1、第 1 课时 向量的概念与几何运算1向量的有关概念 既有 又有 的量叫向量 的向量叫零向量 的向量，叫单位向量 叫平行向量，也叫共线向量规定零向量与任一向量 且 的向量叫相等向量2向量的加法与减法 求两个向量的和的运算，叫向量的加法向量加法按 法则或 法则进行加法满足 律和 律 求两个向量差的运算，叫向量的减法作法是将两向量的 重合，连结两向量的 ，方向指向 3实数与向量的积 实数 与向量 a的积是一个向量，记作 a它的长度与方向规定如下： | a | 当 0 时， 的方向与 a的方向 ；当 0 时， 的方向与 的方向 ；当 0 时， a (a) ( ) ( b) 共线定理：向量 与非零向量
2、a共线的充要条件是有且只有一个实数 使得 4 平面向量基本定理：如果 1e、 2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 1、 2，使得 设 1e、 2是一组基底， 1eyx， b 21eyx，则 a与 b共线的充要条件是 例 1已知ABC 中，D 为 BC 的中点，E 为 AD 的中点设 aAB， bC，求 BE解： BE A B 41( A C) B 43a 1b变式训练 1.如图所示，D 是 ABC 边 AB 上的中点，则向量 D等于（ ）A C 2B BA1典型例题基础过关ADB CC B A21D 解:A例 2. 已知向量 213ea， 21
3、3eb， 219ec，其中 1e、 2不共线，求实数 、，使 bc解: a 2 1e9 2 (22) 1e(33) 2e222，且3392，且 1变式训练 2：已知平行四边形 ABCD 的对角线相交于 O 点，点 P 为平面上任意一点，求证：PODCPBA4证明 2 ， B D2 POA B C D4例 3. 已知 ABCD 是一个梯形，AB、CD 是梯形的两底边，且 AB2CD，M、N 分别是DC 和 AB 的中点，若 aA， b，试用 a、 b表示 和 解：连 NC，则 bNCCNABM4141； abBC21变式训练 3：如图所示，OADB 是以向量 O a， b为邻边的平行四边形，又
4、1B， 1D，试用 a、 表示 ， ， M解: OM 6a 5b， ON 32 b，N 21例 4. 设 a， b是两个不共线向量，若 a与 b起点相同，tR ，t 为何值时， a，t b， 31( ab)三向量的终点在一条直线上？解：设 )(31bat (R)化简整理得： 0)31()32(bta 不 共 线与 ba， 213032tt故 21t时， )(1,bat三向量的向量的终点在一直线上变式训练 4：已知 ,OABCcODdEe，设 tR，如果3,acd()etb，那么 t为何值时， ,三点在一条直线上？解：由题设知， 23(3)CDcbaectatb， ,CDE三点在一条直线上的充要
5、条件是存在实数 k，使得 k，即 32kab，BO ADC NM整理得 (3)(2)tkatb.若 ,b共线，则 t可为任意实数；若 不共线，则有 30k，解之得， 65t.综上， ,a共线时，则 t可为任意实数； ,ab不共线时， .1认识向量的几何特性对于向量问题一定要结合图形进行研究向量方法可以解决几何中的证明2注意 O与 O 的区别零向量与任一向量平行3注意平行向量与平行线段的区别用向量方法证明 ABCD，需证 AB CD，且 AB与 CD 不共线要证 A、B、C 三点共线，则证 AB C即可4向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点小结归纳
