1、22.2 二次函数与一元二次方程一、内容和内容解析1内容二次函数与一元二次方程的联系2内容解析二次函数与一元二次方程的联系再次展示了函数与方程的联系，一方面可以深化对一元二次方程的认识，另一方面又可以运用二次函数解决一元二次方程的有关问题解一元二次方程 ax2bx c 0 可以看作已知二次函数 yax 2bxc 的值为 0，求自变量的值从图象上看，如果二次函数的图象与 x 轴有公共点，当自变量取公共点的横坐标时，函数的值为 0由此可求出相应的一元二次方程的根当二次函数的图象与 x 轴有两个公共点时，相应的一元二次方程有两个不等的实数根；当二次函数的图象与 x 轴有一个公共点时，相应的一元二次方
2、程有两个相等的实数根；当二次函数的图象与 x 轴没有公共点时，相应的一元二次方程没有实数根基于以上分析，确定本节课的教学重点是：二次函数与一元二次方程的联系二、目标和目标解析1目标(1)了解二次函数与一元二次方程的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解(2)在通过图象了解二次函数与一元二次方程联系的过程中，体会综合运用函数解析式和函数图象的数形结合思想2目标解析达成目标(1)的标志是：学生能够利用二次函数的图象，通过观察与 x 轴交点的横坐标，确定一元二次方程的近似解达成目标(2)的标志是：在探索二次函数与一元二次方程联系的过程中，学生要能由形想数，也能由数想形知道函数与 x 轴的公
3、共点个数与对应的一元二次方程的实数根的数量有关三、教学问题诊断分析学生在学习一次函数时，对于函数与一元一次方程的联系已经有了一定的了解，会利用一次函数图象求一元一次方程的解二次函数与一元二次方程的联系在探究过程上与之前一致，但二次函数与 x 轴公共点的个数共有三种情况，这些是需要教师在教学过程中进行设计的，另外要使学生了解一元二次方程的根的几何意义，这需要在授课过程中进行多次对比基于以上分析，本节课的教学难点是：用数形结合的思想探究二次函数与一元二次方程的联系四、教学过程设计1问题引入问题 1 如教科书图 22.2-1，以 40m/s 的速度将小球沿与地面成 30角的方向击出时，小球的飞行路线
4、将是一条抛物线如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 h(单位：m)与飞行时间 t(单位：s)之间具有函数关系 h20t 5t 2回答以下问题：(1)小球的飞行高度能否达到 15 m？如果能，需要多少飞行时间？(2)小球的飞行高度能否达到 20 m？如果能，需要多少飞行时间？(3)小球的飞行高度能否达到 20.5 m？为什么？(4)小球从飞出到落地要用多少时间？(5)结合此问题，你能看出一元二次方程与二次函数具有怎样的联系？师生活动：教师提出问题，学生回答发现二次函数与一元二次方程联系密切例如已知函数 y x24x 的值为 3，求自变量 x 的值，可以看作解一元二次方程x 24x3(即 x24x3
5、0)；反过来，解方程 x24x 30 又可以看作已知二次函数yx 24x3 的值为 0，求自变量 x 的值设计意图：让学生初步感知二次函数与一元二次方程联系密切2深入探究问题 2 对于函数(1)yx 2x 2；(2)yx 26x9；(3 )yx 2x1这些二次函数的图象与 x 轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？师生活动：教师提出问题，学生独立思考，自主回答，通过观察可以发现，函数(1)的图象与 x 轴有公共交点，函数(2)的图象与 x 轴有一个公共点，函数(3)的图象与 x 轴没有公共点当图象与 x 轴有公共点时，公共点的横坐标就是相应的一元二次方程的根设计意图：通过让学生观察抛物线
6、与 x 轴的公共点情况，初步让学生建立二次函数与一元二次方程的联系问题 3 当 x 取公共点坐标的横坐标时，函数的值是多少？师生活动：教师提出问题，学生独立思考，自主回答，当 x 取公共点的横坐标时，函数的值是 0设计意图：通过公共点的横、纵坐标的特征，继续让学生建立二次函数与一元二次方程的联系问题 4 由二次函数的图象，你能得出相应的一元二次方程的根吗？二次函数与一元二次方程具有怎样的联系？师生活动：教师提出问题，学生思考并小组讨论，师生共同总结三个函数图象与一元二次方程的联系：(1)抛物线 yx 2x 2 与 x 轴有两个公共点，它们的横坐标是2，1当 x 取公共点的横坐标时，函数的值是
7、0由此得出方程 x2x20 的根是2，1(2)抛物线 yx 26x 9 与 x 轴有一个公共点，这点的横坐标是 3当 x3 时，函数的值是 0由此得出方程 x26x90 的实数根是 3(3)抛物线 yx 2x 1 与 x 轴没有公共点，由此可知，方程 x2x10 没有实数根进而师生共同讨论得出一般结论：一般地，从二次函数 yax 2bx c 的图象可知，(1)如果抛物线 yax 2bx c 与 x 轴有公共点，公共点的横坐标是 x0，那么当 xx 0时，函数的值是 0，因此 xx 0 就是方程 ax2bxc0 的一个根(2)二次函数 yax 2bx c 的图象与 x 轴的位置关系有三种：没有公
8、共点，有一个公共点，有两个公共点这对应着一元二次方程 ax2bxc0 的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根设计意图：通过师生共同探究，运用由特殊到一般和数形结合思想，让学生建立起二次函数与一元二次方程的联系3巩固练习利用函数图象求方程 x22x 20 的实数根(结果保留小数点后一位)师生活动：每个学生在练习本上先独立画出函数图象，通过观察图象找到一元二次方程的实数根教师巡视，指导然后小组交流并评价设计意图：利用二次函数与一元二次方程的联系，根据函数图象求方程的近似解，进一步巩固所学内容4小结教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：(1)本节课学了哪些主要内容？(2)二次函数与一元二次方程的区别与联系是什么？设计意图：通过小结，让学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容二次函数与一元二次方程的联系，梳理研究的方法，同时体会数形结合在函数研究中的重要作用5布置作业教科书习题 22.2 第 1，3，5 题五、目标检测设计1抛物线 yx 22x 1 与 x 轴有两个公共点，方程 x22x10 有 实数根设计意图：考查学生对二次函数与一元二次方程联系的掌握2若二次函数 yx 22x k 的部分图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程x 22xk 0 的一个解 x1 ，另一个解 x2 设计意图：考查学生对二次函数与一元二次方程联系的掌握
