与的能力.三、情感态度与价值观1.新知识的发现是因为面临的问题以原有的知识得不到解决所引发出来的思考，通过学习根式的概念，使学生认清基本概念的来龙去脉，加深对人类认识事物的一般规律的理解和认识，体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣，培养学生严谨的科学精神.2.在教学过程中，通过学生的自主探索，来加深理解 n 次方根的性质，具有探索能力是学习数学、理解数学、解决数学问题的重要方面.教学重点1.根式的概念.2.n 次方根的性质.教学难点1.根式概念的理解.2.n 次方根性质的理解.教具准备多媒体课件、投影仪、打印好的作业.教学过程一、创设情景，引入新
8、课师：你们知道考古学家是怎样来判断生物的发展与进化的吗？生：对生物体化石的研究.师：那么他们是怎样来判断该生物体所处的年代的?你们知道吗?（众生摇头）师：考古学家是按照这样一个规律来推测的.问题：当生物死亡后，它机体内原有的碳 14 会按确定的规律衰减，大约每经过 5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.根据此规律，人们获得了生物体内碳 14含量 P 与死亡年数 t 之间的关系，这个关系式应该怎样表示呢?我们可以先来考虑这样的问题：当生物死亡了 5730，25730，35730，年后，它体内碳 14 的含量 P 分别为原来的多少?生： ， （ ） 2， （ ） 3，.11师：当生物
9、体死亡了 6000 年，10000 年，100000 年后，它体内碳 14 的含量 P 分别为原来的多少?生：（ ） ， （ ） ， （ ） .215730657301257301师：由以上的实例来推断关系式应该是什么?生：P=（ ） .215830t师：考古学家根据上式可以知道，生物死亡 t 年后，体内碳 14 含量 P 的值.那么这些数（ ） ， （ ） ， （ ） 的意义究竟是什么呢？它和我们初中所学的指数有215730657301257301什么区别?生：这里的指数是分数的形式.师 ： 指 数 可 以 取 分 数 吗 ?除 了 分 数 还 可 以 取 其 他 的 数 吗 ?我 们 对
10、于 数 的 认 识 规 律 是 怎样 的 ?生：自然数整数分数（有理数）实数.师：指数能否取分数（有理数） 、无理数呢？如果能，那么在脱离开上面这个具体问题以后，关系式 P=（ ） 就会成为我们后面将要相继研究的一类基本初等函数“指215830t数函数”的一个具体模型.为了能水到渠成地研究指数函数，我们有必要认识一下指数概念的扩充和完善过程，这就是我们下面三节课将要研究的内容：分数指数幂（有理数指数幂） 、无理数指数幂.（引入课题，书写课题指数与指数幂的运算）二、讲解新课（一）探求 n 次方根的概念师：3 2=9，那么，在这个等式中 3 对于 9 来说，扮演着什么角色？9 对于 3 来说又扮演
11、着什么角色呢?生：9 叫做 3 的平方数，3 叫做 9 的平方根.师：若 53=125，那么 125 对于 5 来说，扮演着什么角色？5 对于 125 来说又扮演着什么角色呢?生：125 是 5 的立方数，5 是 125 的立方根.师：如果 x2=a，那么 x 对于 a 来说扮演着什么角色？生：x 是 a 的平方根.师：能否用一句话描述你的结论？生：如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根.师：如果 x3=a，那么 x 对于 a 来说又扮演着什么角色？生：x 是 a 的立方根.师：能换一种说法表述你的结论吗？生：如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根.师：如果 x
12、4=a，x 5=a，又有什么样的结论呢？生：如果一个数的四次方等于 a，那么这个数叫做 a 的四次方根；如果一个数的五次方等于 a，那么这个数叫做 a 的五次方根.师 ： 如 果 x2=a， 那 么 x 叫 做 a 的 平 方 根 ； 如 果 x3=a， 那 么 x 叫 做 a 的 立 方 根 ； 如 果 x4=a， 那 么 x 叫 做 a 的 4 次 方 根 .你 能 否 据 此 得 到 一 个 一 般 性 的 结 论 ？生：一般地，如果 xn=a，那么 x 叫做 a 的 n 次方根.师：上述结论中的 n 的取值有没有什么限制呢？（生探索，完善 n 次方根的定义，并强调 n 的取值范围，师板
13、书如下定义）一般地，如果 xn=a，那么 x 叫做 a 的 n 次方根（nth root） ，其中 n1，且 nN *.（二）概念理解课堂训练：试根据 n 次方根的定义分别求出下列各数的 n 次方根.（多媒体显示，生完成）（1）25 的平方根是_；（2）27 的三次方根是_；（3）32 的五次方根是_；（4）16 的四次方根是_；（5）a 6 的三次方根是_；（6）0 的七次方根是_.（师组织学生紧扣 n 次方根的定义，完成以上各题）方法引导：在 n 次方根的概念中，关键的是数 a 的 n 次方根 x 满足 xn=a，因此求一个数 a 的 n 次方根，就是求出哪个数的 n 次方等于 a.（三）
14、n 次方根的性质合作探究：观察并分析以上各数的方根，你能发现什么？（学生交流，师及时捕捉与如下结论有关的信息，并简单板书）1.以上各数的对应方根都是有理数；2.第（1） 、第（4）的答案有两个，第（2） 、第（3） 、第（5） 、第（6）的答案只有一个；3.第（1）题的答案中的两个值互为相反数.师：请仔细分析以上各题，你能否得到一个一般性的结论？（提供一个比较发散的问题，给学生提供广阔的思维空间，培养学生理性思维能力和数学的分析问题、解决问题的能力）生甲：一个数的奇次方根只有一个.生乙：一个数的偶次方根有两个，且互为相反数.师：是否任何一个数都有偶次方根？0 的 n 次方根如何规定更合理？生：
15、因为任何一个数的偶次方都是非负数，所以负数没有偶次方根，0 的 n 次实数方根等于 0.师：你能否把你所得到的结论再叙述的具体一些呢？（组织学生交流，得出以下结论）n 次方根的性质实际上是平方根和立方根性质的推广，因此跟立方根和平方根的情况一样，方根也有如下性质：（1）当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次方根是一个负数.这时，a 的 n 次方根用符号 表示.a（2）当 n 是偶数时，正数的 n 次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数 a 的正的 n 次方根用符号 表示，负的 n 次方根用符号 表示.正的 n 次方根与负的 n 次na方根可以合并写成 （a0）.n
16、注：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作 =0；n当 a0 时， 0，所以类似 =2 的写法是错误的.n416（四）根式的概念式子 叫做根式，其中 n 叫做根指数，a 叫做被开方数.n例如 叫做根式，其中 5 叫做根指数，6 叫做被开方数.56（五）n 次方根的运算性质求下列各式的值：（1） （ ） 2；（2） ；（3） ；（4） （a3）.5)()2(2)(（生板演，师组织学生评析）解 ： （ 1） （ ） 2=5； （ 2） = 2； （ 3）3)(=| 2|=2； （ 4） =4)()(a|3 a|=a 3.师：上面的例题中涉及了哪几类问题?生：主要涉及了（ ） n与 的问题
17、.a合作探究：（1） （ ） n的含义是什么？其化简结果是什么呢？（2） 的含义是什么？其化简结果是什么呢？na（组织学生结合例题及其解答，进行分析讨论、归纳出以下结论）（1） （ ） n=a.例如， （ ） 3=27， （ ） 5=32.2752（2）当 n 是奇数时， =a；当 n 是偶数时， =|a|= 例如，n n.0,a=2， =2； =3， =|3|=3.3)(5432)(（六）例题讲解（生板演，师组织学生进行课堂评价）【例 1】 求下列各式的值：（1） （ ） 3；8（2） ；2)0(（3） ；44（4） （ab）.2)(解：（1） （ ） 3=8；（2） =10；2)0(（3）
18、 =3；44（4） =|ab|= ab.2)(【例 2】 化简下列各式：（1） ；68（2） ；2)(（3） ；15（4） ；8x（5） .642ba解：（1） = = = ；8163239（2） = = ；62)(（3） = = ；151532（4） = =x2；8x4)(（5） = = .62ba6|32|ba三、课堂练习1.若 xR，yR，下列各式中正确的是A. =x+y B. =xy44)(3x4C. + =2x D. + =02)3(x2)(3xx2. = 成立的条件是1A. 0 B.x1 C.x1 D.x22x3.在 ； ； ； （各式中 nN，aR ）中，有意义4)(n42)(n
19、54a5的是A. B. C. D.4.当 8x10 时， =_.2)8(x2)10(x参考答案：1.D 2.D 3.B 4.2x18四、课堂小结师：请同学们互相交流一下你在本课学习中的收获.（生互相交流，而后由师多媒体显示如下内容）1.若 xn=a（n1，nN *） ，则 x 叫做 a 的 n 次方根.当 n 是奇数时，实数 a 的 n 次方根用符号 表示；当 n 是偶数时，正数 a 的 n 次方根用符号 表示，负数的偶次方根无a意义.式子 叫做根式，其中 n 叫做根指数，a 叫做被开方数.n2.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数；负数的奇次方根是一个负数.正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数；负数的偶次方根没有意义；0 的任何次方根都是 0.3.（1） （ ） n=a.（2）当 n 为奇数时， =a；当 n 为偶数时， =|a|=nn.0,a五、布置作业（一）复习课本第 5758 页内容，熟悉巩固有关概念和性质；（二）书面作业：课本 P69 习题 2.1A 组第 1 题.板书设计2.1.1 指数与指数幂的运算（1）一、基本概念和性质1.n 次方根的定义2.n 次方根的性质3.根式的定义4.n 次方根的运算性质二、例题解析即学生训练板演例 1.求下列各式的值例 2.化简下列各式目标检测评析布置作业高.考试 题)库
