1、妙用双曲线的焦半径双曲线上任意一点到其焦点的距离称为该点的焦半径已知点 0()Mxy， 在双曲线21(0)xyabb，上， 12F， 分别为双曲线的左、右焦点， 10Fae，20MFex同理，焦点在 y 轴上的双曲线2(0)yxabb，的焦半径为10ay， 20Fae，其中双曲线的焦点自下至上为 12F， 例 1 已知 12， 是双曲线21xyab（ 0ab， ）的两焦点，以线段 12， 为边作正三角形 12MF，若边 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） 43 312 31解：如图， 1F的中点为 ()Pxy， ，则 P 点的横坐标 2Pcx， 1F，又由焦半径公式 Pexa，得 2
2、c，得 20cac，有20e，解得 13（ e舍去） ，故选（D） 点评：利用焦半径建立关系式，得出关于 e 的方程，从而获解例 2 经过双曲线21yx的右焦点 2F作倾斜角为 30的直线，与双曲线交于A、 两点， 1F为左焦点，求 1AB 的周长解：由双曲线方程，得 a， 3b， 2c， e设 12()()xy， ， ， ，则 的方程为 ()yx于是213()yx， ，消去 y，得 284130x由根与系数的关系可求得 21 213ABx 1()Fea， 12BFexa， 23x 1A 的周长为 点评： B的长度的求法是利用了弦长公式 21dkx例 3 在双曲线213yx的上支上有三点 1
3、3()(6)()AyBCxy， ， ， ， ， 与(05)F，的距离成等差数列求证： C的垂直平分线经过某一定点证明： 1Aeya， 2BFeya（ 2是 点的纵坐标） ， 3Feya由已知，得 2B，整理，得 132y设 AC的中点 0(6)Mx， ，其中 1302x又 ， 两点在双曲线上，于是 131.yx，两式相减整理，得 311yx 02ACk AC的垂直平分线方程为 036()x，即 013(25)xy，经过点 25， 证得原命题成立点评：利用焦半径，借助点差法，将 AC垂直平分线方程化为点斜式从而获解学习“双曲线”的四点误区误区一：缺乏对双曲线定义的深刻理解，应用定义时考虑不深刻，
4、不全面，导致错误例 1 动点 P 到两定点 12(0)()F， ， ， 的距离之差的绝对值为 6，则动点 P 的轨迹为（ ）A椭圆 B双曲线C双曲线的一支 D无轨迹示错：选（B） 辨错：上述解答是忽视双曲线定义中的条件 12aF而导致错误的，因为 6 大于12F，所以无轨迹纠错：选（D） 例 2 若一个动点 ()Pxy， 到两个定点 12(0)()， ， ， 的距离的差的绝对值为定值(0)a ，试讨论点 P 的轨迹方程示错：由双曲线定义可知：轨迹是以 12F， 为焦点的双曲线，其中2214acb，方程为221xy辨错：利用双曲线定义求轨迹方程时，一定要注意 120aF这个条件，若 2a和、12
5、F大小不定，必须讨论纠错：由已知得 12F，（1）当 0a时，轨迹是线段 12的垂直平分线，方程为 0x（2）当 2时，轨迹是以 12F， 为焦点的双曲线，其中 1c，224ab，方程为 2214xya（3）当 时，轨迹为两条射线 0y（ 1x ）或 0y（ 1x ） 误区二：求双曲线方程时，若焦点位置不能够确定，则要写出焦点在 x 轴、 y 轴两种情况下的双曲线的标准方程，不能遗漏例 3 求焦距为 14，两顶点间距离为 12 的双曲线的标准方程示错： 214c， 2a， 7c， 6a， 213b双曲线方程为236xy辨错：因为题中条件确定不了焦点位置，焦点在 x 轴和焦点在 y 轴的双曲线的
6、标准方程都适合题意，故所求的标准方程应有两个纠错：所求双曲线方程为2136xy或2136误区三：求双曲线方程时要考虑适合条件的各种可能性，不要遗漏例 4 求渐近线方程为 40xy，焦点为椭圆2105xy的一对顶点的双曲线方程示错：设所求的双曲线方程为2()169双曲线的焦点为椭圆的顶点 2(010F， ， ， 1690， 25双曲线方程为 138xy辨错：因为双曲线的焦点是椭圆的长轴顶点或短轴顶点不确定，所以双曲线的焦点，还有可能是短轴的顶点纠错：设所求双曲线方程为2(0)169xy，当双曲线的焦点是椭圆长轴顶点 12(1)F， ， ， 时，可求双曲线方程为-=1；当双曲线的焦点是椭圆短轴顶点 12(05)(0)， ， ， 时， 9165， 15双曲线方程为25196yx误区四：忽视双曲线的特殊性，缺乏全面考虑的解题习惯，误用一些充要条件，是出现错解的重要原因例 5 已知方程21xy表示双曲线，求 的取值范围示错：原方程表示双曲线的充要条件是 201， ，即 的取值范围为 1辨错：注意 2(0)AxByC， 表示双曲线的条件是 0AB，上面的解法是考虑问题不全面漏掉了 且 的情况纠错：原方程表示双曲线的充要条件是 201， 或2011，或 2故 的取值范围为 ()(1) ， ，
